2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课教案1-3集合的基本运算

1．3集合的基本运算（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】（1）理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；（2）理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集； （3）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算．【过程与方法目标】（1）能通过分析具体实例，说出交集、并集和补集的含义，会求集合的交集、并集和补集，发展数学抽象素养．（2）让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的基本运算必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】集合的基本运算是人教版普通高中课程标准实验教科书，数学必修1第一章第三节的内容．在此之前，学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系，这为学习本节内容打下了基础．本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用．本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：（1）交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系；（2）全集与补集的定义．教学难点：利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了．问题1：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？【破解方法】老师启发学生可以类比实数有加、减、乘、除等运算，两个集合之间也可以进行运算．与上节课一样，从引导学生思考“如何研究一个数学对象”开始，类比实数的运算，为后面学习并集和交集的运算做铺垫．环节二、抽象概念，内涵辨析1．并集问题2：观察下面两个例子，你能发现集合与集合之间的关系吗?（1）；（2）是有理数是无理数是实数．【破解方法】学生独立思考，发现集合是由所有属于集合或属于集合的元素组成的．教师带领学生一起归纳，得出并集的定义和符号表示：，或．问题3：若，集合与集合有什么关系?【破解方法】根据图形学生能较快得到．掌握并集的概念和三种语言表达，通过追问深化对集合并集的理解．【归纳新知】并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn图表示：知识点诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）．2．交集问题4：阅读教科书第11页，并回答以下问题：（1）什么是交集?你能否举例说明?（2）交集的符号语言和图形语言分别是什么?（3）交集与并集有什么区别和联系?你能举例说明吗?【破解方法】仿照并集的研究思路，学生通过阅读教科书学习交集，掌握交集的概念和三种语言表达．问题5：若，集合与集合有什么关系?【破解方法】根据图形学生能较快得到．掌握并集的概念和三种语言表达，通过追问深化对集合并集的理解．【归纳新知】交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：知识点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合．3．补集问题6：请在不同研究范围内写出方程的解．【破解方法】学生回答，教师板演．在自然数范围内的解集为，在整数或有理数范围内的解集为，在实数范围内的解集为．【归纳新知】在不同的范围研究同一个问题，可能有不同的结果．如果一个集合包含研究问题中的所有元素，那么就称这个集合为“全集”，符号表示为．问题7：我们知道，有理数集为，实数集为，无理数集与这两个集合有什么关系呢?【破解方法】学生思考发现在实数集内去掉有理数，即是无理数集了．问题8：请大家阅读教材第13页第一段，并回答以下问题：（1）补集的概念是什么?它的符号语言和图形语言分别如何表示?（2）你能否根据补集的定义写出无理数集?【破解方法】学生阅读后回答，教师板书“补集”的含义、符号语言和图形语言：由全集中不属于的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作，即，且，【归纳新知】补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：知识点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．集合基本运算的一些结论若，则，反之也成立若，则，反之也成立若，则且若，则，或求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．环节三：例题练习，巩固理解【例1】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以．故选：B．【破解方法】巩固并集的概念，例1是并集的简单应用，列举可得出答案．【例2】已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意．故选：B．【破解方法】巩固并集的概念，例2是交集的简单应用，列举可得出答案．【例3】如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】阴影部分由两部分构成，左边部分在内且在外，转换为集合语言为，右边部分在内且在外，转换为集合语言为，故阴影部分表示的集合为，C正确；其他选项，经过验证均不合要求．故选：C【破解方法】解题过程中，一是混合运算要注意运算顺序，二是通过考查平面几何图形的分类，灵活运用补集的含义，也表明对集合相关知识的理解不能生搬硬套，帮助学生加深理解．教师还可以引导学生适当运用数形结合的思想方法理解集合的运算．【例4】已知集合或，．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以解得．故的取值范围是．（2）因为，所以，则或，解得或．故的取值范围是．【破解方法】用集合运算表示几何图形之间的关系，帮助学生体会用集合及其运算表示各种数学对象及对象之间的关系，从而加深对集合运算的理解．环节四：小结提升，形成结构问题8：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）两个集合能进行哪些运算?它们的含义分别是什么?有什么区别和联系（可以从三种语言的角度回答）?（2）交集和并集分别有哪些性质?（3）全集和补集的含义分别是什么?你能举例说明吗?【破解方法】（1）（1）通过回顾，进一步掌握两个集合的运算——交集和并集，辨析它们之间的联系和区别；（2）学生思考后回答，教师点评补充，课件呈现本单元的知识结构图六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数，则，解得，所以，．故选：C．2．若集合，集合，则集合（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，当，时，可取0，，；当，时，可取1，0，；当，时，可取2，1，0，所以，所以．故选：D．3．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，，．故选：C．4．设集合．若，则（

）A． B．C．1 D．3【答案】B【解析】因为，故，故或，若，则，，此时，符合；若，则，，此时，不符合；故选：B5．定义集合运算，若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以或所以或，或所以或，，代入验证，故．故选：D．6．高一某班有学生46人，其中体育爱好者有40人，音乐爱好者有38人，还有3人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育也爱好音乐的学生人数为（

）A．26 B．29 C．32 D．35【答案】D【解析】设既爱好体育又爱好音乐的人数为，则仅爱好体育的人数为，仅爱好音乐的人数为．因为既不爱好体育又不爱好音乐的人数为3，所以，解得．故选：D．7．已知全集，集合，．则=．【答案】或【解析】因为，所以或．又，所以或．故答案为：或8．已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，，解得：，此时，，符合题意；当时，，