第01讲基本不等式（原卷版）

第01讲基本不等式目录TOC\o"11"\h\u题型一：重点考查基本不等式公式的理解 1题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 2题型三：重点考查利用基本不等式求最值 3题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 4题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 4题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 5题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 6题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 7题型一：重点考查基本不等式公式的理解典型例题例题1．（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）当时，函数（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4例题3．（多选）（2023春·黑龙江·高一富锦市第一中学校考阶段练习）以下结论正确的是（

）A．函数的最小值是2 B．若，且，则C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（多选）（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）若，则（

）A． B．C． D．题型二：重点考查利用基本不等式比较大小典型例题例题1．（2023·全国·高一假期作业）已知、为正实数，，则（

）A． B．C． D．例题2．（2023·全国·高一假期作业）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．例题3．（2023秋·高一课时练习）若，，且，则在中最大的一个是.精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）近来国内天气干旱，各地多次发布干旱红色预警信号，导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/斤、b元所，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．的大小无法确定2．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（

）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q题型三：重点考查利用基本不等式求最值典型例题例题1．（2023秋·山西晋中·高三校考开学考试）已知，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．5 D．6例题2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数，满足，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．例题3．（2023春·云南楚雄·高二云南省楚雄彝族自治州民族中学校考阶段练习）若，则的最小值是．精练核心考点1．（2023春·贵州遵义·高一统考期中）函数的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一课堂例题）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为.3．（2023春·青海海东·高一统考阶段练习）已知两个正数满足，则的最小值为．题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值典型例题例题1．（2023·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．例题2．（2023·湖北襄阳·高三枣阳一中校考阶段练习）函数的最小值为．例题3．（2023·江苏泰州·高一校考阶段练习）求函数的最小值.精练核心考点1．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是．3．（2023·上海·高一专题练习），则的最小值是，此时a＝．题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值典型例题例题1．（2023秋·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（

）A． B．C． D．6例题2．（多选）（2023春·重庆·高二校联考期末）若，且满足，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为例题3．（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，且，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值.精练核心考点1．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）若正实数x，y满足，则下列结论不正确的是（

）A．的最小值为4 B．的最大值为4C．的最小值为 D．的最大值为82．（2023春·天津和平·高二统考期末）已知，则的最小值是．3．（2023·全国·高三对口高考）（1）设.若，求的取值范围；（2）设，，.若，求的取值范围.题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用典型例题例题1．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知，则的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．例题2．（2023春·河南许昌·高一校考期中）若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题3．（多选）（2023春·湖南邵阳·高二统考期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（

）A．的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为2 D．的最小值为2例题4．（2023·四川·校联考一模）已知正数，满足，则的最小值是.精练核心考点1．（2023·全国·高一课堂例题）当时，的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．122．（2023春·陕西宝鸡·高二校联考期末）已知，，，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．24 D．323．（2023秋·河南许昌·高三许昌高中校考开学考试）若正数a，b满足，则的取值范围是．4．（2023春·湖南常德·高一统考期末）设正实数满足，则的最小值为.题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题典型例题例题1．（2023·江苏·高一假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．例题2．（2023秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．9 B．25 C．16 D．12例题3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知，都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．例题4．（多选）（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（

）A．5 B．6 C．7 D．8精练核心考点1．（2023·全国·高一假期作业）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（

）A． B．2 C．1 D．3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．74．（多选）（2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用典型例题例题1．（多选）（2023·全国·高一课堂例题）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形的对角线，过点作于点F，则下列推理正确的是（

）A．由题图（1）和题图（2）面积相等得B．由可得C．由可得D．由可得例题2．（2023·全国·高一专题练习）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克例题3．（2023秋·广西南宁·高三南宁市武鸣区武鸣高级中学校考开学考试）已知两城市的距离是､根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在，假设油价是6元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，其它费用是36元.为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是（精确到，参考数据）精练核心考点1．（多选）（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论不正确的是（

）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是D．设，，且，则的最小值是2．（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理