北京市朝阳区高三一模数学理试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（5分）（2013•朝阳区一模)i为虚数单位，复数的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出．解答：解：复数==的虚部是．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数是解题的关键．2．（5分)(2013•朝阳区一模）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x｜lg（x+2）≥0｝,则M∩N=(）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，3）C．(﹣2，﹣1］D．［﹣1,3）考点：交集及其运算．3797161专题：函数的性质及应用．分析：解对数不等式可以求出集合N,进而根据集合交集及其运算，求出M∩N．解答：解：∵N={x｜lg(x+2）≥0}=[﹣1，+∞），集合M={x|﹣2＜x＜3}，则M∩N=[﹣1，3)故选D．点评：本题考查的知识点是对数不等式的解法，集合的交集及其运算，其中解不等式求出集合N是解答本题的关键．3．（5分）（2013•朝阳区一模）已知向量,．若，则实数m的值为（）A．﹣3B．C．D．考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．3797161专题:平面向量及应用．分析：先求得得==（3，1）,再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值．解答：解：由题意可得==（3，1)，若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m=﹣3，故选A．点评：本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,属于中档题．4．（5分）(2013•朝阳区一模）在极坐标系中，直线与曲线ρ=2cosθ相交于A,B两点，O为极点,则∠AOB的大小为()A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．3797161专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出AC,DC的值，可得∠AOC的值，从而得到∠AOB=2∠AOC的值．解答：解:直线ρcosθ=即x=，曲线ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1,0）为圆心,以1为半径的圆．如图．Rt△ADC中，∵cos∠ACO==，∴∠ACO=，在△AOC中,AC=OC，∴∠AOC=，∴∠AOB=2∠AOC=，故选C．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出∠ACO是解题的关键．5．（5分）（2013•朝阳区一模）在下列命题中,①“"是“sinα=1"的充要条件；②的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～N（0，1）,若P（ξ≥1）=p，则．其中所有正确命题的序号是（）A．②B．③C．②③D．①③考点：命题的真假判断与应用．3797161专题:计算题．分析：①利用特殊值α=，判断出为假命题．②利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．③根据随机变量ξ～N(0，1），正态曲线关于x=0对称,得到对称区间对应的概率相等,根据大于1的概率得到小于﹣1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是,得到结果．解答:解：①是假命题．α=,是能推得sinα=1，反之，sinα=1,α可以为或其他数值．②：的通项为Tr+1=C（）r=2r﹣4C4rx12﹣4r令12﹣4r=0得r=3∴展开式的常数项为T4=C43=2；正确；③：∵随机变量ξ～N(0，1），∴正态曲线关于x=0对称,∵P（ξ≥1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p,∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，正确．故选C．点评：本题考查命题真假的判断，考查了充要条件、二项式定理、正态分布等知识．6．（5分）(2013•朝阳区一模)某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．C．D．8考点：由三视图求面积、体积．3797161专题:空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是长方体的三分之二,依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的体积．解答：解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2,2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3=12，长方体被一个平面所截,得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，则这个几何体的体积为12×=8．故选D．点评：此题考查了由三视图判断几何体,考查三视图的读图能力，计算能力，空间想象能力，本题是基础题，常考题型．7．（5分)(2013•朝阳区一模）抛物线y2=2px(p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N，则的最大值为（)A．B．1C．D．2考点：抛物线的简单性质．3797161专题：计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF｜=a,|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2｜MN|=a+b,由余弦定理可得｜AB｜2=(a+b）2﹣ab,进而根据基本不等式,求得|AB｜的取值范围，从而得到本题答案．解答：解:设|AF｜=a，｜BF｜=b，连接AF、BF由抛物线定义,得|AF｜=|AQ｜，｜BF｜=|BP|在梯形ABPQ中，2｜MN|=｜AQ｜+｜BP|=a+b．由余弦定理得，|AB｜2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得,|AB|2=（a+b)2﹣ab,又∵ab≤（）2,∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b)2得到|AB|≥（a+b)．所以≤=，即的最大值为．故选：A点评:本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．8．（5分）(2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=2x+1，x∈N＊．若,使f(x0)+f（x0+1）+…+f（x0+n)=63成立，则称（x0，n)为函数f（x)的一个“生成点”．函数f(x）的“生成点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数的值；数列的求和．3797161专题：压轴题；新定义．分析：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得(2x0+1)+[2（x0+1）+1］+…+［2（x0+n）+1]=63,化简可得（n+1）（2x0+n+1)=63，由，得或，解出即可．解答：解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+［2（x0+1）+1］+…+［2（x0+n)+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+(n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由,得或,解得或,所以函数f（x）的“生成点”为（1，6）,(9，2）．故选B．点评：本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）（2013•朝阳区一模)在等比数列{an｝中,2a3﹣a2a4=0，则a3=2，｛bn}为等差数列,且b3=a3，则数列{bn｝的前5项和等于10考点:等比数列的通项公式;等比数列的前n项和．3797161专题:等差数列与等比数列．分析：由题意可得a2a4=，代入已知可解得a3=2，进而可得b3=a3=2，代入等差数列的求和公式可得S5==,计算即可．解答:解:由等比数列的性质可得a2a4=，代入可得2a3﹣=0，解得a3=2，或a3=0（舍去);故b3=a3=2,由等差数列的求和公式和性质可得：数列｛bn}的前5项和S5===5×2=10故答案为：2；10点评:本题考查等比数列和等差数列的性质和求和公式,属基础题．10．（5分)（2013•朝阳区一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．已知角A为锐角，且b=3asinB，则tanA=．考点：正弦定理．3797161专题：解三角形．分析：由条件,利用正弦定理可得sinB=3sinAsinB，求得sinA的值，再由同角三角函数的基本关系求得tanA的值．解答:解：在△ABC中，角A为锐角，且b=3asinB，由正弦定理可得sinB=3sinAsinB，∵sinA≠0，故sinA=，∴cosA==tanA==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理,同角三角函数的基本关系,属于中档题．11．（5分）(2013•朝阳区一模）执行如图所示的程序框图,输出的结果S=20．考点：程序框图．3797161分析：题目首先给累加变量S和循环变量i赋值,S=0，i=0．先执行一次运算S=S+2i﹣1,然后判断i≥6是否成立，不成立继续执行i=i+2,S=S+2i﹣1，成立时结束循环，输出S．解答:解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0,i=0．执行S=0+2×0﹣1=﹣1;判断0≥6不成立,执行i=0+2=2，S=﹣1+2×2﹣1=2;判断2≥6不成立,执行i=2+2=4,S=2+2×4﹣1=9;判断4≥6不成立，执行i=4+2=6,S=9+2×6﹣1=20；判断6≥6成立，跳出循环，输出S的值为20．故答案为20．点评：本题考查了程序框图,考查了直到型结构,直到型结构是先执行后判断,不满足条件执行循环，满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．12．（5分)（2013•朝阳区一模)如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D．若，AB=AC=2，则线段AD的长是1；圆O的半径是2．考点：与圆有关的比例线段．3797161专题：选作题．分析：①由切割线定理得CD2=DA•DB,即可得出DA；②由余弦定理可得∠DCA，利用弦切角定理可得∠ABC=∠DCA，再利用正弦定理得即可．解答:解：①∵CD是⊙O的切线，由切割线定理得CD2=DA•DB，CD=,DB=DA+AB=DA+2，∴，又DA＞0,解得DA=1．②在△ACD中,由余弦定理可得cos∠ACD===，∵0＜∠ACD＜π，∴．根据弦切角定理可得∠ABC=∠DCA=．由正弦定理可得==4，∴R=2．故答案分别为1，2．点评：熟练掌握切割线定理、弦切角定理、正弦定理、余弦定理是解题的关键．13．（5分）（2013•朝阳区一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间［﹣2,3］上方程ax+2a﹣f（x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是．考点:根的存在性及根的个数判断．3797161专题：函数的性质及应用．分析：问题等价于在区间［﹣2，3］上函数f（x）与y=a（x+2)的图象有四个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案．解答：解：在区间[﹣2，3］上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间[﹣2,3]上函数f(x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y=a(x+2）的图象为过定点(﹣2,0)且斜率为a的直线,作出它们的图象可得:由图图可知，当直线介于CB和CA之间符合题意，而由斜率公式可得kCB==，kCA==，故实数a的取值范围是:，故答案为：点评：不本题考查方程根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键,属中档题．14．(5分）（2013•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0(2≤x≤4）上的一个动点,点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是[﹣5,5]．考点：平面向量数量积的运算．3797161专题：压轴题；平面向量及应用．分析：设点C（a，b),由题意可得=λ，且λ＞0，当点A在点M(2，2）时，由=20，且a=b，解得b的值．当点A在点N（2，﹣2)时，由=20，且a=﹣b，解得b的值,从而求得C的纵坐标的取值范围．解答:解：半圆x2﹣4x+y2=0(2≤x≤4）即(x﹣2)2+y2=4(2≤x≤4），设点C（a，b），由于与的方向相同，故=λ，且λ＞0,当点A在点M（2,2）时,=2a+2b=20,且a=b，解得b=5．当点A在点N（2，﹣2）时，=2a+（﹣2b）=20，且a=﹣b,解得b=﹣5．综上可得，则点C的纵坐标的取值范围是［﹣5，5］，故答案为[﹣5,5］．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算,体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（13分)（2013•朝阳区一模）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间;（Ⅱ)当时,求函数f(x）的取值范围．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．3797161专题：三角函数的图像与性质．分析:（Ⅰ)利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为,由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ)因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．解答：解：(Ⅰ）==．…（4分）因为f（x)最小正周期为π，所以ω=2．…(6分）所以．由，k∈Z,得．所以函数f(x）的单调递增区间为[],k∈Z．…（8分)(Ⅱ）因为，所以，…(10分）所以．…（12分）所以函数f（x)在上的取值范围是[]．…（13分）点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．(13分）（2013•朝阳区一模)盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣1，0,1，2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率;（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率;（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξ，η，试求随机变量X=ξ•η的分布列与数学期望EX．考点：离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差．3797161专题：概率与统计．分析:（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式求解:P(A）=；（Ⅱ）设事件B:在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数，则P（B)=1﹣P（），根据独立重复试验中某事件发生k次的概率计算公式即可求得；(Ⅲ）由题意可知ξ,η的可能取值为﹣1,0，1,2,从而随机变量X的可能取值为﹣2，﹣1，0，1，2，4．根据古典概型该类计算公式求得X取各值时的概率即可写出分布列，利用期望公式即可求得期望值；解答：解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则．答:在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．（Ⅱ）设事件B:在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．所以．答:在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为．(Ⅲ）由题意可知，ξ，η的可能取值为﹣1，0,1，2,所以随机变量X的可能取值为﹣2,﹣1,0,1，2,4．；;；;；．所以随机变量X的分布列为X﹣2﹣10124P所以．点评：本题考查离散型随机变量的分布列及期望,考查古典概型概率计算公式，考查学生对问题的阅读理解能力．17．(14分）（2013•朝阳区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．点E,F分别为侧棱PB，PC上的点，且．(Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）当时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在,试求出λ的值;若不存在，请说明理由．考点:直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定．3797161专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析:（Ⅰ）由==λ可知，EF∥BC，依题意，可求得EF∥AD，再利用线面平行的判断定理即可证得结论;（Ⅱ）可证得PA，AB，AD两两垂直，以之为轴建立空间直角坐标系，可求得与的坐标，利用向量的数量积即可求得异面直线BF与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）设F（x0,y0，z0）,则=(x0，y0,z0﹣2）,=(1，1，﹣2）,由=λ,可求得F(λ,λ，2﹣2λ）,再设出平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），平面PCD的一个法向量为n2=（x2,y2，z2），可求得这两个法向量的坐标，利用n1•n2=0，即可求得λ的值．解答：证明:（Ⅰ)由已知，==λ，所以EF∥BC．因为BC∥AD,所以EF∥AD．而EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，且PA⊥AC，所以PA⊥平面ABCD．所以PA⊥AB，PA⊥AD．又因为AB⊥AD,所以PA,AB，AD两两垂直．…（5分)如图所示，建立空间直角坐标系,因为AB=BC=1,PA=AD=2，所以A（0，0，0)，B（1,0,0）,C（1，1，0），D（0，2,0），P（0，0,2）．当λ=时，F为PC中点，所以F（，，1），所以=（﹣，，1)，=（﹣1,1，0）．设异面直线BF与CD所成的角为θ，所以cosθ=｜cos＜，＞|==，所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）设F（x0，y0，z0）,则=（x0,y0，z0﹣2），=（1，1，﹣2）．由已知=λ，所以（x0,y0，z0﹣2）=λ(1，1，﹣2）,所以，∴=（λ,λ，2﹣2λ）．设平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1,z1)，因为=（0，2，0），所以即，令z1=λ，得n1=(2λ﹣2，0，λ）．设平面PCD的一个法向量为n2=（x2，y2，z2)，因为=(0，2,﹣2），=(﹣1，1,0），所以即令x2=1，则n2=（1，1,1）．若平面AFD⊥平面PCD,则n1•n2=0,所以（2λ﹣2）+λ=0，解得．所以当λ=时，平面AFD⊥平面PCD．…（14分）点评：本题考查直线与平面的平行，考查异面直线所成的角,考查面面垂直，突出考查空间直角坐标系在证明与计算中的应用．属于中档题．18．(13分）(2013•朝阳区一模）已知函数f(x）=x2﹣（a+2)x+alnx+2a+2，其中a≤2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．3797161专题：导数的综合应用．分析:（I）先求函数的定义域再求函数的导数,当导数大于0时函数单调递增,当导数小于0时单调递减．（II）此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f（x）在区间（0,2]内有且只有一个零点的条件，结合（I）中确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值，再转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．解答：解：(I）函数定义域为x＞0，且f′（x）=2x﹣（a+2）+=…(2分)①当a≤0,即时，令f’(x）＜0，得0＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为(0，1),令f’（x）＞0,得x＞1,函数f(x）的单调递增区间为（1，+∞）．②当，即0＜a＜2时，令f'（x）＞0，得或x＞1，函数f(x）的单调递增区间为，(1，+∞）．令f'(x）＜0，得，函数f（x)的单调递减区间为．③当，即a=2时，f'（x）≥0恒成立,函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞)．…(7分）(Ⅱ）①当a≤0时，由(Ⅰ)可知，函数f（x)的单调递减区间为（0，1),f（x)在(1，2]单调递增．所以f（x）在(0,2]上的最小值为f（1）=a+1，由于,要使f（x)在（0，2］上有且只有一个零点,需满足f（1）=0或解得a=﹣1或a＜﹣．②当0＜a≤2时，由（Ⅰ）可知，（ⅰ）当a=2时,函数f（x）在（0,2]上单调递增；且，所以f（x）在（0，2］上有且只有一个零点．（ⅱ）当0＜a＜2时,函数f（x）在上单调递减，在（1,2]上单调递增；又因为f（1）=a+1＞0，所以当时,总有f（x）＞0．因为e＜1＜a+2，所以f(e）=e［e﹣（a+2）]+(alne+2a+2)＜0．所以在区间（0，）内必有零点．又因为f（x）在(0，)内单调递增，从而当0＜a≤2时,f（x）在(0,2]上有且只有一个零点．综上所述，0＜a≤2或a＜﹣或a=﹣1时，f（x）在（0,2]上有且只有一个零点．…（13分）点评：此题考查的是利用导数研究函数的单调性，函数的零点存在问题．在解答的过程当中充分体现了等价转化的思想，以及零点定理的相关知识．值得同学们体会反思．19．（14分）(2013•朝阳区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点,离心率为，点A为其右顶点．过点B（1，0)作直线l与椭圆C相交于E,F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．（Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ）求的取值范围．考点：平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程．3797161专题:圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：(Ⅰ）设椭圆的方程为,依题意可得a、b、c的方程组，解之可得方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，可得；(2)当直线l的斜率存在时，写直线的方程,联立方程组，消y并整理得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．进而由根与系数的关系表示出向量的数量积为，由k的范围可得其范围,综合可得．解答：解:（Ⅰ）由题意,设椭圆的方程为，依题意得解之可得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．…（4分)（Ⅱ)由（Ⅰ）可知点A的坐标为(2，0）．（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得,,所以．…（6分)（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣1)，显然k=0时，不符合题意．由消y并整理得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设E(x1，y1)，F(x2,y2）,则．直线AE，AF的方程分别为:，令x=3,则．所以,．…(10分)所以======．…（12分)因为k2＞0，所以16k2+4＞4,所以,即．综上所述，的取值范围是．…（14分）点评：本题考查平面向量数量积的运算,涉及椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题．20．(13分）（2013•朝阳区一模）设τ=（x1，x2，…,x10）是数1,2，3，4，5，6,7，8，9，10的任意一个全排列，定义，其中x11=x1．(Ⅰ）若τ=（10,9，8，7，6,5,4,3，2,1），求S(τ）的值;（Ⅱ)求S（τ)的最大值；（Ⅲ）求使S（τ）达到最大值的所有排列τ的个数．