直线的一般式方程课件高二上学期数学人教A版选择性2

直线的一般式方程学习目标1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.3.能运用直线的一般式方程解决有关问题．思考

上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？形式条件直线方程应用范围点斜式直线过点(x0,y0),且斜率为k斜截式在y轴上的截距为b,且斜率为k两点式过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)截距式过点P1(a,0),P2(0,b)(其中a≠0,b≠0)不含与x轴垂直的直线不含与x轴垂直的直线不含与x,y轴垂直的直线不含过原点和与x,y轴垂直的直线都是关于x,y的二元一次方程思考(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?(2)任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗?

因此,在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程.探究：先看问题(1),在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角.即

kx-y+b=0.这是关于x,y二元一次方程,若设A=k,B=-1,C=b,

则方程形式可写成当α≠90°时,直线方程可写成

y=kx+b,

当α=90°时,直线方程可写成x=x1,即x-x1=0.这也是关于x,y二元一次方程,若设A=1,B=0,C=-x1,

则方程形式也可写成Ax+By+C=0.Ax+By+C=0.思考

(2)任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗?由上可知,

关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.探究：对于问题(2),任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线.当B≠0时,方程Ax+By+C=0可变形为当B=0时,A≠0,方程Ax+By+C=0可变形为综上可知,

在平面直角坐标系中,任何关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.探究在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线：①平行于x轴；②平行于y轴；③与x轴重合；④与y轴重合.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系：直线的一般式代数特征明显，而直线方程的四种特殊形式具有比较明显的几何意义；直线的一般式Ax+By+C=0通常化为斜截式以获取直线的几何特征如斜率、截距等；直线方程通常用一般式表示，直线的四种特殊形式化为一般式的规范要求：先x项，再y项，最后常数项；A、B、C尽可能整数化，A>0;题型一直线的一般式方程与其他形式转化注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．题型一直线的一般式方程与其他形式转化4x－y－2＝02x＋y－3＝0x＋3y＋3＝0(2)y＝4x－2题型一直线的一般式方程与其他形式转化答案：D

题型二直线的一般式方程的应用1.已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤题型二直线的一般式方程的应用2．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.3．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.例3（由含参数的一般式求参数的值或取值范围）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.例4（一般式下直线的平行与垂直问题）已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[跟踪训练]2已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．[跟踪训练]2已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．1.判定两直线平行的方法：

法1：若两直线斜率都存在,化成斜截式后,由

k1＝k2,且b1≠b2可判定两直线平行;若两直线斜率都不存在且不重合时两直线平行．法2：设两直线的方程为l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2:A2x＋B2y＋C2＝0.

l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0,且B1C2－B2C1≠0.2.判定两直线垂直的方法：法1：若一个斜率为零,另一个斜率不存在,则两直线垂直．若两个斜率都存在,化成斜截式后,由k1k2＝－1可判定两直线垂直.法2