第一课时数列的概念与简单表示法

第四章

数列4．1数列的概念第一课时数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数，会求数列的通项公式.3.在学习数列概念的过程中，提升数学抽象、直观想象素养.4.通过对数列通项公式的学习，增强逻辑推理、数学运算素养.知识点一数列的概念(一)教材梳理填空1．数列的概念 (1)定义：一般地，按照确定的

排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的

叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(或称为

)，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项． (3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为

，其中n∈N*.顺序每一个数首项{an}2．数列与函数的关系

从函数观点看，数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的

，其自变量是

，对应的函数值是数列的第n项

，记为

．函数序号nanan＝f(n)(二)基本知能小试1．判断正误(1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．

(

)(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．

(

)(3)数列的项可以相等．

(

)(4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．

(

)答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×知识点二数列的分类与通项公式(一)教材梳理填空1．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数

的数列无穷数列项数

的数列按项的变化趋势递增数列从第__项起，每一项都

它的前一项的数列递减数列从第__项起，每一项都

它的前一项的数列常数列

的数列有限无限大于小于各项都相等222．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的

之间的对应关系可以用

来表示，那么这个

叫做这个数列的通项公式．序号n一个式子式子(二)基本知能小试1．判断正误(1)数列1,1,1，…是无穷数列．

(

)(2)所有的自然数构成的数列均为递增数列．

(

)(3)数列0,1,0,1，…是常数列．

(

)(4)有些数列没有通项公式．

(

)(5)数列的通项公式是唯一的．

(

)答案：(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×题型一数列的概念及分类

[学透用活](1)数列的定义中要把握两个关键词：“确定的顺序”与“一列数”．也就是说，构成数列的元素是数，并且这些数是按照“确定的顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置上．(2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：项是指出现在这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即an＝f(n)；项数是指这个数列共有多少项．[典例1]

下列说法正确的是

(

)A．{0,1,2,3,4,5}是有穷数列B．所有有理数能构成数列C．－2，－1,1，x,3,4,5是一个项数为7的数列D．数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列[解析]紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件．因为{0,1,2,3,4,5}是集合，而不是数列，故A错误；所有有理数能构成数列，故B正确；当x代表数时，它是项数为7的数列；当x不代表数时，它不是数列，故C错误；数列1,2,3,4，…，2n，共有2n项，是有穷数列，所以D错误．[答案]

B[方法技巧]1．有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列；否则为无穷数列．2．数列单调性的判断判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an<an＋1，则是递增数列；若满足an>an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列．

题型二由数列的前几项求通项公式

[学透用活](1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数表达式．(2)像不一定所有的函数关系都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(3)掌握以下数列的通项公式：[方法技巧]1．由数列前几项归纳通项公式的常用方法观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式．2．由数列的前几项求通项公式的解题策略(1)对于分式形式的数列，可以分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．(3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．

2．如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．解析：

我们把图案按如下规律分解.这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.答案：an＝4n＋2题型三数列通项公式的简单应用

[学透用活][典例3]已知数列的通项公式为an＝2n2－n.(1)求这个数列的第5项，第10项．(2)试问：15是不是{an}中的项？3是不是{an}中的项？[方法技巧]1．利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．2．判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．

2．已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．解：(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，an＝3n，显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，an＝(－3)n，令(－3)n＝－81，无解．∴－81不是此数列中的项．[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2021；(3)判断2021是否为数列{an}中的项．二、应用性——强调学以致用2．第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案如图1所示

，会徽的主体