拨开迷雾见彩虹-一道几何题的探究历程 论文

拨开迷雾见彩虹—— 一道几何题的探究历程摘要：所谓博观而约取，厚积而薄发，对题目的思考，大抵如此。关键词：执果索因，模型参考，原型启发，深度学习引言:式，又是学生的一种学习方式。本文就一道几何题的探究过程与思考进行分享。一、题目：如图D是ABE是BCDE为边作等边△DEF，连接FC，求证：FC=FE。图1二、如何想，如何做。思考1：执果索因假如一定在以点F如何证明“点D、E、C一定在以点F为圆心的圆上”呢？探究1：（初步尝试）延长DF，使FG=FD，连接DC，EG，如图2：图2此时，点F为圆心的圆上，那么只需说明点C也在此圆上即可。仔细观察图，发现图中有下图基本模型：模型参考1：（四点共圆）如图3：若∠C=∠D，则A、B、C、D图3于是，要证点C在圆上，只需证∠G=∠DCE即可。下证：证法1：1∠DFE=30°，2∵△ABCD为AB∠G=∠DCE=30°。此时，可以得到点C、E、D、G是在以点F为圆心的圆上，所以FE=FC。由隐形圆，又想到也可进行另外一种证明，下证：证法2：如图4：连接CD，图4∵D为ABDEF是等边三角形，∴∠DFE=60°,∴∠DCE=1∠DFE，∴点F是△DEF外接2圆的圆心，∴FE=FC。思考2：如果不用“隐形圆”的相关知识，那怎么解呢？同样，执果索因。假如FE=FC，过点F作FH⊥EC，垂足为点H一定是EC的中点。也就是说，只要证明点H是EC的中点，就可以证得FE=FC了。如何说明点H是EC的中点呢？图5探究2：（原型启发）由于图中有两个等边三角形，于是想到“手拉手”模型：模型参考图6中△ABC和△AB'C'都是等边三角形。图6连接BB'，CC'，BB'与CC'交于点M。在△ABB'和△ACC'中：由AB=AC,AB’=AC’,∠BAB'=∠CAC'=60°＋∠CAB’,容易证得：形绕点A旋转60°得到的。由旋转的性质，易得∠B'MC'=60°。回归题目，结合上述模型，想到过点D作AC的平行线。可在图7中构造等边三角形，出现上述模型。下证：图7证法3：如图7，过点F作FH⊥EC，垂足为点H，过点D作DG∥AC，交BE于点G，连接FG。设∵△ABC是等边三角形，DG∥AC,∴△BDG也是等边三角形∴BD=BG=a。∵点D是线段AB的中点，∴AB=BC=2a。∵△DEF是等边三角形，易证△BDE≌△GDF（SAS）∴GF=BE=a+b。∴EC=2a-（a+b）=a-b∴结合“模型参考∴在RT△FHG中，∠GFH=30°，∴GH=1GF=1（a+b）2 2∴EH=GH-GE=1（a+b）-b=1(a-b)=1EC,即EH=1EC。2 2 2 2∴点H是EC的中点。此时，FE=FC得证。思考3：还可以添加其他的平行线吗？探究3：（思维发散）由探究2的证法——“添加平行线，构造等边三角形”想到：模型参考图8如上图8，若∠B=∠ACD=∠E=α，则：∠ACB=180°-（α+∠DCE）∠CDE=180°-（α+∠DCE）,可得：∠ACB=∠CDE。故△ABC～△CED。如果在此基础上，加上条件：AC=CD,则又可以得到△ABC≌△CED。回归题目：想到过点F作AC的平行线。出现上述模型。下证：图9证法4：如图：过点F作FH⊥EC，垂足为点H，过点F作FG∥AC，交BC的延长线于点G。设∵∠B=∠DEF=∠G=60°，结合“模型参考可得：∠BED=∠GFE。∵△DEF是等边三角形，∴DE=DF。可得：△BED≌△GFE（AAS或∴GF=BE=b，EG=BD=a，∵点D是线段AB的中点，△ABC是等边三角形，∴BC=AB=2a，则：EC=2a-b，∵FH⊥EC，∴在RT△FHG中，∠GFH=30°，∴HG=1GF=1b。2 2而EH=EG-HG=a-1b=1(2a-b)=1EC。2 2 2即：EH=1EC。∴点H是EC的中点。2此时，FE=FC得证。思考4：还有更简单的方法吗？D或者过点F否可以过点E作平行线呢？探究4：（优化解法）过点E作AB的平行线。本质思想是：结合上文“模型参考图10证法5：如图，过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，连接DG，DC。∵△ABC是等边三角形，EG∥AB，∴△EGC也是等边三角形。∴EC=EG，∵△DEF是等边三角形，∴EF=ED，∵点D是线段AB的中点，∴CD⊥AB,又∵EG∥AB，∴CD⊥EG。∵CE=CG,∴CD垂直平分EG，∴DE=DG。∴FE=FC。结论得证。三、总结与感悟该题是学生向我问的一道数学题，看完题目后我首先想到的是“思考1”中的证法；而这是一位八年级的学生，她并没有学到“圆”的相关知识，怎么办？我又仔细看图，发现图中有两个等边三角形，3”证法。在原型启发下，从“过点D作平行线、过点F作平行线到过点E作平行线”,其实是一条主线，一种思想，而在一种解法的产生下，发散出更多不同的解法，以至“探究《义务教育课程标准（2022明类问题，要引导学生学会关注事物的共性，分辨事物的差异，形成合适的类。效益。1和证法24及证法5属于另一类。而回顾后面三种证法，容易发现它的添加辅助线的方法分别是以等边△DEF的三3和证法4的证明的过程中，又用到了代数思想，这种数形结合给解题带来了极大的方便。以上