山西省大同市2023届高三上学期第一次学情调研数学试题（解析版）

大同市2023届高三年级学情调研测试数学一､选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.若复数z满足，其中是虚数单位，则（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，解得，再由复数模的定义得答案.【详解】由，得，所以.故选：D.3.在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（）A. B. C.6 D.12【答案】D【解析】【分析】利用向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得出答案．【详解】解：，，三点共线，，，当且仅当，时取等号，所以的最小值是12.故选：D．4.已知，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，利用中间量法即可得出答案.【详解】解：，，，因为，所以.故选：D.5.等比数列的前n项和，则（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值.【详解】，当时，，因为是等比数列，所以，得，所以A正确.故选：A.6.斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.【详解】抛物线的焦点坐标为，则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：，设，不妨设，，则，点O到直线AB的距离为，所以△AOB的面积为故选：B7.正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（）A.56 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件作出图形，求出棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求解.【详解】如图所示，在正四棱台中，点分别为上、下底面的中心，连接，则由题意可知底面，，过点作交于点，则底面，四边形为矩形，，所以，因为，所以，即正四棱台的高为，所以正四棱台的体积为.故选：B.8.函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.考点：三角函数图像与性质9.高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（）A.72 B.144 C.48 D.36【答案】A【解析】【分析】先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排的方法种数,先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排的方法种数，由分步计数原理即可得出答案.【详解】先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有种方法，再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有种方法，所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是：.故选：A.10.如图，在四棱柱中，，，，，M，N分别是棱和的中点，则下列说法中不正确的是（）

A.四点共面 B.与共面C.平面 D.平面【答案】B【解析】【分析】A选项，连接MN，由中位线得到，结合得到，得到四点共面；B选项，由与共面，而与平行，得到与不共面；C选项，由线线垂直得到线面垂直；D选项，连接得到是等边三角形，得到，由平面得到，从而证明出平面.【详解】连接MN，则因为，M，N分别是棱和的中点，所以，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以四点共面，A说法正确；

因为，，，所以平面，C正确；连接，因为，，所以是等边三角形，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，D说法正确；若与共面，则共面，故在平面中，这与题设矛盾，B说法错误故选：B11.函数的最大值为M，最小值为N，则（）A.3 B.4 C.6 D.与m值有关【答案】C【解析】【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，，设，则的定义域为，所以，所以为奇函数，所以，所以,故选：C.12.已知为双曲线的左､右焦点，点P在E上，的平分线交x轴于点D，若，且，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理、角平分线的性质、余弦定理，结合双曲线的定义和性质进行求解即可.【详解】根据双曲线的对称性不妨设点P在右支上，因为，，所以解得，因为角平分线的上点到角的两边距离相等，所以，两边平方化简为：，在三角形中，由余弦定理可知：而，解得，故选：B【点睛】关键点睛：由角平分线得到比例式子是解题的关键.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，的系数是_________．【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．【详解】因为展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．14.已知满足，且在处的切线方程为，则___________.【答案】【解析】【分析】根据，可得函数是上的奇函数，从而可求得，再根据导数的几何意义可得，从而可求得，即可得出答案.【详解】解：函数的定义域为，因为，所以函数是上的奇函数，所以，解得，所以，则，所以，则，因为在处的切线方程为，所以，解得，所以.故答案为：.15.在中，角的对边分别为，且，且，则面积的最大值为___________.【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，可化为，整理可得，由余弦定理，又，故，根据基本不等式，取得等号，故，即面积的最大值为.故答案为：.16.球内接直三棱柱，则球表面积为___________.【答案】【解析】【分析】由题可得外接球的球心O是上下底面外接圆的圆心连线的中点，然后构造直角三角形，可得半径，从而得到表面积.【详解】设三角形ABC和三角形的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r，可得，由正弦定理得，，而在三角形OCD中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面积为．故答案为：三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､，证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的前n项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分，与两种情况分析，当是，构造证明即可；（2）由（1）可得，再利用裂项求和求解，进而证明即可【小问1详解】证明：当时，∴当时，，∴∴数列是以2为公比，首项的等比数列【小问2详解】由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴综上所述18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）若，求的周长；（2）延长至点D，连接，满足，且为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到角A,从而得到边c,由余弦定理得到边b，从而得到周长；（2）由正弦定理得到，，然后利用辅助角公式以及正弦函数的性质可得到范围.【小问1详解】在中，，由正弦定理得，可得，由，得由得，由正弦定理，，所以，由余弦定理（舍去）∴的周长.【小问2详解】由正弦定理则，∴∵为锐角三角形解得∴即的取值范围为19.袋中有大小､质地完全相同的五个小球，小球上面分别标有0，1，2，3，4.（1）从袋中任意摸出三个球，标号为奇数的球的个数记为X，写出X的分布列；（2）从袋中一次性摸两球，和为奇数记为事件A，有放回地摇匀后连摸五次，事件A发生次数记为Y，求Y的分布列､数学期望和方差.【答案】（1）答案见解析（2）分布列答案见解析，，【解析】【分析】（1）求出X的所有可能取值及对应的概率，求出分布列；（2）得到，求出分布列，得到数学期望和方差.【小问1详解】由题可得X的所有可能取值为0，1，2则X的分布列为X012P【小问2详解】由题易知，因Y服从二项分布则Y的分布列为Y012345P∴，20.如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角.（1）求证：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到平面，再由线面垂直的判定定理得到平面，结合面面垂直的判定定理可得到证明.（2）取的中点O，以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后求两个平面的法向量，利用向量公式求解即可.【小问1详解】证明：因为平面平面，平面平面，平面∴平面又平面，所以又，且∴平面又平面，所以平面平面【小问2详解】取的中点O，连接如图：以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则点，，，设平面的法向量则有取,设平面的法向量即，取，可得即平面的一个法向量设二面角大小为，由图知为锐角21.已知函数.（1）设在上单调递减，求a的取值范围；（2）当时，证明：恒成立.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，利用单调性得到恒成立，求出最大值，求出a的取值范围；（2）构造函数，求导，得到其单调性，证明出不等式.【小问1详解】由题可知，，当时，恒成立，所以恒成立令当时，取最大值∴，即a的取值范围为【小问2详解】证明：要证，即证令，∵∴函数在上单调递减，命题得证.点睛】导函数证明不等式，一般要对不等式进行变形，构造函数，利用导函数得到函数单调性，极值和最值情况，证明出不等式.22.已知椭圆的右焦点为F，离心率，点F到左顶点的距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）已知四边形为椭圆的内接四边形，若边过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设的斜率分别为，试