损伤材料的弹性本构方程

损伤材料的弹性本构方程

当钢结构压弯件的单轴弯曲时，弯曲角的闭合面会失去稳定性（即以平面弯曲的形式失业），弯曲角的外部平衡不会失去稳定性（以弯曲和扭转的空间变形形式丧失稳定性）。当两个轴弯曲时，它们总是以弯曲的形式失去稳定性。现在，通常采用实验方法研究梁柱的轴速特性，并对钢结构梁柱的位移进行了研究。然而，使用计算机模拟方法并不是常见的。在这项工作中，我们使用了基于弹性各向异性特征的模型u.l.模型的有限分析法，制定了计算程序，分析了板的厚度比和腹板的高厚比，并对被称为正常轴的两侧各向弯曲作为一个整体的压弯件的分解性能进行了影响。1等效塑性应变基于等向强化的活性原理1.1损伤材料的弹性本构方程根据能量等效性假设,损伤材料的弹性余能为We(˜σ,0)=12˜σ:C-1:˜σ(1)因为˜σ=Μ(D):σ(2)则We(˜σ,0)=12σ:MT(D):C-1:M(D):σ(3)式中,σ为Cauchy应力张量;˜σ为有效应力张量;D为损伤张量;M(D)为各向异性损伤张量;C-1为无损材料的弹性张量.根据热力学第二定律,可以推出弹性本构方程dσ=(M-1:C:(MT)-1):dεe(4)令有效弹性张量为˜C=Μ-1:C:(MT)-1(5)则损伤材料的弹性本构方程为dσij=˜Ceijkldεekl(6)写成矩阵形式dσ=˜Cedεe(7)1.2损伤混合强化规律损伤材料的塑性耗散势函数可以表示为f=F(σij,Dij‚αij)-h(˜εpij,Dij)=32˜Sij˜Sij-ˉσ2s(˜εp)(8)式中,αij为背应力张量,表示随动强化引起的屈服面中心的平移;h描述屈服面各向同性膨胀或收缩,即等向强化规律,是有效塑性应变张量˜εpij的函数,也可将其化为等效塑性应变˜εp的函数;˜Sij为等效应力偏张量;s为单向拉伸时的现时屈服应力.塑性应变可分解为dεpij=dεpiij+dεpkij(9)式中,dεpiij为各向同性强化塑性应变增量;dεpkij为随动强化塑性应变增量.这2部分应变增量可分别表示为dεpiij=Ldεpij,dεpkij=(1-L)dεpij(10)式中,L为混合强化参数,L∈(-1,1],当L=1时表示等向强化,L=0时为随动强化,L取负值表示屈服面收缩,L取其他值时为混合强化.背应力张量αij可以表示为随动强化塑性应变张量的线性函数dαij=cdεpkij(11)式中,c=(2/3)H,强化参数H可根据Ramberg￣Osgood真应力-对数应变关系,用最小二乘法确定.根据流动法则,式(11)可写为dαij=c(1-L)dλ∂f∂σij=c(1-L)dλ∂f∂˜σijΜiji,j不求和(12)1.3损伤本构关系假定总应变增量由弹性与塑性应变增量2部分构成dεij=dεeij+dεpij(13)则式(6)可表达为dσij=˜Ceijkl(dεkl-dλ∂f∂˜σklΜkl)(14)由一致性条件df=0得到dλ=1abkldεkl(15)式中bkl=Μij∂F∂˜σij˜Ceijkl(16)a=Μpq∂F∂˜σpq˜Cepqrs∂F∂˜σrsΜrs+c(1-L)Μmn⋅∂F∂˜σmn∂F∂˜σmnΜmn+dhd˜εpΜrs(23∂F∂˜σrs∂F∂˜σrs)12(17)将式(15)代入式(14),得到弹塑性损伤本构方程的一般表达式dσij=(˜Ceijkl-˜Cpijkl)dεkl(18)式中˜Cpijkl=1abijbkl(19)表达成矩阵形式dσ=˜Cepdε(20)式中˜Cep=˜Ce-˜Cp(21)1.4损伤演化方程根据损伤耗散势函数概念,构造耗散势函数Fd=˜σd-[B0+B(w)](22)式中,˜σd为有效损伤等效应力˜σd=(12σ:˜J:σ)12(23)˜J=ΜΤ:J:M(24)其中,J为损伤特征张量;B(w)为与总损伤w相对应的热力学广义力.取损伤准则为势函数,则损伤演化方程为˙D=λd∂Fd∂σ(25)˙w=λd∂Fd∂(-B)=λd(26)由损伤准则Fd=0,经推导得损伤与应力增量的关系式dD=∂Fd∂σ{∂Fd∂σ}Τdσ∂B∂w-{∂Fd∂D}Τ∂Fd∂σ(27)2非线性有限元方程tkiue采用八节点超参数壳体单元建立位移函数,单元在时刻t+Δt位形参考时刻t位形的平衡方程为∫tVt+ΔttSijδt+ΔttEijtdV=t+ΔtQ(28)式中,t+ΔtQ为时刻t+Δt位形外载荷虚功t+ΔtQ=∫t+ΔtVt+Δtfkδukt+ΔtdV+∫t+ΔtSt+Δttkδukt+Δtds(29)非线性增量方程∫tVt˜CijkltEklδtEijtdV+∫tVtσijδtEΝijtdV=t+ΔtQ-∫tVtσijδtELijtdV(30)经推导,得到U.L.格式的非线性有限元方程tKeue=t+ΔtQe-tRe(31)3压弯构件破坏机理为了分析构件翼缘宽厚比、腹板高厚比对梁柱屈曲性能的影响,对BC4-6～BC4-14共9个系列36个构件进行了循环荷载作用下的数值分析.钢材均为Q235钢,屈服强度fy=235N/mm2,弹性模量E=206kN/mm2,泊松比μ=0.3,混合强化参数L=0.2,加载初各单元3个主方向的损伤D1=D2=D3=0.0.使用编制的计算程序CYANP-2000,对上述构件进行常轴力和循环水平荷载作用下的弹塑性分析,可知压弯构件的破坏形式概括为:①强度破坏:当梁柱长细比λz较小时,随着循环位移加载值不断增加,当翼缘边缘进入塑性状态后,由于损伤及损伤演化不断发展,塑性不断向腹板内延伸,导致构件刚度退化,位移δz的增幅加大,在固定端弯矩最大截面形成塑性铰,达到强度极限状态.破坏时塑性充分发展,滞回曲线丰满,构件吸能性能好.②平面内循环弹塑性失稳:对中等长细比的压弯构件,或虽然长细比较小但轴压比较大的压弯构件,随着循环加载值不断增加,受压翼缘边缘开始屈服,较早发生局部屈曲;随着损伤及损伤演化不断发展,塑性不断向腹板内延伸,导致腹板局部屈曲,加剧构件刚度退化;随后循环加载值增加时,位移δz比弹性阶段增加得快,形成滞回曲线包络线的上升段;当到达极值点循环时,压弯构件开始丧失整体稳定;极值点后,构件的循环抗力开始小于外力作用,出现包络线的下降段,梁柱处于不稳定平衡状态.从平面内滞回曲线M-δz的包络线可以看出:极值点表示压弯构件承载力的极限状态,在压弯构件开始丧失整体稳定时,固定端弯矩最大截面并未形成塑性铰,截面处于部分塑性状态,且滞回曲线较丰满,说明在弯矩作用平面内失稳的压弯构件具有较好的吸能性能.③平面外循环失稳(空间循环失稳):梁柱长细比λz较大时,或长细比并不很大但轴压比较大时,当施加的循环弯矩尚小于翼缘边缘纤维屈服弯矩时,压弯构件突然产生出平面位移δy,并伴随着绕纵轴x的扭转变形,随后在循环加载次数和加载平面内(强轴平面)的位移值δz并不大时,出平面位移不断增加,且承载弯矩不断减小,最终发生整体失稳破坏.从平面外滞回曲线M-δy的包络线可以看出:压弯构件发生空间失稳时,截面大多并未进入塑性状态,与梁的整体失稳类似;且稳定承载力均小于其平面内循环弹塑性失稳时的值,更小于其产生塑性铰时的值;压弯构件空间失稳的滞回曲线并不丰满,构件的吸能性能差.3.1延性系数的测定对BC4-6～BC4-14系列构件数值分析后,可以得到构件滞回关系曲线M/Mp-μy受压侧的包络线,部分构件的包络线见图2.其中,Mp为截面塑性弯矩;μy为构件延性系数.从图2中可以看出,当轴压比、长细比及腹板高厚比皆相同时,翼缘宽厚比b1/tf越大,稳定承载力越低且曲线下降斜率越大,构件延性越差.如轴压比、长细比和腹板高厚比都分别为0.3,60和30;而翼缘宽厚比分别为9和14的BC4-6-1和BC4-6-4构件,当翼缘宽厚比为9的BC4-6-1平面外失稳时Mcr/Mp=0.61,承载力降至70%时,延性系数为7.68;翼缘宽厚比为14的BC4-6-4发生平面外失稳时,Mcr/Mp=0.22,承载力降至70%时,延性系数仅为1.41.3.2mcr/mp的确定腹板高厚比的变化对压弯构件稳定承载力和延性性能影响明显(见图3).如构件BC4-6-1和BC4-8-1的轴压比、长细比和翼缘宽厚比分别为0.3,60和9,而腹板高厚比分别为30和60,腹板高厚比为30的BC4-6-1平面外失稳时的Mcr/Mp=0.61,承载力降至70%时,延性系数为7.68;腹板高厚比为60的BC4-8-1发生平面外失稳时Mcr/Mp=0.69,但承载力降至70%时,延性系数仅为3.42.其他对比构件具有相同规律,即腹板高厚比大者,由于腹板较早屈曲,削弱了腹板对翼缘的约束作用,随着腹板循环塑性的发展、损伤及损伤演化的不可逆劣化影响,导致构件刚度退化幅度大于腹板高厚比小者,使曲线急剧下降.当轴压比也大时,如N/(Af)=0.6,构件稳定承载力和延性性能劣化现象尤为明显.由上述分析可知,翼缘、腹板宽(高)厚比对工字形截面压弯构件的稳定承载力和变形能力的影响并不是彼此孤立的,而应该综合考虑轴压比、翼缘和腹板宽(高)厚比之间的相关作用,在此基础上制定合理、可行的抗震设计对策.3.3板件厚厚性取值本文结合BC4-6～BC4-14系列压弯构件计算结果,对设防烈度大于和等于7度的工字形截面压弯构件,在综合考虑稳定承载力和延性要求基础上(即稳定承载力应满足Mcr/Mp≥0.5,当稳定承载力降至70%时,延性系数μy≥5),提出板件宽厚比限值建议公式.文献规定的