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2．1数列的极限2。11n

2

0

ε11εn1N1 nN

0ε，所以lim10lim3n1

nn2n

1

4n

4n N11nN

ε，所以lim3n13n n2an2a2n

1

ε

a2εn，所以取N1nN εn2n2

1 ε0,不妨设ε11ε，只需10n1nlg1 nNlg11nNε，所以lim1ε

lim3n2n

nn2

nn2n21

3

n2

时，

n2n ε，即nn2n

1 nNmax3, nn213ε，所以lim 3。nn2

ε 11 lim n1 2 n1n ε 111 1111111

111εn12 n1N11n

n 11 11lim

11

23n1n1εn1 2 n1n lim

2

n

2n

1 01

n n

n时，1 1 n nn时，1 1

0εn 所以lim

20

n

2nlim11 1 1 n 221321 ε 121111 112 22 321n2 13243546n3n1n2nn1n1

n1

11 n n

1 1

ε

221321n2所以lim11 1 1

n 221321 2 1limα0.αn证明：ε0,要 01ε，只需nα1即n1α1，所以取N1α1 则nN时，恒 0ε，所以lim10.α0n

limnqn0q1 1q0lim00ε0,NnN000ε，所以lim00qq情形20q1a

0

q1

oε0,n1nqn0nqn 1

1na

2

22

，只n21N22nNnqn0ε，所以limnqn0;lim1

εε 0 ε只需n!nεn

1 11 11 ε

ε ε而 εεε ε 所以只需 1， 12 11`11 1ε1ε

1εnnε ε!n，取N1 1，则nN时，恒 0ε，所

!lim

0

ε1nn2n1n3n2n,n12nn1nn!2nnnnn 0n

ε

1εnε

N11nnN时，恒 0ε，所以limn

0若limuna，证明lim

ε

limun

知NnN时，unaεun

uaε，所以lim n

a nx1n1，则x无极限，但x n设数列xn有界，且limyn0，证明limxnynM0，使得对任何nε

nM。ε0,由limy0NnεnNyn0

xnyn0xnyn

M ε，所以limxnyn0. 对于数列xnx2k1akx2kakxnanx2kak,存在正整数K2，当kK2时，x2kaε；取Nmax2K11,2K2nNxnaεxnan。N，对任意的ε0,nNxnaε问数列xnnNxnaxna的εxnaε已知limaalim1aaaan n ε证明：ε0,由limana知存在正整数N1，当nN1时，ana 1

aaaa 1aN22ann NN1nN

2 nN时，a1a2

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