2024年中考数学压轴题特训-

第1页（共1页）压轴题特训一．选择题（共6小题）1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．14．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤5．如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④FH2＝HE•HB，正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12二．填空题（共20小题）7．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．8．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，连接AC，且∠ACD＝30°，tan∠BAC＝，CD＝3，则AC＝．9．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC＝4，在BE上截取BG＝2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．10．如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD＝∠DAC，tan∠BAD＝，AD＝，CD＝13，则线段AC的长为．11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．12．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ACE＝∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC＝2，则EF的长为．14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH＝8，则FG＝．15．按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝．16．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是．17．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE＝5，tan∠AED＝，则BE+CE＝．18．以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为．19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k＝．20．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1＝﹣1，则a2015＝．21．如图，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，点C在OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k＝．22．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2＝12，则k的值为．23．函数y＝x的图象与函数y＝的图象在第一象限内交于点B，点C是函数y＝在第一象限图象上的一个动点，当△OBC的面积为3时，点C的横坐标是．24．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE＝BE，则△OEF的面积的值为．25．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB＝OA，则k＝．26．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，点B在双曲线y＝（x＞0）上，且AB∥y轴，点P是y轴上的任意一点，则△PAB的面积为．三．解答题（共34小题）27．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．28．在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．29．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，①当m＝时，求线段CF的长；②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．30．在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关系是；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．31．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB∥OC，线段OA，AB的长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根（OA＜AB），tan∠OCB＝．（1）求点B，C的坐标；（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ＝5，将△POQ翻折，使点O落在AB上的点O′处，双曲线y＝的一个分支过点O′．求k的值；（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以O′，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．①求∠CAM的度数；②当FH＝，DM＝4时，求DH的长．33．如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF＝AB．（1）求证：EF⊥AG；（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB，求△PAB周长的最小值．34．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t＝3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．35．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG＝FB．①求证：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．36．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．37．如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．38．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．39．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．40．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．41．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．43．如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．44．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．45．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．47．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．48．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．49．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．50．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．51．如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值．52．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连接BD、AC、CE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．53．如图，在△ABC中．∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠BCP＝∠BAC．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若BC＝3，cos∠BCP＝，求点B到AC的距离．54．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．55．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB•DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED＝．（1）求证：△DEB∽△DAE；（2）求DA，DE的长；（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．56．已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值．57．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．58．已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求BD的长；（3）如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．59．如图，直线y＝与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．60．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18＝0的两根，请解答下列问题：（1）求点D的坐标；（2）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点H，则k＝；（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

压轴题特训参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE(SAS)，∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE(SAS)，∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．【点评】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键．2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE＝∠EAD＝60°推出△ABE是等边三角形，由于AB＝BC，得到AE＝BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD＝30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，根据AB＝BC，OB＝BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE＝AB，于是得到OE＝BC，故④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，∵AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE＝BE，CO＝OA，∴OE＝AB，∴OE＝BC，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE＝60°＝∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC＝∠DGC＝60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S四边形BCDG＝S四边形CMGN，易求后者的面积；③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF；④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；⑤∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，∴∠BGC＝∠DGC＝60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN，S四边形CMGN＝2S△CMG，∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2，故本选项错误；③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，即BG＝6GF，故本选项正确；④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE＝∠DBG＝30°，∴DG＝BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG＝∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选：B．【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∴△APD≌△AEB（故①正确）；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，又∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED（故③正确）；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝＝＝，∴BF＝EF＝（故②不正确）；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP＝，又∵PB＝，∴BE＝，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．（故④不正确）．⑤∵EF＝BF＝，AE＝1，∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝4+，∴S正方形ABCD＝AB2＝4+（故⑤正确）；故选：D．【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识．5．如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④FH2＝HE•HB，正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【分析】由正方形的性质易证Rt△BCE≌Rt△DCF，则∠CBE＝∠CDF，利用三角形内角和定理可得到∠EHD＝∠BCE＝90°，而BE平分∠DBC，根据等腰三角形的性质得到BH平分DF，即HD＝HF，易得OH为△DBF的中位线，根据三角形中位线的性质得OH∥BF，则①正确；CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，得到HD＝HF＝HC，则∠CDH＝∠DCH，可得到∠CHF＝∠CDF+∠DCH＝2×22.5°＝45°，②正确；在Rt△DGH中，∠GDH＝22.5°，tan∠GDH＝tan22.5°＝≠，易证得GH≠BC，则④不正确；易证△HEC∽△HCB，则HC：HB＝HE：HC，即HC2＝HE•HB，由HC＝HF，即可得到④正确．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝CB，而FC＝CE，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠CBE＝∠CDF，而∠BEC＝∠DEH，∴∠EHD＝∠BCE＝90°，即BH⊥DF，∵BE平分∠DBC，∴BH平分DF，即HD＝HF，而点O为正方形ABCD的中心，即OD＝OB，∴OH为△DBF的中位线，∴OH∥BF，则①正确；∵CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，∴HD＝HF＝HC，∴∠CDH＝∠DCH，而∠CBE＝∠CDF＝∠DBC＝22.5°，∴∠CHF＝∠CDF+∠DCH＝2×22.5°＝45°，则②正确；∵GH∥CF，HD＝HF，∴DG＝GC＝DC＝BC，在Rt△DGH中，∠GDH＝22.5°，tan∠GDH＝tan22.5°＝≠，∴GH≠DG，∴GH≠BC，则③不正确；∵∠ECH＝∠CBH，∠CHE＝CHB，∴△HEC∽△HCB，∴HC：HB＝HE：HC，即HC2＝HE•HB，而HC＝HF，∴HF2＝HE•HB，则④正确；故选：C．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组角对应相等的三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形中位线性质．6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），可求得OC的长，进而根据菱形的性质，可求得OB的长，且∠AOB＝30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵顶点C的坐标为（m，3），∴OE＝﹣m，CE＝3，∴OC＝＝6，∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°，∴OB＝OC＝6，∠BOD＝∠BOC＝30°，∵DB⊥x轴，∴DB＝OB•tan30°＝6×＝2，∴点D的坐标为：（﹣6，2），∵反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，∴k＝xy＝﹣12．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求出OC是解本题的是关键．二．填空题（共20小题）7．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．8．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，连接AC，且∠ACD＝30°，tan∠BAC＝，CD＝3，则AC＝6．【分析】过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC＝x，先求得AE（用含x的式子表示）和DE的长，根据勾股定理可表示出AD2，然后根据等腰三角形三线合一的性质可知：AH＝，然后根据锐角三角函数的定义可求得HB（用含x的式子表示）的长，根据勾股定理可表示出AB2，然后根据AB＝AD，列方程求解即可．【解答】解：过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC＝x．在Rt△CDE中，DC＝3，∠DCE＝30°，∴，．∴DE＝，CE＝．则AE＝x﹣，在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝，∵AB＝BC，BH⊥AC，∴AH＝AC＝，∵tan∠BAC＝，∴BH＝在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2＝BH2+AH2，∴．∵AB＝AD，∴＝解得：x1＝，x2＝（舍去）．∴AC＝6．【点评】本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得AH、BH的长度是解题的关键．9．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC＝4，在BE上截取BG＝2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【分析】根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG＝∠HBD＝30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．【解答】解：如图所示：，由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC＝4，得AD＝BE＝BC＝6，∠ABG＝∠HBD＝30°．由直角三角的性质，得∠BHD＝90°﹣∠HBD＝60°．由对顶角相等，得∠MHE＝∠BHD＝60°由BG＝2，得EG＝BE﹣BG＝6﹣2＝4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG＝EG＝4，∠EGF＝∠GEF＝60°，△MHE是等边三角形；S△ABC＝AC•BE＝AC×EH×3EH＝BE＝×6＝2．由三角形外角的性质，得∠BIG＝∠FGE﹣∠IBG＝60°﹣30°＝30°，由∠IBG＝∠BIG＝30°，得IG＝BG＝2，由线段的和差，得IF＝FG﹣IG＝4﹣2＝2，由对顶角相等，得∠FIN＝∠BIG＝30°，由∠FIN+∠F＝90°，得∠FNI＝90°，由锐角三角函数，得FN＝1，IN＝．S五边形NIGHM＝S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN＝×42﹣×22﹣××1＝，故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．10．如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD＝∠DAC，tan∠BAD＝，AD＝，CD＝13，则线段AC的长为4．【分析】作∠DAE＝∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．根据三角函数设DF＝4x，则AF＝7x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得到DF＝4，AF＝7，设EF＝y，则CE＝7+y，则DE＝6﹣y，在Rt△DEF中，根据勾股定理得到DE＝，AE＝，设DG＝z，则EG＝﹣z，则（）2﹣z2＝（）2﹣（﹣z）2，依此可得CG＝12，在Rt△ADG中，据勾股定理得到AG＝8，在Rt△ACG中，据勾股定理得到AC＝4．【解答】解：作∠DAE＝∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．∵∠C+∠BAD＝∠DAC，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝EC，∵tan∠BAD＝，∴设DF＝4x，则AF＝7x，在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，即（）2＝（4x）2+（7x）2，解得x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝1，∴DF＝4，AF＝7，设EF＝y，则CE＝7+y，则DE＝6﹣y，在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2，即（6﹣y）2＝42+y2，解得y＝，∴DE＝6﹣y＝，AE＝，∴设DG＝z，则EG＝﹣z，则（）2﹣z2＝（）2﹣（﹣z）2，解得z＝1，∴CG＝12，在Rt△ADG中，AG＝＝8，在Rt△ACG中，AC＝＝4．故答案为：4．【点评】考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到AG和CG的长．11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，推出＝，求出∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，求出CE＝CF，根据圆内接四边形性质求出∠D＝∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE＝DF，证△AEC≌△AFC，推出AE＝AF，设BE＝DF＝x，得出5＝x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，如图1，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，则∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝180°，∴A、B、E三点共线，过C作CM⊥AE于M，∵AC＝CE，∴AM＝EM＝×（5+3）＝4，在Rt△AMC中，AC＝＝＝；解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，∵点C为弧BD的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE＝DF，在△AEC和△AFC中∴△AEC≌△AFC，∴AE＝AF，设BE＝DF＝x，∵AB＝3，AD＝5，∴AE＝AF＝x+3，∴5＝x+3+x，解得：x＝1，即AE＝4，∴AC＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．12．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值为3．【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝6，∴EF的最大值为3．故答案为3．【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ACE＝∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC＝2，则EF的长为﹣1．【分析】过F点作FG∥BC．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得AF＝CF，在Rt△CDF中，根据三角函数可得AF＝CF＝2，DF＝，根据平行线分线段成比例可得比例式GF：BD＝AF：AD，求得GF＝4﹣2，再根据平行线分线段成比例可得比例式EF：EC＝GF：BC，依此即可得到EF＝﹣1．【解答】解：过F点作FG∥BC．∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝1，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，AD⊥BC，∵∠ACE＝∠BAC，∴∠CAD＝∠ACE＝15°，∴AF＝CF，∵∠ACD＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠DCE＝75°﹣15°＝60°，在Rt△CDF中，AF＝CF＝＝2，DF＝CD•tan60°＝，∵FG∥BC，∴GF：BD＝AF：AD，即GF：1＝2：（2+），解得GF＝4﹣2，∴EF：EC＝GF：BC，即EF：（EF+2）＝（4﹣2）：2，解得EF＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】综合考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行线分线段成比例，以及方程思想，本题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径．14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH＝8，则FG＝5．【分析】如解答图，连接CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的长度．【解答】解：如图所示，连接CG．在△CGD与△CEB中∴△CGD≌△CEB（SAS），∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB，∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形．又∵CH⊥GE，∴CH＝EH＝GH．过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN＝90°，又∵∠EHC＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠HEM＝∠HCN．在△HEM与△HCN中，∴△HEM≌△HCN（ASA）．∴HM＝HN，∴四边形MBNH为正方形．∵BH＝8，∴BN＝HN＝4，∴CN＝BC﹣BN＝6﹣4＝2．在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝2．∴GH＝CH＝2．∵HM∥AG，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3．又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，∴Rt△HCN∽Rt△GFH．∴，即，∴FG＝5．故答案为：5．【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．15．按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝．【分析】观察图形，根据正方形的四条边相等和等腰直角三角形的腰长为斜边长的倍，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，再根据规律解题即可．【解答】解：∵第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为（）1＝，第3个正方形的边长为（）2＝，…，第n个正方形的边长为（）n﹣1，∴第n个正方形的面积为：[（）2]n﹣1＝，则第n个等腰直角三角形的面积为：×＝，故第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝+＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质和直角边长是斜边长的倍及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为（）n﹣1是解题的关键．16．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7．【分析】根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出DB与FB的长，以及CG与CE的长，进而由DB+BC+CE求出DE的长，由BC﹣BF﹣CG求出FG的长，求出等边三角形NFG与等边三角形MDE的高，即可确定出点P到BC的最小距离和最大距离．【解答】解：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，∴DB＝FB＝＝，CE＝CG＝＝，∴DE＝DB+BC+CE＝++＝，FG＝BC﹣BF﹣CG＝，∴NH＝FG＝1，MQ＝DE＝7，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7．故答案为：1，7．【点评】此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是解本题的关键．17．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE＝5，tan∠AED＝，则BE+CE＝6或16．【分析】本题有两种情形，需要分类讨论．首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE＝BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案．【解答】解：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE＝BE，ED⊥AB，AD＝AB，∵AE＝5，tan∠AED＝，∴sin∠AED＝，∴AD＝AE•sin∠AED＝3，∴AB＝6，∴BE+CE＝AE+CE＝AC＝AB＝6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BE+CE＝16．故答案为：6或16．【点评】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．18．以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为．【分析】首先证明点E是线段AB的中点，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．在Rt△BEC′中，根据BC′2＝BE2+EC′2，构建方程求出m即可求得点E的坐标；延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，由勾股定理求得点F的坐标；最后结合锐角三角函数的定义求得答案．【解答】解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．∵CD＝BD，∴S△CDO＝＝S矩形ABCD，∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCD，∴AE＝EB，∵C′（2，4），∴AE＝EB＝4，在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，∴m2＝42+（m﹣2）2，∴m＝5，∴E（5，4），∴B（5，8），则BC＝5，延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，∴C′G＝2，CG＝4，∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即（4﹣FG）2＝22+FG2，∴FG＝，∴CF＝4﹣＝，∴tan∠CBF＝＝＝．故答案是：．【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题．19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k＝3．【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出S△OBD＝S△OBE＝S四边形ODBE＝3，再求出S△OCE＝S△OBE＝，即可得出k的值．【解答】解：连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD＝∠OCE＝∠DBE＝90°，S△OAB＝S△OBC，∵D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△OAD＝S△OCE，∴S△OBD＝S△OBE＝S四边形ODBE＝3，∵BE＝2EC，∴S△OCE＝S△OBE＝，∴k＝3；故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．20．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1＝﹣1，则a2015＝2．【分析】首先根据a1＝﹣1，求出a2＝2，a3＝，a4＝﹣1，a5＝2，…，所以a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a2015是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．【解答】解：∵a1＝﹣1，∴B1的坐标是（﹣1，1），∴A2的坐标是（2，1），即a2＝2，∵a2＝2，∴B2的坐标是（2，﹣），∴A3的坐标是（，﹣），即a3＝，∵a3＝，∴B3的坐标是（，﹣2），∴A4的坐标是（﹣1，﹣2），即a4＝﹣1，∵a4＝﹣1，∴B4的坐标是（﹣1，1），∴A5的坐标是（2，1），即a5＝2，…，∴a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、，∵2015÷3＝671…2，∴a2015是第672个循环的第2个数，∴a2015＝2．故答案为：2．【点评】（1）此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．（2）此题还考查了一次函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．21．如图，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，点C在OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k＝．【分析】设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，用面积法可求出⊙P的半径，然后通过三角形相似可求出CD，从而得到点P的坐标，就可求出k的值．【解答】解：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．则有PD⊥OA，PE⊥AB．设⊙P的半径为r，∵AB＝5，AC＝1，∴S△APB＝AB•PE＝r，S△APC＝AC•PD＝r．∵∠AOB＝90°，OA＝4，AB＝5，∴OB＝3．∴S△ABC＝AC•OB＝×1×3＝．∵S△ABC＝S△APB+S△APC，∴＝r+r．∴r＝．∴PD＝．∵PD⊥OA，∠AOB＝90°，∴∠PDC＝∠BOC＝90°．∴PD∥BO．∴△PDC∽△BOC．∴＝．∴PD•OC＝CD•BO．∴×（4﹣1）＝3CD．∴CD＝．∴OD＝OC﹣CD＝3﹣＝．∴点P的坐标为（，）．∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，∴k＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．22．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2＝12，则k的值为6．【分析】设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，则OA2﹣AB2＝12变形为AC2﹣AD2＝6，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）＝6，所以（OC+BD）•CD＝6，则有a•b＝6，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k＝6．【解答】解：设B点坐标为（a，b），∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，∵OA2﹣AB2＝12，∴2AC2﹣2AD2＝12，即AC2﹣AD2＝6，∴（AC+AD）（AC﹣AD）＝6，∴（OC+BD）•CD＝6，∴a•b＝6，∴k＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．23．函数y＝x的图象与函数y＝的图象在第一象限内交于点B，点C是函数y＝在第一象限图象上的一个动点，当△OBC的面积为3时，点C的横坐标是1或4．【分析】分两种情况考虑：当C在B点上方时，如图1所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，BE⊥x轴，设C（c，），由反比例函数k的几何意义求出三角形BOE与三角形COF面积都为2，再由三角形BOC面积为3，得到四边形BCOE面积为5，而四边形BCOE面积由三角形COF与梯形BCFE面积之和求出，利用梯形面积公式列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值；当C在B下方时，如图2所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，BE⊥x轴，同理求出c的值，综上，得到满足题意C得横坐标．【解答】解：当C在点B上方时，如图1所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，BE⊥x轴，设C（c，），∵y＝x与y＝在第一象限交于B点，∴S△BOE＝2，∵S△BOC＝3，∴S四边形BCOE＝S△BOE+S△BOC＝5，∴S△COF+S四边形BCFE＝5，即2+•（2﹣c）•（+2）＝5，解得：c＝1；当C在B下方时，如图2所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，BE⊥x轴，同理可得S△BOE+S四边形BEFC＝5，即2+•（c﹣2）•（+2）＝5，解得：c＝4，综上，C的横坐标为1或4．故答案为：1或4【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数k的几何意义，梯形、三角形的面积求法，坐标与图形性质，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意不重不漏，考虑问题要全面．24．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE＝BE，则△OEF的面积的值为．【分析】连接OB．首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得出S△AOE＝S△COF＝1.5，然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，则S△BEF＝S△OCF＝0.75，最后由S△OEF＝S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF，得出结果．【解答】解：连接OB．∵E、F是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的点，EA⊥x轴于A，FC⊥y轴于C，∴S△AOE＝S△COF＝×3＝．∵AE＝BE，∴S△BOE＝S△AOE＝，S△BOC＝S△AOB＝3，∴S△BOF＝S△BOC﹣S△COF＝3﹣＝，∴F是BC的中点．∴S△OEF＝S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF＝6﹣﹣﹣×＝．故答案是：．【点评】本题主要考查反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S＝|k|．得出点F为BC的中点是解决本题的关键．25．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB＝OA，则k＝﹣．【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），判断出△OBF∽△AOE，利用对应边成比例可求出k的值．【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），∵∠AOE+∠BOF＝90°，∠OBF+∠BOF＝90°，∴∠AOE＝∠OBF，又∵∠BFO＝∠OEA＝90°，∴△OBF∽△AOE，∴＝＝，即＝＝，则＝﹣b①，a＝②，①×②可得：﹣2k＝1，解得：k＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特点，解答本题要求同学们能将点的坐标转化为线段的长度．26．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，点B在双曲线y＝（x＞0）上，且AB∥y轴，点P是y轴上的任意一点，则△PAB的面积为1．【分析】设A（x，），则B（x，），再根据三角形的面积公式求解．【解答】解：设A（x，），∵AB∥y轴，∴B（x，），∴S△ABP＝AB•x＝（﹣）×x＝1．故答案为：1．【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先根据题意设出A点坐标，再由AB∥y轴得出B点坐标是解答此题的关键．三．解答题（共34小题）27．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据题意得BD＝DE＝EC＝BC，进而可得△ABC∽△FEC，得出＝＝，由BC＝AC，推出＝，即可得出答案；（2）①由△CEF是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，可得△CAF∽△CBE，推出＝仍然成立；②如图3，过点D作DG⊥BF于点G，由旋转得：DE＝BD＝BC，进而得出△BDG∽△BCF，推出AF＝BE＝BG＝CF＝CE，再由△CAF∽△CBE，推出∠CAF＝∠ACE，可得AF∥CE，利用平行四边形的判定即可得出答案．【解答】解：（1）如图1，当α＝180°时，点E在线段BC上，∵BD＝BC，∴DE＝BD＝BC，∴BD＝DE＝EC，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE＝∠BAC＝90°，∵∠ECF＝∠BCA＝45°，∴△ABC∽△FEC，∴＝＝，∴＝＝，∵BC＝AC，∴＝＝，∴＝，即＝＝，∴＝•＝×＝；（2）①＝仍然成立.理由如下：如图2，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，＝，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BCA＝45°，＝，∴∠ECF＝∠BCA，＝，∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠ACF＝∠BCE，∵＝，∴△CAF∽△CBE，∴＝＝，∴＝仍然成立．②四边形AECF是平行四边形．理由如下：如图3，过点D作DG⊥BF于点G，由旋转得：DE＝BD＝BC，∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，∴△BDG∽△BCF，∴＝＝＝，∵BD＝DE，DG⊥BE，∴BG＝EG，∴BG＝EG＝EF，∵EF＝CF，∴CF＝BG＝BF，由①知，AF＝BE＝BG＝CF＝CE，∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠CBE＝∠ACE，∴∠CAF＝∠ACE，∴AF∥CE，∵AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．【