导数应用课件

第11课时导数应用第11课时导数应用导数应用课件1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果

，那么f(x)在这个区间内为常数．【思考探究】1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0吗？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：

函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝01．函数的单调性与导数f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)2．函数的极值与导数在包含x0的一个区间(a，b)内，函数f(x)在任何一点的函数值

x0点的函数值，就说f(x0)是函数f(x)的一个极

值，记作y极大(小)值＝f(x0)，x0是极大(小)值点．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．不大于(小于)大(小)不大于(小于)大(小)3．函数的最值(1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条

的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ．②将函数y＝f(x)的各极值与

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)【思考探究】2.极值点一定是最值点这句话对吗？提示：

函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值点也不一定是极值点．导数应用课件答案：B答案：B2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点解析：

设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.答案：

C2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示答案：B答案：B4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．解析：

f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，则f′(1)＝0⇒a＝3.答案：

3导数应用课件5．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是________．5．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是________导数应用课件求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．【注意】

当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．导数应用课件导数应用课件【变式训练】1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间．【变式训练】1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点(最好通过列表法)．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值．导数应用课件(2010·安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．(2010·安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋导数应用课件【变式训练】2.已知函数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，且其图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．【变式训练】2.已知函数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x解y′＝3x2－6x<0，得0<x<2.∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)可知函数在x＝0时取得极大值c，在x＝2时取得极小值c－4，∴函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.导数应用课件设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．导数应用课件(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其导数应用课件导数应用课件导数应用课件解得m＝±1.∵切线l不过第四象限，∴m＝1.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝.当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表：导数应用课件导数应用课件导数应用课件利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，根据实际意义确定定义域；(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；(4)还原到原实际问题中作答．导数应用课件导数应用课件导数应用课件导数应用课件导数应用课件【变式训练】4.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．【变式训练】4.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的解析：

(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)×[20(1＋x)－15](元)．所以y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．导数应用课件导数应用课件1．在利用导数确定函数单调性时要注意结论“若y＝f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)上是增函数”的使用方法，此结论并非充要条件，如f(x)＝x3.在(－∞，＋∞)上是递增的，但f′(0)＝0；因此已知函数的单调区间求函数关系式中字母范围时，要对f′(x)＝0处的点进行检验．导数应用课件2．可导函数极值存在的条件(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．3．函数的最大值与最小值的理解最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值与最小的值，在求函数的最值时，要注意以下几点：2．可导函数极值存在的条件(1)最值与极值的区别极值是指某一点附近函数值的比较．因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．导数应用课件(2)最值与极值的求法的区别在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导的函数f(x)，它的极值可以通过检查导数f′(x)在每一个零点两旁的符号来求得．而f(x)在[a，b]上的最大(小)值，则需通过将各极值与端点的函数值加以比较来求得，其中最大(小)的一个即为最大(小)值．(3)当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．导数应用课件导数应用课件每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现，对导数的考查非常全面，既有选择题、填空题等客观题，又有解答题，通常以解答题为主，并且所占的分值较高．常见的考查方式有两种形式，一是直接把导数应用于多项式函数性质的研究，考查多项式函数的单调性、极值、最值等；二是把导数与函数、方程、不等式、数列等相联系，进行综合考查，主要考查函数的最值或求参数的值(或范围)．导数应用课件导数应用课件(2)在(－1,1)上，f(x)是增函数，当且仅当f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0.①7分a．当a