山东2020届高三上学期期末教学质量检测数学卷05考试版

---山东省2020届高三上学期期末授课质量检测卷05数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必然自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定地址上。2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：高中全部内容。一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.z1．已知复数z2i，则在复平面上对应的点所在象限是1iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按早先拟订的价格进行试销，获取以下数据：单价x（元）456789销量y（件）908483807568由表中数据，求得线性回归方程为y4xa．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为1112A．B．C．D．63233．函数f(x)excosx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为A．0B．4C．1D．224．已知向量ma,1,n2b1,3a0,b0,若m//n,则1的最小值为abA．12B．843C．15D．10235．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半行程步行，一半行程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则A．两人同时到教室B．谁先到教室不确定----------数学第1页（共23页）----------C．甲先到教室D．乙先到教室x2y21(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于6．已知椭圆A，B两点，若4b2BF2AF2的最大值为5，则b的值为3A．1B．2C．3D．317．如图，在直角梯形ABCD中，DCAB,BE2EC,且AErABsAD,则r＋s＝475A．B．C．3D．668．已知函数x（m，a为实数），若存在实数a，使得f(x)(ea)emax则实数m的取值范围是

16f(x)0对任意xR恒建立，1A．1,B．[e,)C．,eD．e,1eee二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项吻合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9ABC,，，,,．△中ABcBCaCAb在以下命题中是真命题的有A．若ab>0，则△ABC为锐角三角形B．若ab=0.则△ABC为直角三角形C．若abcb,则△ABC为等腰三角形D．若(acb)(abc)0,则△ABC为直角三角形10．已知函数fx2sin2x,gxsin2xcos2x，则以下结论中正确的选项是4A．函数f(x)和g(x)的值域相同B．若函数f(x)关于xa对称，则函数g(x)关于(a,0)中心对称数学第2页（共23页）----------5C．函数f(x)和g(x)都在区间

3,上单调递加88D．把函数f(x)向右平移个单位，就可以获取函数g(x)的图像411．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，有以下四个命题：A．若D1MCP，则BCM面积的最小值为510B．平面A1BD内存在与D1C1平行的直线C．过A作平面，使得棱AD，AA1，D1C1在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个D．过A作面与面A1BD平行，则正方体ABCD-A1B1C1D1在面的正投影面积为3则上述四个命题中，真命题为xm（e为自然对数的底数）在(0,+∞)上有两个零点，则m的可能取值是12．已知函数f(x)xeC．8D．10mxA．eB．2三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.．已知命题：x0，总有(x+1)e>1，则的否认为．x13pp______________14．已知随机变量X的分布列为P(Xi)i(i1,2,3)，那么实数a=_____.2a15．x253x411的张开式中常数项为_________.xx16．函数f(x)ln(2x)x的最大值为____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设函数fxmn，其中向量m2cosx,1，ncosx,3sin2x．（1）求函数fx的最小正周期与单调递减区间；----------数学第3页（共23页）----------（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f2，b13，，△ABC的面积为2求△ABC外接圆半径R．18．（12分）已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足an2SnSn1(n2)，a11.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn(1an)2a(1an)，若{bn}是递加数列，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，BAA160，E是棱BB1的中点，CACB，F在线段AC上，且AF=2FC.1）证明：CB1//面A1EF；（2）若CACB，面CAB面ABB1A1，求二面角FA1EA的余弦值．20．（12分）2019年4月26日，铁人中学举行了浩荡的成人礼.仪式在《相信我们会创立奇景》的歌声中拉开序幕，庄严而神圣的仪式动人了无数家长，4月27日，铁人中学官方微信宣布了整个仪式优秀过程，几十年众志成城，数十载砥砺奋进，铁人中学正在创立着一个又一个奇景．官方微信宣布后，短短几个小时点击量就打破了万人，收到了特别多的优秀留言.学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”，其留言者年龄集中在[25,85]之间，依照统计结果，做出频率分布直方图以下：数学第4页（共23页）----------（Ⅰ）求这100位留言者年龄的样本平均数x和样本方差S2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，留言者年龄x遵从正态分布N(,2)，其中近似为样本均数x，近似为样本方差S2．(ⅰ)利用该正态分布，求P(60X73.4)；（ii）学校从年龄在[45,55]和[65,75]的留言者中，依照分层抽样的方法，抽出了7人参加“优秀留言”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[45,55]的人数是Y，求变量Y的分布列和数学希望．附：18013.4，若X~N(,2)，则P(X)0.683，P(2X2)0.954.21．（12分）过抛物线C:y22pxp0的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且MN2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Qx0,1，直线l:ykxm（其中k0）与抛物线C交于A，B两个不相同的Q不重合），设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1k21点（均与点．动点H在直线l上，且2满足0，其中O为坐标原点．当线段OH最长时，求直线OHABl的方程．22．（12分）已知函数f(x)x2alnx1(aR)．（1）若函数f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）若函数g(x)exx2exf(x)10对x[1,)恒建立，求实数a的取值范围．（e是自然对数的底数，e2.71828）数学第5页（共23页）----------一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.z1．已知复数z2i，则在复平面上对应的点所在象限是1iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D3,【解析】∵z2i，∴z2i1i，在复平面对应的点的坐标为13，所在象限是第1i1i2222四象限．2．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按早先拟订的价格进行试销，获取以下数据：单价x（元）456789销量y（件）908483807568由表中数据，求得线性回归方程为y4xa．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为1112A．B．C．D．6323【答案】B?【解析】由表中数据得x6.5,y80，由(x,y)在直线y4xa得a106?(9,68)在直线的下方，故所求概率为21y4x106，经过计算只有和63

，即线性回归方程为，选B．．函数f(x)excosx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为3A．0B．4C．1D．2【答案】B【解析】．已知向量

f(x)excosxexsinx，令f(x)1，则倾斜角为.42ma,1,n2b1,3a0,b0,若m//n,则1的最小值为abA．12B．843C．15D．1023【答案】B【解析】因m//n，因此3a2b10，----------数学第6页（共23页）----------2121()(3a2b)84b3a8212438，ababab当且仅当2b3a时，取到最小值843.【点睛】本题主要观察平面向量平行的应用及均值定理求最小值，重视观察数学建模和数学运算的核心涵养.5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半行程步行，一半行程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则A．两人同时到教室B．谁先到教室不确定C．甲先到教室D．乙先到教室【答案】Dss【解析】设从寝室到教室的距离为2s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时间为，v1v2tt4sv1·v2·2s，乙用时间为，22v1v2ss4s24sv1v2sv1v22ss4ssv1v20，，则乙用的时间更少，v1v2v1v2v1v2v1v2v1v2v1v2v1v2v1v2乙先到教室.【点睛】数学建模应用题，需要的一些量，要求依照题目的需要进行假设，这也是解决这类应用题的难点.x2y21(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于6．已知椭圆A，B两点，若4b2BF2AF2的最大值为5，则b的值为3A．1B．2C．3D．3【答案】C【解析】由0b2可知，焦点在x轴上，∴a2，∵过F1的直线交椭圆于A，B两点，∴BF2AF2BF1AF12a2a4a8，∴BF2AF28|AB|．数学第7页（共23页）----------当AB垂直于x轴时|AB|最小，则BF2AF2的值最大，此时|AB|2b2b2，∴528b，解得a3，应选C．．如图，在直角梯形中，DCAB,BE2EC,且AErABsAD则＋＝7ABCD1,rs475C．31A．B．D．666【答案】A2BCAB3【解析】由题意可得AEABBEAB2BAAD334121212ABBAADABAD，因此r,s，rs7.2323236【点睛】本题观察向量三角形法规，平行平行四边形法规，属于基础题。8．已知函数f(x)(ea)exmax（m，a为实数），若存在实数a，使得f(x)0对任意xR恒建立，则实数m的取值范围是C．1A．1,B．[e,),eD．e,1eee【答案】A【解析】f(x)(ea)exmax，则f(x)(ea)ex1，若ea0，可得f(x)0，函数f(x)为增函数，当x不满足f(x)0对任意xR恒建立；

时，f(x)，若ea0，由f(x)0，得ex1，则xln1，aeae∴当x1时，f(x)0，当xln1时，f(x)0,ln,aeae11∴f(x)maxfln1(ea)elnmaln1maln1abaeaeae

，，数学第8页（共23页）----------若f(x)0对任意xR恒建立，则1maln10(ae)恒建立，ae若存在实数a，使得1maln10建立，则ma1ln1，∴m1ln(ae)(ae)，aeaaeaaln(ae)令F(a)1ln(ae)1ae(ae)ln(ae)e，则F(a)222．aaaaa(ae)∴当a2e时，F(a)0，当a2e时，F(a)0，则F(a)minF(2e)1．e∴m1．则实数m的取值范围是1,．ee二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项吻合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．△ABC中,ABc，BCa，CAb,在以下命题中,是真命题的有A．若ab>0，则△ABC为锐角三角形B．若ab=0.则△ABC为直角三角形C．若abcb,则△ABC为等腰三角形D．若(acb)(abc)0,则△ABC为直角三角形【答案】BCD【解析】以下列图，ABC中，ABc，BCa，CAb，①若ab0，则BCA是钝角，ABC是钝角三角形，A错误；②若ab0，则BCCA，ABC为直角三角形，B正确；③若abcb，b(ac)0，CA(BCAB)0，CA(BCBA)0，取AC中点D，则CABD，因此BABC，即ABC为等腰三角形，C正确，④若(acb)(abc)0，则a2(cb)2，即b2c2a2b2222bc，即cacosA，2|b||c|由余弦定理可得：cosAcosA，即cosA0，即A，即ABC为直角三角形，即D正确，综2合真命题的有BCD，应选：BCD数学第9页（共23页）----------【点睛】本题观察了平面向量数量积的运算及余弦定理，属于中档题．10．已知函数fx2sin2x,gxsin2xcos2x，则以下结论中正确的选项是4A．函数f(x)和g(x)的值域相同B．若函数f(x)关于xa对称，则函数g(x)关于(a,0)中心对称C．函数f(x)和g(x)都在区间

3,5上单调递加88D．把函数f(x)向右平移个单位，就可以获取函数g(x)的图像4【答案】ABD【解析】因为gxsin2xcos2x2sin(2x)，故gx2,2；4由2k2x2k,kZ得kx3k,kZ，242883,5xsin2xcos2x的增区间，故因此不是gC错；88又fx2sin2x，因此fx2,2，故函数fx和gx的值域相同；A正确；4由2xk,kZ得xk,kZ，即函数gxk,0,kZ；的对称中心为48282由2xk,kZ得xk,kZ，即函数fx对称轴为xkZ，因此,k428282正确；因为把函数fx向右平移个单位，获取y2sin2x2sin2xg(x)，故4244D正确.应选ABD.【点睛】本题主要观察三角函数的性质，以及三角函数图像变换问题，熟记正弦函数的性质即可，属数学第10页（共23页）----------于常考题型.11．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，有以下四个命题：5A．若D1MCP，则BCM面积的最小值为10B．平面A1BD内存在与D1C1平行的直线AD114C．过A作平面，使得棱，AA1，DC在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有个DAABD平行，则正方体ABCD-A1B1C1D1在面的正投影面积为3．过作面与面1则上述四个命题中，真命题为【答案】ACD【解析】关于选项A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，过M作MG平面ABCD，G是垂足，过G作GHBC，交BC于H，连接MH，1则D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，P(1,0,)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，2设M(1,a,b)，则D1M(1,a,b11)，CP(1,1,)，112∵D1MCP，∴D1MCP1a0，解得2ab1，b22数学第11页（共23页）----------，∴CH1a，MGb2a1，MHGH2MG2(1a)2(2a1)25a26a2∴SBCM1BCMH115a26a215(a3)21115，22255251035当a时，(SBCM)min，A正确；510关于选项B，D1C1//DC，DC平面A1BDD，因此D1C1也与平面A1BD订交．故B错；C，过A作平关于选项面，使得棱AD，AA1，D1C1在平面的正投影的长度相等，因为D1C1//AB，且D1C1AB，故D1C1在平面的正投影的长度等于AB在平面的正投影的长度，使得棱AD，AA1，D1C1在平面的正投影的长度相等，即使得棱AD，AA1，AB面的正投影的长度相等，若棱AD，AA1，AB在平面的同侧，则为过A且与平面A1BD平行的平面，若棱AD，AA1，AB中有一条棱和别的两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有3个，故满足使得棱AD，AA1，D1C1在平面的正投影的长度相等的平面有4个，选项C正确．关于选项D，过A作面与面A1BD平行，则正方体ABCDABCD在面的正投影为一个正六边1111形，其中AC1平面，而AC1分别垂直于正三角形ABD和CBD1，因此依照对称性，正方体的811个极点中，AC1在平面内的投影点重合与正六边形的中心，其他六个极点投影正是正六边形的六个极点，且正六边形的边长等于正三角形A1BD的外接圆半径（投影线与正三角形A1BD、CB1D1垂直），因此正六边形的边长为a2sin606，232因此投影的面积为63a26363，D对．443应选ACD．【点睛】本题观察命题真假的判断，观察空间中线线、线面、面面间的地址关系等基础知识，观察空间想象能力与思想能力，观察运算求解能力．xmA．eB．212．已知函数f(x)xemx----------（e为自然对数的底数）在(0,+∞)上C．8D．10有两个零点，则m的可能取值是数学第12页（共23页）----------【答案】CDxex得xex1【解析】由f(x)mxm0mxmm(x)，222当xmxex，设h(x)xex（x0且x1时，方程不行立，即x1，则111），22xx222xex'x1xexexx21x11ex(x1)(2x1)则h'(x)222222，112xxx1222∵x01，∴由h'(x)0得x1，且x21且1当x1时，h'(x)0，函数为增函数，当0xx时，h'(x)0，函数为减函数，2则当x1时函数获取极小值，极小值为h(1)2e，1当0x时，h(x)0，且单调递减，作出函数h(x)的图象如图：2xexm1有两个不相同的根，则m2e即可，即实数m的取值范围是(2e,).应选CD．要使x21xex0得xex方法2：由f(x)mxmmxmm(x)，222设g(x)xex，h(x)1)，g'(x)exxex(x1)ex，m(x2当x0时，g'(x)0，则g(x)为增函数，数学第13页（共23页）----------设h(x)mx1与g(x)xex，相切时的切点为(a,aea)，切线斜率k(a1)ea，2则切线方程为a(1)a()yaeaexa，1,0)时，aea(aa11a1a2a，即2a2a10，得a1当切线过(1)e(a)，即a或2222a1k(11)e2e，（舍），则切线斜率2要使g(x)与h(x)在(0,)上有两个不相同的交点，则m2e，即实数的取值范围是(2e,)应选．m.CD【点睛】本题主要观察函数极值的应用，利用数形结合以及参数分别法进行转变，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的要点．三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.．已知命题：x0，总有(x+1)e>1，则的否认为．13pxp______________【答案】p:x00，使得x01ex01【解析】因为命题p:x0，总有x1ex1，因此p的否定p为：x0x1.0，使得x01e0x1故答案为：x00，使得x01e0【点睛】本题观察了全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，第一把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），尔后把后边结论改否定即可.14．已知随机变量X的分布列为P(Xi)i(i1,2,3)，那么实数a=_____.2a【答案】3数学第14页（共23页）----------X的分布列为PXii1,2,3【解析】因为随机变量i，2a31+2因此1PX1PX2PX33，得a3，2a2a2aa故答案为3.【点睛】本题主要观察概率的性质，熟记概率性质即可，属于基础题型.515．x23x411的张开式中常数项为_________.xx【答案】25【解析】x23x41153x15101051，24xxxxxxxx2x2x其张开式中的常数项为x253x1025，答案：-25.x2x【点睛】本题观察二项张开式求常数项问题，属于基础题16．函数f(x)ln(2x)x的最大值为____．【答案】1【解析】函数f(x)的定义域为xx2，对函数求导得，f(x)1

11x

=0，x=1,2x2x当x,1时，fx0，则函数在,1上单调递加，当x1,2时，fx0，则函数在1，2上单调递减，则当x=1时函数f(x)获取最大值为f(1)=1.故答案为：1【点睛】本题观察利用导数研究函数的最值和单调性，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设函数fxmn，其中向量m2cosx,1，ncosx,3sin2x．（1）求函数fx的最小正周期与单调递减区间；2ABCabcABCf2ABC3（）在△中，、、分别是角、、的对边，已知，b1，△的面积为2，数学第15页（共23页）----------求△ABC外接圆半径R．【答案】（1）T，f(x)的单调递减区间是

2k,kkZ；（2）R1．63【解析】（1）用坐标表示向量条件，代入函数解析式fxmn中，运用向量的坐标运算法规求出函数解析式并应用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简函数解析式f(x)2sin(2x)1，由三6角函数的性质可求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）将条件f2代入函数解析式可求出角13A，由三角形面积公式SbcsinA求出边c，再由余弦定理求出边a，再由正弦定理22a2R可求外接圆半径．sinA【解析】（1）由题意得：f(x)2cos2x3sin2xcos2x3sin2x12sin(2x)1．6因此，函数f(x)的最小正周期为T，由2k2x32k,kZ得函数f(x)2,kZ.的单调递减区间是k,k26263（2）f(A)2,2sin(2A)12，解得A，633又ABC的面积为,b1，21bcsinA得3c2．222b2c22bccosA，解得a3，再由余弦定理ac2a2b2，即△ABC为直角三角形．c1.R218．（12分）已知正数数列{anna2SS(n2)a1}的前n项和为S，满足nnn1，1.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设b(1a)2a(1a)nnnn，若{b}是递加数列，求实数a的取值范围．【答案】（1）an=n；（2）（-1，+∞）．数学第16页（共23页）----------【解析】（1）由an2＝Sn+Sn﹣1（n≥2），可得an﹣12＝Sn﹣1+Sn﹣2（n≥3）．两式相减可得an﹣an﹣1＝1，再由a＝1，可得{a}2{an}bnbn+1，由题意得bn+1﹣n01nb通项公式．（）依照通项公式化简和＞恒建立，分离变量即可得a的范围．22【解析】（1）anSnSn1n2，an1=Sn-1+Sn-2，（n≥3）．22相减可得：anan1anan1，∵an＞0，an-1＞0，∴an-an-1=1，（n≥3）．n=2时，a22=a1+a2+a1，∴a22=2+a2，a2＞0，∴a2=2．因此n=2时，an-an-1=1建立．∴数列{an}是等差数列，公差为1．∴an=1+n-1=n．22=（n-1）2+a（n-1），（）bn1ana1an{bn}是递加数列，∴bn+1-bn=n2+an-（n-1）2-a（n-1）=2n+a-1＞0，即a＞1-2n恒建立，∴a＞-1．∴实数a的取值范围是（-1，+∞）．【点睛】本题观察由前n项和与an的关系求数列的通项公式，观察等差数列的通项公式和数列的单调性问题，属于中档题．19．（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，BAA160，E是棱BB1的中点，CACB，F在线段AC上，且AF=2FC.1）证明：CB1//面A1EF；（2）若CACB，面CAB面ABB1A1，求二面角FA1EA的余弦值．29【答案】（1）详见解析；（2）.29【解析】（1）连接AB1交A1E于点G，连接FG，利用三角形相似证明FG//CB1，尔后证明CB1//面A1EF．数学第17页（共23页）----------（2）过C作COAB于O，以O为原点，，OA，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立OA1OC空间直角坐标，不如设AB2，求出头A1FE的一个法向量，面ABA1的一个法向量，尔后利用空间向量的数量积求解即可．【解析】（1）连接AB1交A1E于点G，连接FG．AGAA1AFAFAG因为AGA1//B1GE，因此2，又因为2，因此，因此FG//CB1，GB1EB1FCFCGB1又CB1面A1EF，FG面A1EF，因此CB1//面A1EF.（2）过C作COAB于O，因为CACB，因此O是线段AB的中点．因为面CAB面ABB1A1，面CAB面ABB1A1AB，因此CO面ABA1．连接OA1，因为ABA1是等边三角形，O是线段AB的中点，因此OA1AB.如图以O为原点，，OA，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标，OA1OC2，则A(1,0,0)，，F(12不如设ABA1(0,3,0)，C(0,0,1)，B(1,0,0),0,)，33由3333AA1BB1，得B(2,3,0)，BB1的中点E(,,0)，A1E(,,0)，122222AF(,3,).133x13y2A1En103z10设面A1FE的一个法向量为n13(x1,y1,z1)，则0，即33，A1Fn10x1y122数学第18页（共23页）----------x11，即得方程的一组解为y13n1(1,3,5).z15面ABA1的一个法向量为n1n2529n2(0,0,1)，则cosn1,n2，n1n229A1EA的余弦值为529因此二面角F.29【点睛】本题观察直线与平面垂直的判判断理的应用，二面角的平面角的求法，观察空间想象能力以及计算能力．20．（12分）2019年4月26日，铁人中学举行了浩荡的成人礼.仪式在《相信我们会创立奇景》的歌声中拉开序幕，庄严而神圣的仪式动人了无数家长，4月27日，铁人中学官方微信宣布了整个仪式优秀过程，几十年众志成城，数十载砥砺奋进，铁人中学正在创立着一个又一个奇景．官方微信宣布后，短短几个小时点击量就打破了万人，收到了特别多的优秀留言.学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调”[25,85]查，其留言者年龄集中在之间，依照统计结果，做出频率分布直方图以下：（Ⅰ）求这100位留言者年龄的样本平均数x和样本方差2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；S，（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，留言者年龄x遵从正态分布N(,2)，其中近似为样本均数x近似为样本方差S2．P(60X(ⅰ)利用该正态分布，求73.4)；（ii）学校从年龄在[45,55]和[65,75]的留言者中，依照分层抽样的方法，抽出了7人参加“优秀留言”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[45,55]的人数是Y，求变量Y的分布列和数学希望．附：18013.4，若X~N(,2)，则P(X)0.683，P(2X2)0.954.数学第19页（共23页）----------9【答案】（Ⅰ）60，180；（Ⅱ）(ⅰ)0.3415；（ii）.7【解析】（Ⅰ）利用频率分布图中的平均数公式和方差公式求这100位留言者年龄的样本平均数x和样本方差S2；（Ⅱ）(ⅰ)利用正态分布的图像和性质求P(60X73.4)；（ii）依照分层抽样的原理，可知7340123这人中年龄在[45，55]内有人，在[65，75]内有人，故Y可能的取值为，，，，再求概率，写分布列求希望得解.【解析】(Ⅰ)这100位留言者年龄的样本平均数x和样本方差s2分别为：x300.05400.1500.15600.35700.2800.1560，s2(30)20.05(20)20.1(10)20.1500.351020.22020.15180.(Ⅱ)（i）由（Ⅰ）知，X~N(60，180)，从而P(60X73.4)1P(6013.4X6013.4)0.3415；2ii）依照分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[45，55]内有3人，在[65，75]内有4人，故Y可能的取值为0，1，2，3(YP(Y

031218C3C44，P(YC3C4，0)1)335335C7C721301C3C412，P(YC3C42)3).335C7335C7因此Y的分布列为Y0123418121P35353535因此Y的数学希望为E(Y)04181219123.353535357【点睛】本题主要观察频率分布直方图中平均数和方差的计算，观察正态分布，观察随机变量的分布列和希望的计算，意在观察学生对这些知识的理解掌握水平和解析推理能力.21．（12分）过抛物线C:y22pxp0的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且MN2．（1）求p的值；数学第20页（共23页）----------2C（）抛物线上一点Qx0,1，直线l:ykxm（其中k0）与抛物线C交于A，B两个不相同的QA，QB的斜率分别为k1，k21点（均与点Q不重合），设直线，k1k2．动点H在直线l上，且2满足OHAB0，其中O为坐标原点．当线段OH最长时，求直线l的方程．【答案】(1)p110(2)y3x2【解析】（1）设直线MN方程为xypP值；（2）直，联立抛物线方程由焦点弦长公式求解即可得2线l:ykxm与抛物线联立由kk21l恒过