《垂直于直径的弦》

什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．回顾线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圆任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．圆有哪些对称轴？OOABCDE

是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．

下图是轴对称图形吗？已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵CD

⊥AB

∴

∠OEA=∠OEB=90°∵OE=OE

∴Rt△AEO≌Rt△BEO

∴AE=BE∵CD

⊥AB

∴点A与点B关于CD对称∵CD是直径

∴两半圆关于CD对称

∴AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒DOABEC

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．知识要点DOABEC垂径定理AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①直径过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理将题设与结论调换一个，命题还成立吗？①直径过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．命题DOABEC已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命题垂径定理的推论1一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．OABMNCD注意为什么强调这里的弦不是直径？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．知识要点DOABEC垂径定理推论①直径过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC

这五条进行排列组合，会出现多少个命题？条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．3．垂径定理的推论垂径定理三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．

你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．

赵州桥主桥拱的半径是多少？实际问题垂径定理的应用解：由题意可知：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2BODACR解得R≈27.9（m）在Rt△OAD中，即：R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．OA2=AD2+OD2

你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．∵OE过圆心，OE⊥AB∴

练习1．在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm．在Rt△AEO中，，OE过圆心。

练习2．在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形．

练习3．在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD．证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO4．一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．解:连接OC．●OCDEF┗

OE过圆心。练习4．已知：⊙O中弦AB∥CD．求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB．∵AB∥CD，∴MN⊥CD．则AM＝BM，CM＝DM

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒．MCDABON课堂小结1．圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．O

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．DOABEC2．垂径定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．3．垂径定理推论知识要点

经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．4．解决有关弦的问题

课堂练习：1．在直径是20cm的⊙O中，的度数是60°，那么弦AB的弦心距是________．cm2．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．cm3．已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3cm，AE＝BE．∵AB＝8cm∴AE