2023-2024学年四川省遂宁市蓬溪中学高二（上）第一次质检数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省遂宁市蓬溪中学高二（上）第一次质检数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.i是虚数单位，若(1+mi)(A.3 B.4 C.−3 D.2.已知a,b均为单位向量，且(2a−A.1 B.3 C.2 D.3.已知cos(α−β)=1A.−16 B.16 C.−4.下列一组数据1，2，3，3，4，5，5，6，6，7的30%分位数为(

)A.2 B.3 C.5 D.3.55.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现偶数点”，B=“第二枚出现奇数点”，则下列说法正确的是(

)A.A与B互斥 B.A与B互为对立 C.A与B相等 D.A与B相互独立6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m⊥n，n/​/α，则m⊥α

B.若m//β，β⊥α，则m⊥α

C.若m⊥7.正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AA.2 B.83 C.65 8.设正三棱锥A−BCD的底面△BCD的边长为A.53 B.23 C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知事件A，B满足P(A)=0.6，A.P(A−)=0.8,P(B−)=0.4

B.如果B⊆A，那么P10.已知复数z1=1−i，z2A.z1+z2在复平面内对应的点位于第二象限

B.若向量OA,OB分别对应的复数为z1，z2，则向量AB对应的复数为3−4i

C.若z11.将函数f(x)=cosπx的图象沿x轴向右平移16个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的3A.y=g(x+12)为偶函数

B.y=g12.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，FA.三棱锥B1−EFG的体积为定值

B.线段A1D上存在点G，使A1C⊥平面EFG

C.线段A1D上存在点G，使平面E三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为______．14.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12，25，则甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率______．15.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，BC16.已知正△ABC边长为1，将△ABC绕BC旋转90°至四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

箱子里有3双不同的手套，分别用A1，A2，B1，B2，C1，C2表示六只手套，从中随机拿出2只，记事件A={拿出的手套不能配对}，事件B={拿出的都是同一只手上的手套}，

(1)写出该试验的样本空间；

18.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcos19.(本小题12.0分)

如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，AD=2，DC=22，四边形DCFE为梯形，DE//CF，DE20.(本小题12.0分)

某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

请完成以下问题：

(1)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；

(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50,70)和[70,9021.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2，BC=CD=1，AB/​22.(本小题12.0分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若bcosC+12c=a，请完成以下问题：

(1)答案和解析1.【答案】C

【解析】解：(1+mi)(3−i)=3−i+2.【答案】B

【解析】解：∵a,b均为单位向量，且(2a−b)⊥b，

则(2a−b)⋅b=2a⋅b−b3.【答案】D

【解析】解：因为cos(α−β)=cosαcosβ+si4.【答案】B

【解析】解：依题意10×3%=3，

∴数据1，2，3，3，4，5，5，6，6，7的30%分位数为：

3+325.【答案】D

【解析】解：事件A与B能同时发生，如第一枚的点数2，第二枚的点数为1，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；

P(A)=3×66×6=12，P(B)=3×66×6=12，P(AB6.【答案】D

【解析】解：对于A，由n/​/α可知存在直线a⊂α，使得a/​/n，

故当m为α内与a垂直的直线时，显然m⊥n，m⊂α，故A错误；

对于B，设α∩β=a，则当m为α内与a平行的直线时，m//β，m⊂α，故B错误；

对于C，设α∩β=a，则当m为β内与与a平行的直线时，m7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的基本定理，坐标运算和几何应用，属于中档题．

建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．

【解答】

解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：

设正方形边长为1，

则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，M(1,12)，N(128.【答案】D

【解析】解：如图，

正三棱锥A−BCD的底面△BCD的边长为2，设底面正三角形的中心为O，

连接BO并延长，交CD于E，连接AE，可得∠AEO为侧面与底面所成二面角的平面角，

∴cos∠AEO=63，则sin∠AE9.【答案】BC【解析】解：对于选项A，P(A−)=1−P(A)=0.4,P(B−)=1−P(B)=0.8，故A错误；

对于选项B，如果

B⊆A，那么P(A⋃B)=P10.【答案】AC【解析】解：对于A，复数z1=1−i，z2=−2+3i，

z1+z2=−1+2i，在复平面内对应的点(−1,2)位于第二象限，故A正确；

对于B，向量OA,OB分别对应的复数为z1，z2，

则OA=(1,−1),OB=(−2,3)，

AB=OB−OA=(−3,4)，

故向量AB对应的复数为−11.【答案】AD【解析】解：将函数f(x)=cosπx的图象沿x轴向右平移16个单位，可得y=cos(πx−π6)的图象，

再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)=cos(π3x−π6)的图象．

由于y=g(x+12)=cosπ3x，显然它是偶函数，故A正确．12.【答案】AB【解析】解：易得平面ADD1A1//平面BCC1B1，所以G到平面BCC1B1的距离为定值，

又S△B1EF为定值，所以三棱锥G−B1EF即三棱锥B1−EFG的体积为定值，∴A选项正确；

易证A1C⊥平面BC1D，当G为线段A1D上靠近D的四等分点时，可证平面CEF//平面BC1D，

所以A1C⊥平面EFG，∴B选项正确；

设平面A1B1CD与平面EFG相交于GN，平面13.【答案】15π【解析】解：根据题意，圆锥的底面半径为3，高为4，则其母线长l=9+16=5，

则其侧面积S=π14.【答案】12【解析】解：根据题意可设事件A=“甲在罚球线投球命中”，B=“乙在罚球线投球命中”，

即P(A)=12,P(B)15.【答案】43【解析】解：如图所示，记AB=c，AC=b，BC=a，

由余弦定理可得，BC2=AC2+AB2−2AC⋅BCcos∠BA16.【答案】5π【解析】解：在三棱锥D−ABC中，取BC中点G，连接AG，DG，

则AG⊥BC，DG⊥BC，BC⊥平面ADG，∠AGD=90°，如图，

令正△ABC与正△DBC的中心为E，F，过E，F分别作平面ABC与平面DBC的垂线，

则它们必过四面体D−ABC外接球的球心O，17.【答案】解：(1)依题意，样本空间为Ω={A1A2,A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2【解析】(1)根据给定条件，列举出所有可能的结果作答．

(2)列举出事件A、事件18.【答案】解：(1)依题意，f(x)=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，

所以函数f(x)的周期为π；

由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得−π3+kπ≤【解析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的性质求解作答．

(19.【答案】解：(1)由四边形ABCD是平行四边形，得BC/​/AD，而BC⊂平面BCF，AD⊄平面BCF，则AD/​/平面BCF，

由DE//CF，CF⊂平面BCF，DE⊄平面BCF，得DE/​/平面BCF，

又AD∩DE=D，AD，DE⊂平面ADE，因此平面BCF/​/平面ADE，而AE⊂平面BCF，

所以AE/​/平面BC【解析】(1)由线面平行的判定定理可得AD/​/平面BCF，DE/​/平面BCF，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案．

(220.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1+0.1+0.15+0.4=0.75，

在130分以下所占比例为1−0.05=0.95，

因此，第80百分位数一定位于[110,130)内，由110+20×0.8−0.750.95−0.75=115，

可以估计样本数据的第80百分位数约为115分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分．

(2)①由频率分布直方图，得[50,70)分数段的人数为100×0.1=10，[70,90)分数段的人数为100×0.15=15，

用分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在[50,70)分数段内抽2人，分别记为A1，A2，

需在[70,90)分数段内抽3人，分别记为B1，B2，B3，

设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50,70)内”为事件A，

则样本空间Ω={A1A2,【解析】(1)利用给定的频率分布直方图结合百分位数的意义，求出成绩的第80百分位数作答．

(2)①利用分层抽样求出成绩在[50,21.【答案】解：(1)证明：∵平面PAB平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD于AB，

又∠ABC=90°，∴BC⊥AB，又BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面PAB，又AP⊂平面PAB，

∴BC⊥AP，又∠APB=90°，∴AP⊥BP，又PB∩