06薛震-概率统计-D5基本极限定理-中北大学

基本极限定理第五章切比雪夫不等式与大数定律中心极限定理第五章切比雪夫不等式与大数定律第一节一、切比雪夫不等式二、大数定律①②×即引言频率的稳定性,用频率代替概率的科学性.1.背景:2.内容:用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理称为大数定律.3.刻画:定理1:设X的数学期望方差则有或注:切比雪夫不等式常用来在E(X)和D(X)已知时,对事件发生的概率进行估计.一、切比雪夫不等式切比雪夫例1.已知我校有1万盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率均为0.8,且它们开关与否相互独立,试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开灯7800-8200盏之间的概率.解:设X表示夜晚开灯数,则又因为E(X)=8000,D(X)=1600,则由切比雪夫不这说明只需供应8200盏灯的电力就能以相当大的概率保证这1万盏灯的正常使用.等式知1.切比雪夫大数定律二、大数定律定理2:设相互独立的随机变量具有有限的期望和方差,若存在常数C使则有即推论:设相互独立的随机变量服从相同的分布,且则有注:该结论的实际意义在于,为了减少测量的随机误差,常常用测量的平均值来代替真实值,即(切比雪夫大数定律推论的特殊形式)2.伯努利大数定律定理3:设是n重伯努利试验中事件A发生的次数,且则有注:该结论的实际意义在于,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替其概率.3.辛钦大数定律定理4:注:辛钦大数定律要求同分布但并不要求方差存在.设相互独立的随机变量服从相同的分布,且则有辛钦第五章中心极限定理第二节一、独立同分布中心极限定理二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设独立随机变量序列则当n很大时,和方差都存在,2.内容:3.刻划:的期望1.背景:若一个量受到大量独立的随机因素综合影响,而每一因素在总影响中所起的作用并不大,则这个量通常近似服从正态分布.引言设相互独立的随机变量定理1:(Levy-Lindeberg中心极限定理)一、独立同分布的中心极限定理服从相同的分布,且则有即例2.设某食品用机器装袋,每袋净重的期望为100g,标准差为4g,一箱装100袋,求一箱净重大于10100g的概率.解:设表示第i袋食品的净重,则独立同分布,且而一箱净重由独立同分布的中心极限定理可知:所以(独立同分布的中心极限定理的特殊形式)二、DeMoivre-Laplace中心极限定理定理2:设是n重伯努利试验中事件A发生且则有注:设当n比较大时,对任意的a<b有的次数,拉普拉斯例3.保险公司多年统计资料表明,因被盗理赔的用户占20%,以X表示100个理赔用户中因被盗理赔的个数,试写出X的概率分布,并利用拉普拉斯中心极限定理,求被盗理赔用户大于14且不多于30户的概率近似值.解:(1)易知则X的分(2)已知n=100,p=0.2,由拉普拉斯中心极限定理得布列为内容小结1.利用切比雪夫不等式进行近似计算；2.切比雪夫大数定律；3.伯努利大数定律；4.辛钦大数定律；6.独立同分布的中心极限定理；7.德莫夫-拉普拉斯中心极限定理.5.利用中心极限定理进行近似计算；切比雪夫(1821–1894)切比雪夫,俄罗斯数学家.1821年5月生于俄国卡卢加,1894年12月卒于彼得堡.他出身于贵族家庭,左脚生来有残疾,因而童年时代的他经常独坐家中,养成了在孤寂中思索的习惯.16岁进莫斯科大学,1841年因《方程根的计算》一文获银质奖章.1847年进彼得堡大学,两年后获博士学位,1859年当选为彼得堡科学院院士.切比雪夫一生发表了70多篇科学论文,论、概率论、函数逼近论、积分学等方面.内容涉及数辛钦(1894–1959)辛钦,现代概率论的奠苏联数学家,基者之一,1894年7月生于莫斯科,1959年11月去世.1916年毕业于莫斯科大学,先后在莫斯科大学和苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所等处工作.1939年当选为苏联科学院通讯院士,他还是俄罗斯教育科学院院士.辛钦在函数的度量理论、数论、概率论、信息论等方面都有重要的研究成果.在分析学、数论及概率论对统计力学的应用方面也有重要贡献.拉普拉斯(1749–1827)拉普拉斯,法国数学家和天文学家,1749年3月生于博蒙昂诺日,1827年3月卒于巴黎.他一生在科学上的贡献仅次于牛顿而居第二.拉普拉斯是天体力学的主要奠基人,是天体演化学的创立者之一,是分析概率论的创始人,是应用数