11分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理2011年9月29日天宫一号成功发射，此次有4种濒临灭绝的植物种子搭载“天宫一号”进入太空，希望令种子产生基因变异.大哉，数学之为用！从火箭之速，到粒子之微，无处不用数学。

核糖核酸(RNA)分子由碱基按一定顺序排列而成.已知碱基有4种，由成百上千个碱基组成的RNA分子的种数非常巨大.你知道它是怎样算出来的吗？计数问题

在计算机中的字符由二进制表示，英文字母和汉字所需的字节数不一样.你知道为什么吗？问题1汉字在计算机的机器语言中是用16位的数字表示（0或1），你如何“数出”16位数字最多可以表示多少个不同的汉字？计数问题用A~Z或0~9给教室的座位编号有多少不同的号码?分析:

给座位编号有2类方法,

第一类方法,用英文字母，有26种号码;

第二类方法,用阿拉伯数字，有10种号码;

所以有26+10=36

种不同号码.

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有4班，汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:

从甲地到乙地有2类方法,

第一类方法,乘火车，有4种方法;

第二类方法,乘汽车，有2种方法;

所以从甲地到乙地共有4+2=6

种方法.你能说出这两个问题的共同特征吗?分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法两类中的方法不相同例在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体如下:A大学生物学

化学

医学

物理学

工程学B大学数学

会计学

信息技术学

法学这名同学可能的专业选择共有多少种?分析:两大学只能选一所一专业,且没有共同的强项专业54+=9这名同学可能的专业选择共有9种

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:

从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法，乘火车，有4种方法;

第二类方法，乘汽车，有2种方法;

第三类方法，乘轮船，有3种方法;所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法.

完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法。那么完成这件事共有

m1+m2+m3

种方法.

做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿种不同的方法N=m1+m2+…+mn

用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯数字,以A1,A2,,B1,B2

的方式给教室的座位编号.有多少不同的号码?A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99种B1234567899种6×9=54如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南分析:

从A村经B村去C村有2步,

第一步,由A村去B村有3种方法,

第二步,由B村去C村有2种方法,所以从A村经B村去C村共有3×2=6

种不同的方法你能说出这两个问题的共同特征吗?分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.例设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?分两步进行选取男女3024×=720再根据分步乘法原理若再要从语,数,英三科科任老师中选出一名代表参加比赛,那又共有多少种选法?老师3×=2160

如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有_________________种不同的方法.N=m1×m2×m3做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有_____________________种不同的方法.N=m1×m2×…×mn

例

书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?有3类方法,根据分类加法计数原理N=4+3+2=9(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?分3步完成,根据分步乘法计数原理N=4×3×2=24解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.练习

要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?分两步完成左边右边甲乙丙乙丙甲丙甲乙32第一步第二步×

在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

分析1:

按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是:1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个.根据加法原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:

按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是:8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.根据加法原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)练习

一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,

6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?

分析:

按密码位数,从左到右

依次设置第一位、第二位、第三

位,需分为三步完成;

第一步,m1=10;

第二步,m2=10;

第三步,m3=10.

根据乘法原理,共可以设置

N=10×10×10=103

种三位数的密码。练习

答:首位数字不为0的密码数是

N=9×10×10=9×102

种,

首位数字是0的密码数是

N=1×10×10=102

种。

由此可以看出,

首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。问:若设置四位、五位、六位、…、十位等密码,密码数分别有多少种？答:它们的密码种数依次是104,105,106,……种。开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A例5.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?26x25x24x10x9x8=11232000

如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?练习解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

第一步,m1=3种,

第二步,m2=2种,

第三步,m3=1种,

第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。

如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?练习问:若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?

答:它们的涂色方案种数分别是0,4×3×2×2=48,5×4×3×3=180种。

如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?练习如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB分类完成分步完成解:

从总体上看由A到B的通电线路可分二类,

第一类,m1=4条第二类,m3=2×2=4,条所以,根据加法原理,从A到B共有

N=4+4=8条不同的线路可通电