浅谈一阶微分方程的初等解法

PAGE18浅谈一阶微分方程的初等解法1基本概念微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数（或微分）的关系式.如（其中，为自变量，为未知函数）；（1.1）（为自变量，为未知函数）；（1.2）微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数，例如方程（1.1）它含有未知数及它的一阶导数，这样的方程称为一阶常微分方程，方程（1.2）为二阶常微分方程.一阶常微分方程一般形式可表示为（1.3）如果（1.3）能解出y＇，则得到（1.4）或(1.5)(1.3)称为一阶隐微分方程，（1.4）称为一阶显微分方程，（1.5）称为微分形式的一阶方程.如果函数代入方程（1.3）后，能使它变为恒等式，则称函数为方程（1.3）的解.定义我们把含有一个任意常数的解称为一阶微分方程（1.3）的通解.本文主要介绍一阶常微分方程的初等解法.2一阶显微分方程的初等解法2.1恰当方程2.1.1恰当方程考虑微分形式的一阶方程（1.5）如果方程（1.5）的左端恰好是某个二元函数的全微分，即（2.1）则称（1.5）为恰当方程.容易验证，（1.5）的通解就是（c为任意常数）（2.2）定理方程(1.5）为恰当方程的充要条件（2.3）且恰当方程（1.5）的通解为（2.4）例1求通解解这里且所以该方程是恰当方程.解法1现在求使它同时满足如下两个方程(2.5)(2.6)由(2.5)对积分,得到(2.7)为了确定,将（2.7）对求导数,使它满足(2.6),即得故,积分后得,将代入(2.7),得到因此，方程的通解为（为任意常数）.解法2代入通解公式可得，即，所以方程的通解为（为任意常数）.2.1.2分项组合法往往在判断方程是恰当方程后，并不需要按照上述一般方法来求解，而是采取“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分.这种方法要求熟记一些简单二元函数的全微分，如：，，，，，.例2求方程的通解.解这里，，且，，因此方程是恰当方程解法1现在求使它同时满足如下两个方程（2.8）（2.9）由(2.8)对积分,得到（2.10）为了确定,将（2.10）对求导数,使它满足(2.9),即得，故，积分后得，将代入（2.10）得到：因此，方程的通解为（为任意常数）.解法2把方程重新“分项组合”，得到即，于是得因此方程的通解为（为任意常数）.2.1.3恰当方程的新解法定理2对于恰当方程（1.5），若,（2.11）且中的每一项必含；中的每一项必含，则可得方程的通解为或且（这里是任意常数）.证明，显然已构成全微分，由（2.3）、（2.11）得则也是恰当方程，所以构成全微分.设的通解为我们证明或由恰当方程的解法得（2.12）只需证明即可，（这里是任意常数）.（2.12）两边对求偏导由恰当方程得下面证明当时，显然有，当时，中至少有一项是只含的函数，与所设的中的每一项必含矛盾.所以.同理.则，即，由“分项组合”法得，方程的通解为或（这里，是任意常数）.证毕当判定方程（1.5）为恰当方程后，则一定存在函数，使，上面当对求偏导数时，中含的项在中以各自的导数仍出现，而中只含和常数的项在中不出现；当对求偏导数时，中含的项在只也以各自的导数出现，而中只含和常数的项在中不出现.而中既含也含的项即和的交叉项在、中都出现了.现在对求积分（是参变量）；对求积分（是参变量）.然后取“并集”就得到了中除常数项外的所有项，由此就得到了通解.例3求的通解.解，,，因此方程是恰当方程解法1把方程重新“分项组合”，得到，即于是，，因此方程的通解为（为任意常数）.解法2对求积分，对求积分取“并集”得方程的通解为.（是任意常数）.例4求的通解解,，因此方程是恰当方程解法1把方程重新“分项组合”，得到即，于是，，因此方程的通解为（为任意常数）.解法2对求积分,对求积分取“并集”得方程的通解为（是任意常数）.2.1.4恰当方程与积分因子上面介绍了恰当方程的解法，但是，方程（1.5）未必都是恰当方程.当（1.5）不是恰当方程的时候，在一定的条件下，我们可以把它化为恰当方程.为此我们引进积分因子的定义：假如存在连续函数，使得方程（2.13）为恰当方程，我们就把称为方程（1.5）的积分因子.根据上节可知，函数为（1.5）的积分因子的充要条件是即（2.14）这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程.如果对于方程（1.5）存在只与有关的积分因子，则，这时方程（2.14）变为即，由此可知方程（1.5）有只与有关的积分因子的充要条件是，这里仅为的函数，假设此条件成立，则方程（1.5）的一个积分因子为（２.15)同理方程(1.5)有只与有关的积分因子的充要条件是,这里仅是的函数,则方程(1.5)的一个积分因子为.注：方程（1.5）的二元函数的积分因子在此不详加讨论，可具体问题具体分析.例5求解方程.解因为,故原方程有只与有关的积分因子,以乘方程两边,得到于是方程的通解为(为任意常数).2.2变量分离方程2.2.1变量分离方程形如（2.16）的方程，其特点是，右边是一个的函数与一个的函数的乘积，我们称这类方程为变量分离方程.方程（2.16）的求解方法为：将（2.16）改写为这样，变量就“分离”开来了，两边积分，得到（2.17）这里我们把积分常数也明确写出来，而把，分别理解为，的某一个原函数，因而常数的取值必须以（2.17）有意义为前提.把（2.17）作为确定是的隐函数的关系式，于是，对于任一常数，微分方程（2.17）的两边，就知（2.17）所确定的隐函数满足方程（2.16），因而（2.17）是（2.16）的通解.特别地，如果存在，使，直接代入，可知也是（2.16）的解，可能它不包含在方程的通解（2.17）中，必须予以补上.例6求解方程解将变量分离，得到 两边积分，即得解出y，得到通解（是任意常数）另外，方程还有解，它不包含在通解中.例7求解方程解此方程可改写为将变量分离，得到两边积分，即得（为任意常数）将任意常数写成的形式是为了方便.由此得方程的通解为另外，方程还有解，所以在通解中，任意常数也可以为零.例求方程（2.18）的通解，其中是的连续函数.解将变量分离，得到，两边积分，即得（是任意函数），由对数定义，，即令，得到（2.19）另外方程还有解，它含在通解中，故可不写.2.2.2可化为变量分离方程的类型（1）形如（2.20）的方程，其特点是，它的右端是一个以为为变元的函数，这种类型的方程称为齐次方程，这里是的连续函数.方程（2.20）的求解方法为：作变量变换,则，，代入方程（2.20)，则方程变为整理后可得：（2.21）方程（2.21）是一个变量分离方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原来的变量，即可得方程（2.20）的解.例9求解方程.解将方程改写为这是齐次方程，以及代入，则原方程变为分离变量得两边积分得或（为任意常数）将代入，得原方程的通解（为任意常数）另外方程还有解，即也是方程的解.例10求解方程解将方程改写为这是齐次方程，以及代入，则原方程变为分离变量得两边积分得将代入，得原方程的通解（为任意常数）（2）形如（2.22）的方程（其中a，b（b0）为常数）.这种类型的方程的解法为：作变量变换，则，将其带回方程（2.22），则方程变为（2.23）方程（2.23）是一个变量分离方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原来的变量，即可得方程（2.22）的解.例11求解方程解将方程改写为令，则，代入原方程，则得分离变量得两边积分得（为任意常数）将代入，得原方程的通解为（为任意常数）（3）形如（2.24）的方程（其中都是常数）.我们分三种情况讨论：的情形.这时方程可化为这是齐次方程，作变换，则方程就化为变量分离方程.不全为0，且，即的情形.不妨设，则方程可写为作变换，则方程就化为变量分离方程.例12求解方程.解方程可改写为，令，则，将其代入原方程则得变量分离得两边积分得（c为任意常数），将代入，得原方程的通解（为任意常数）③及不全为零的情形.这时方程（2.24）右端的分子、分母都是、的一次式，因此（2.25）代表平面上两条相交的直线，设交点为（）.令（2.26）则（2.24）可化为形如（2.27）的齐次方程。在作变量变换，将（2.27）化为变量分离方程.例13求解方程解解方程组得.令代入原方程，则有再令即则上式化为两边积分得（为任意常数）代回原变量得原方程的通解为（为任意常数）.④形如的方程，（其中是已知实数）.这种类型的方程的求解方法为；作变量变换，可将方程化为变量分离方程，将代入方程，整理后可得这已是变量分离方程.形如的方程通常是指标为的广义齐次方程。它是前述齐次方程的推广.例14求解方程解方程可改写为，方程可化为因此原方程是指标为的广义齐次方程.令，则，代入原方程整理得变量分离，再积分，整理得代回原变量，得原方程的通解（为任意常数）.证毕此外,,,以及（其中为的齐次函数，次数可以不相同）等一些类型的方程，均可以通过适当的变量变换化为变量分离方程。2.3线性方程形如（2.28）的方程称为一阶线性微分方程，这里假设在考虑的区间上是的连续函数。若，（2.28）变为(2.18)（2.18）称为一阶齐线性方程。若,(2.28)称为一阶非齐线性方程.(2.18)是变量分离方程,在上面的例8中求得它的通解为(2.19)这里c是任意常数.现在主要讨论非齐线性方程(2.28)的通解的求解方法:在(2.19)中,将常数变易为的待定函数,使它满足方程(2.28),从而求出.为此,令(2.29)微分之,得到(2.30)以(2.29)(2.30)代入(2.28),得到即积分后得到(2.31)这里是任意常数,将(2.31)代入(2.29),得到这就是方程(2.19)的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法.例15求方程的解.解这是一阶线性方程，按公式求解当时，；当时，；合并之，有.例16求方程的通解.解先解齐次线性方程的通解为用常数变易法，令非齐次方程的通解为（2.32）微分之，得到（2.33）将（2.32）（2.33）代入原方程得积分得到，将代入原方程，即得原方程的通解为（为任意常数）.2.4伯努利（Bernoulli）方程形如（2.34）的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程.这里为的连续函数，是常数.方程（2.34）的求解方法为：对于，用乘（2.34）两边，得到（2.35）引入变量变换（2.36）从而（2.37）将（2.36）（2.37）代入（2.35），得到（2.38）这是线性方程，可按2.3节介绍的方法求得它的通解，然后代回原来的变量，便得到（2.34）的通解.此外，当＞0时，方程还有解.例17求方程的通解.解这是的伯努利方程.令算得代入原方程得到这是线性方程，求得它的通解为代回原来的变量，得原方程的通解为，这里是任意常数.此外方程还有解.例18求解.解这是的伯努利方程.令算得代入原方程得到,这是线性方程，求得它的通解为代回原来的变量，得原方程的通解为（是任意常数）.3一阶隐微分方程的初等解法一阶隐微分方程一般形式可表为（1.3）3.1形如（3.1）类型的隐方程.这种类型的隐方程的解法为：引进参数，则（3.1）变为（3.2）将（3.2）两边对求导数，并以代入，得到（3.3）方程（3.3）是关于的一阶微分方程，但它的导数已解出.于是我们可以按前面介绍的方法求出它的解.这里假设函数有连续的偏导数。若求得（3.3）的通解的形式为则得到（3.1）的通解为若求得（3.3）的通解的形式为则得到（3.1）的通解为（其中是参数，是任意常数）若求得（3.3）的通解的形式为则得到（3.1）的通解为（其中是参数，是任意常数）3.2形如（3.4）类型的隐方程.这种类型的隐方程的解法与方程（3.1）的求解方法完全类似。这里假设有连续的偏导数。引进参数，则（3.4）变为（3.5）将（3.5）两边对求导数，然后以代入，得到（3.6）方程（3.6）是关于的一阶微分方程，但它的导数已解出.于是我们可以按前面介绍的方法求出它的解，于是我们可以按前面介绍的方法求出它的解.设求得通解为则得（3.4）的通解为.3.3形如（3.7）类型的隐方程.这种类型的隐方程的解法为：记.从几何的观点看