旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第5讲指数与指数函数

第5讲指数与指数函数1．指数及指数运算(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果eq\o(□,\s\up3(01))xn＝a，那么x叫做a的n次方根—n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个eq\o(□,\s\up3(02))正数，负数的n次方根是一个eq\o(□,\s\up3(03))负数eq\r(n,a)零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有eq\o(□,\s\up3(04))两个，它们互为eq\o(□,\s\up3(05))相反数±eq\r(n,a)(a＞0)负数没有偶次方根(2)分数指数幂①aeq\s\up15(eq\f(m,n))＝eq\o(□,\s\up3(06))eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；②aeq\s\up15(－eq\f(m,n))＝eq\o(□,\s\up3(07))eq\f(1,aeq\s\up15(eq\f(m,n)))＝eq\o(□,\s\up3(08))eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).2．指数函数及其性质(1)指数函数的概念函数eq\o(□,\s\up3(09))y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．(2)指数函数的图象和性质底数a>10<a<1图象性质函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数1．(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1).2.eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数且n>1，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))))n为偶数且n>1.3．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up15(x)的图象关于y轴对称．1．化简[(－2)6]eq\s\up15(eq\f(1,2))－(－1)0的结果为()A．－9B．7C．－10D．9答案B解析[(－2)6]eq\s\up15(eq\f(1,2))－(－1)0＝(26)eq\s\up15(eq\f(1,2))－1＝7.2．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(x)＋1(x≥0)的值域为()A．(－∞，2] B．(2，＋∞)C．(0，2] D．(1，2]答案D解析∵当x≥0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(x)∈(0，1]，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(x)＋1∈(1，2]，即函数f(x)的值域为(1，2].3．(2021·四川南充模拟)已知(0.61.2)a＞(1.20.6)a，则实数a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)答案B解析由指数函数y＝0.6x是减函数知，0<0.61.2<0.60＝1.由指数函数y＝1.2x是增函数知，1.20.6＞1.20＝1，∴0.61.2<1.20.6.由(0.61.2)a＞(1.20.6)a可知，幂函数y＝xa在第一象限应为减函数，故a<0，故选B.4．(2022·河南南阳模拟)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(3,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，则()A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<c<a答案D解析因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(x)在R上为减函数，eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，所以b<c.又y＝xeq\s\up15(eq\f(2,5))在(0，＋∞)上为增函数，eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，所以a>c，所以b<c<a.故选D.5．(2020·北京高考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是()A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0，1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案D解析因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)＞0等价于2x＞x＋1，在同一直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图，两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，所以不等式2x＞x＋1的解为x＜0或x＞1.所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.6．若x＋x－1＝3，则xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝；x2＋x－2＝．答案eq\r(5)7解析∵(xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))2＝x＋x－1＋2＝5，且xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))>0，∴xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\r(5).又(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，∴x2＋x－2＝7.考向一指数幂的运算例1求值与化简：(1)8eq\f(2,3)×100－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up15(－3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))eq\s\up15(－\f(3,4))；(2)(3)(4)已知a>0，aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3，求eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)的值．解(1)原式＝(23)eq\s\up15(eq\f(2,3))×(102)eq\s\up15(－eq\f(1,2))×(2－2)－3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up15(4)))eq\s\up15(－eq\f(3,4))＝22×10－1×26×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(－3)＝86eq\f(2,5).(4)将aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47，所以eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq\f(47＋1,7＋1)＝6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．1.计算0.027eq\s\up15(－eq\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up15(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up15(eq\f(1,2))－(eq\r(2)－1)0.解原式＝(0.33)eq\s\up15(－eq\f(1,3))－72＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up15(eq\f(1,2))－1＝eq\f(10,3)－49＋eq\f(5,3)－1＝－45.2．化简：eq\f(5,6)aeq\s\up15(eq\f(1,3))b－2·(－3aeq\s\up15(－eq\f(1,2))b－1)÷(4aeq\s\up15(eq\f(2,3))b－3)eq\s\up15(eq\f(1,2))(a>0，b>0).解原式＝－eq\f(5,2)aeq\s\up15(－eq\f(1,6))b－3÷(4aeq\s\up15(eq\f(2,3))b－3)eq\s\up15(eq\f(1,2))＝－eq\f(5,4)aeq\s\up15(－eq\f(1,6))b－3÷(aeq\s\up15(eq\f(1,3))beq\s\up15(－eq\f(3,2)))＝－eq\f(5,4)aeq\s\up15(－eq\f(1,2))beq\s\up15(－eq\f(3,2))＝－eq\f(5,4)·eq\f(1,\r(ab3))＝－eq\f(5\r(ab),4ab2).解4．已知a－eq\f(1,a)＝3(a>0)，求a2＋a＋a－2＋a－1的值．解∵a－eq\f(1,a)＝3，∴a2＋eq\f(1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\s\up15(2)＋2a·eq\f(1,a)＝9＋2＝11，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up15(2)＝a2＋eq\f(1,a2)＋2＝13，∴a＋eq\f(1,a)＝eq\r(13)，∴a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋eq\r(13).考向二指数函数的图象及其应用例2(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0答案D解析由图象知f(x)是减函数，所以0<a<1，又由图象在y轴上的截距小于1可知a－b<1，即－b>0，所以b<0.故选D.(2)(2022·甘肃白银月考)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1.所以0<a<eq\f(1,2).②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，0<a<eq\f(1,2).(1)研究指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)根据函数图象的变换规律得到的结论①函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到．②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到．③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.5.(2021·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象不经过点A的是()A．y＝eq\r(1－x) B．y＝|x－2|C．y＝2x－1 D．y＝x3答案A解析由题意知f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，即A(1，1)，又0＝eq\r(1－1)，所以点(1，1)不在y＝eq\r(1－x)的图象上．故选A.6．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2答案D解析作出函数f(x)＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1，2c>1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1.∴2a＋2c<2.精准设计考向，多角度探究突破考向三指数函数的性质及其应用角度比较指数幂的大小例3(1)(2022·上海延安中学模拟)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．b<c<a答案C解析因为y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c.(2)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up15(0.1)的大小关系是()A．M＝NB．M≤NC．M<ND．M＞N答案D解析因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up15(0.1)＜1，所以M＞N.故选D.比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．7.(2021·福建漳州模拟)已知0<a<b<1，则()A．(1－a)eq\f(1,b)>(1－a)bB．(1－a)b>(1－a)eq\f(b,2)C．(1＋a)a>(1＋b)bD．(1－a)a>(1－b)b答案D解析∵y＝(1－a)x是减函数，∴(1－a)a>(1－a)b，(1－a)eq\f(1,b)<(1－a)b，(1－a)b<(1－a)eq\f(b,2)．∵y＝(1＋a)x是增函数，∴(1＋a)b>(1＋a)a，又y＝xb在(0，＋∞)上是增函数，1＋b>1＋a，1－a>1－b，∴(1＋b)b>(1＋a)b，(1－a)b>(1－b)b，∴(1＋b)b>(1＋a)a，(1－a)a>(1－b)b.D正确，其余都错误．8．已知0<a<1，x>y>1，则下列各式中正确的是()A．xa<yaB．ax<ayC．ax>ayD．ax>ya答案B解析对于A，∵eq\f(x,y)>1，0<a<1，∴eq\f(xa,ya)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))eq\s\up15(a)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))eq\s\up15(0)＝1，∴xa>ya，∴A错误；∵0<a<1，∴f(x)＝ax为减函数，又x>y>1，∴ax<ay，∴B正确，C错误；对于D，∵ax<a0＝1，而ya>y0＝1，∴ax<ya，∴D错误．故选B.角度解简单的指数不等式例4(1)(2021·湖南湘潭高三检测)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)＞eq\f(1,e2)－e2的x的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)答案B解析由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)＞eq\f(1,e2)－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故选B.(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up15(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案C解析当a<0时，不等式f(a)<1为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(a)－7<1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(a)<8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(－3)，因为0<eq\f(1,2)<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1为eq\r(a)<1，所以0≤a<1.故实数a的取值范围是(－3，1)，故选C.解指数不等式的思路方法对于形如ax>ab的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．9.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up15(x)，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3] B．[－3，0)C．[－3，－1] D．{－3}答案B解析当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x<0时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up15(a)，－1))，∴eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，－1))[－8，1]，即－8≤－eq\f(1,2a)<－1，即－3≤a<0，∴实数a的取值范围是[－3，0).故选B.10．(2022·上海青浦区摸底)不等式2x2－4x－3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(3x－3)的解集为．答案(－2，3)解析由2x2－4x－3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(3x－3)得2x2－4x－3<23－3x，因为函数f(x)＝2x在R上是增函数，所以x2－4x－3<3－3x，解得－2<x<3.角度与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(－x2＋2x＋1)的单调递减区间为．答案(－∞，1]解析设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(u)为减函数，∴函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(－x2＋2x＋1)的减区间即函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴所求减区间为(－∞，1].(2)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up15(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(x)＋1在区间[－3，2]上的值域是．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57))解析令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(x)，因为x∈[－3，2]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，8)).故y＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up15(2)＋eq\f(3,4).当t＝eq\f(1,2)时，ymin＝eq\f(3,4)；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)).与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域．(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的．(3)分层逐一求解函数的单调区间．(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).11.已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是．答案(－∞，4]解析令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减，而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(ax2－4x＋3).(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．解(1)当a＝－1时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(－x2－4x＋3)，令t＝－x2－4x＋3，由于t＝－x2－4x＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(t)在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(g（x）)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由指数函数的性质知，要使y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(g（x）)的值域为(0，＋∞)，应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.1．计算1.5eq\s\up15(－eq\f(1,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))eq\s\up15(0)＋80.25×eq\r(4,2)－＝()A．0B．1C．eq\r(2)D．2答案D解析2．下列函数中，值域为正实数集的是()A．y＝－5x B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(1－x)C．y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up15(x)－1) D．y＝3|x|答案B解析∵1－x∈R，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(x)的值域是正实数集，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(1－x)的值域是正实数集．3．给出下列结论：①当a<0时，(a2)eq\s\up15(eq\f(3,2))＝a3；②eq\r(n,an)＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；③函数f(x)＝(x－2)eq\s\up15(eq\f(1,2))－(3x－7)0的定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥2且x≠\f(7,3)))))；④若5a＝0.3，0.7b＝0.8，则ab>0.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②④答案B解析当a<0时，(a2)eq\s\up15(eq\f(3,2))>0，a3<0，故①错误；∵0<5a<1，0<0.7b<1，∴a<0，b>0，∴ab<0，故④错误．4．(2022·蚌埠质检)已知0<a<b<1，则在aa，ab，ba，bb中，最大的是()A．aaB．abC．baD．bb答案C解析∵0<a<b<1，a－b<0，∴eq\f(aa,ab)＝aa－b>1，即aa>ab，同理可得，ba>bb，又eq\f(aa,ba)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up15(a)<1，∴ba>aa，即ba最大．5．(2021·湖北八校联考)已知函数f(x)＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)，则f(x)是()A．奇函数，且在R上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数，且在R上是减函数D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数答案C解析函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝eq\f(1,e－x＋1)－eq\f(1,2)＝eq\f(ex,ex＋1)－eq\f(1,2)，则f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数，函数f(x)＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)显然是减函数．故选C.6．已知f(x)＝ax和g(x)＝bx是指数函数，则“f(2)>g(2)”是“a>b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由f(x)＝ax与g(x)＝bx是指数函数可知a>0，b>0.充分性：若“f(2)>g(2)”成立，即a2>b2，由于a，b都是正数，则a>b，充分性成立；必要性：若a>b，则f(2)＝a2>b2＝g(2)，必要性成立．综上所述，“f(2)>g(2)”是“a>b”的充要条件．故选C.7．(2021·长春市模拟)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)答案D解析把不等式2x(x－a)<1变形为x－a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(x).在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(x)的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1.8．(2022·山西阳泉摸底)若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且满足f(x)－g(x)＝2x，则有()A．f(2)<f(3)<f(0)B．f(0)<f(3)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(3)D．f(0)<f(2)<f(3)答案D解析∵函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).由f(x)－g(x)＝2x，得f(－x)－g(－x)＝2－x，∴－f(x)－g(x)＝2－x，即f(x)＋g(x)＝－2－x，与f(x)－g(x)＝2x联立，得f(x)＝eq\f(2x－2－x,2)，∴f(0)＝0，f(2)＝eq\f(22－2－2,2)＝eq\f(15,8)，f(3)＝eq\f(23－2－3,2)＝eq\f(63,16)，∴f(0)<f(2)<f(3)，故选D.9．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案B解析由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(|2x－4|).由于y＝|2x－4|在(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.10．(2021·福建厦门第一次质量检查)已知a>b>0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则()A．x<z<yB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<x答案A解析∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，∴y－z＝a(ea－eb)，又a>b>0，e>1，∴ea>eb，∴y>z，∵z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)，又a>b>0，eb>1，∴z>x.综上，x<z<y.故选A.11．(2022·江西省赣州市第二中学模拟)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），f（x）≤K，,K，f（x）>K.))给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为0B．K的最小值为0C．K的最大值为1D．K的最小值为1答案D解析根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.12．(2021·江西莲塘一中、临川二中高三联考)定义：x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为取整函数，例如：[－3.6]＝－4，[5.6]＝5，已知函数f(x)＝eq\f(2·3x－1,3x＋1)，则y＝[f(x)]的值域是()A．{0，1} B．{－1，1}C．{－1，0，1} D．{－1，0，1，2}答案C解析因为f(x)＝eq\f(2·3x－1,3x＋1)＝eq\f(2（3x＋1）－3,3x＋1)＝2－eq\f(3,3x＋1)，且3x>0，所以3x＋1>1，所以0<eq\f(3,3x＋1)<3，所以－1<2－eq\f(3,3x＋1)<2，所以－1<f(x)<2，当－1<f(x)<0时，[f(x)]＝－1，当0≤f(x)<1时，[f(x)]＝0，当1≤f(x)<2时，[f(x)]＝1，所以[f(x)]∈{－1，0，1}．所以函数y＝[f(x)]的值域是{－1，0，1}．故选C.13．若xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3，则eq\f(xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))－3,x2＋x－2－2)＝．答案eq\f(1,3)解析由xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45.xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))＝(xeq\s\up15(eq\f(1,2)))3＋(xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))3＝(xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.∴eq\f(xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))－3,x2＋x－2－2)＝eq\f(1,3).14．(2021·江苏张家港一模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，0≤x<1，,2x－\f(1,2)，x≥1，))设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))解析画出函数f(x)的大致图象，如图所示．由图象可知，要使a>b≥0，f(a)＝f(b)成立，则eq\f(1,2)≤b<1.b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)))eq\s\up15(2)－eq\f(1,4)，所以eq\f(3,4)≤b·f(a)<2.15．已知函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)满足f(1)>1，若函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，则a的取值范围是．答案(2，5]解析∵f(1)>1，∴a－1>1，即a>2.∵函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，∴g(0)＝a1－1－4≤0，∴a≤5，∴a的取值范围是(2，5].16．已知函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)内单调递增，则a的取值范围为．答案[6，＋∞)解析函数y＝2－x2＋ax＋11是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．因为函数t＝－x2＋ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，所以函数y＝2－x2＋ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))上单调递减．又函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤eq\f(a,2)，即a≥6.17．已知关于x的函数f(x)＝2x＋(a－a2)·4x，其中a∈R.(1)当a＝2时，求满足f(x)≥0的实数x的取值范围；(2)若当x∈(－∞，1]时，函数f(x)的图象总在直线y＝－1的上方，求实数a的整数值．解(1)当a＝2时，f(x)＝2x－2·4x≥0，即2x≥22x＋1，x≥2x＋1，x≤－1.故实数x的取值范围是(－∞，－1].(2)f(x)>－1在x∈(－∞，1]上恒成立，即a－a2>－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up15(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up15(x)))在x∈(－∞，1]上恒成立.因为函数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up15(x)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(x)在x∈(－∞，1]上均为单调递减函数，所以－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up15(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up15(x)))在(－∞，1]上为单调递增函数，最大值为－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up15(1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up15(1)))＝－eq\f(3,4).因此a－a2>－eq\f(3,4)，解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).故实数a的整数值是0，1.18.函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较ab与ba的大小；(3)若(m＋4)－b<(3－2m)－b，求m的取值范围．解(1)依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aeq\s\up15(eq\f(1,4))＝\f(1,2)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up15(b)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,16)，,b＝\f(1,2)，))所以F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))\s\up15(x)，x≤\f(1,4)，,xeq\s\up15(eq\f(1,2))，x>\f(1,4)．))(2)因为ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up15(eq\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(2)，ba＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,16))，指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(x)在R上单调递减，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,16))，即ab<ba.(3)由(m＋4)eq