2023-2024学年湘教版选择性必修第一册 第1章数列1-1数列的概念第1课时数列的概念 课件（30张）

基础落实·必备知识全过关知识点1数列及其概念(1)数列:按照一定顺序排成的一列数叫作数列.(2)项:数列中的

叫作这个数列的项,排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项,排在第二位的数叫作数列的

,…,排在第n位的数叫作数列的

.

(3)数列的一般形式:数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为{an}.数列中项与项之间用“,”隔开

每一个数

第2项第n项

名师点睛数列中的项的性质:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性).过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列.(

)(2)一组数1,1,1,1不是数列.(

)(3)若两个数列的每一项均相同,则这两个数列相同.(

)2.{an}与an所表示的含义相同吗?××√提示不同.{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an只表示数列{an}的第n项.知识点2数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数

的数列

无穷数列项数

的数列

名师点睛从数列的分类来说,一个数列只有“有穷数列”与“无穷数列”两种形式.有限

无限过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)若一个数列有n(n∈N+)项,则该数列是无穷数列.(

)2.数列a1,a2,a3,…,an与数列a1,a2,a3,…,an,…有区别吗?×提示有,前者是有穷数列,后者是无穷数列.知识点3数列的表示以及数列与函数的关系1.数列与函数的关系.从函数的观点看,数列可以看作特殊的函数,关系如下表:定义域特殊

定义域正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})解析式数列的通项公式值域自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值表示方法(1)通项公式(解析法);(2)

法;(3)

法

列表图象2.通项公式如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示,那么这个________

就称为数列{an}的通项公式.

就是数列的解析表达式

公式名师点睛1.列表法表示数列的优点在于表示出了数列的项的序号与项的对应关系,而图象法则是直观地体现了项的变化趋势,通项公式则是清晰地反映对应关系.2.数列所对应的图象是一系列孤立的点.3.一个数列的通项公式不是唯一的,如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos

nπ等.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项.(

)(2)根据数列的前若干项写出的通项公式唯一.(

)(3)数列的通项公式必须适合数列中的任何一项.(

)√×√2.所有的数列都有通项公式吗?3.从函数观点看数列,若一个数列是“有穷数列”,则该数列的定义域有何特征?提示不是.提示从函数观点看数列,若一个数列是“有穷数列”,则它的定义域是正整数集N+的有限子集{1,2,3,…,n}.重难探究·能力素养全提升探究点一根据数列的前若干项求通项公式【例1】

根据以下数列的前若干项写出数列的一个通项公式.分析

观察、分析项的特征,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.解

数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,(2)1,-3,5,-7,9,…;解

数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).解

这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·.(4)4,0,4,0,4,0,….解

由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.变式探究(1)将本例题中的(1)改为,…,试写出数列的一个通项公式.分子满足:3=1+2,4=2+2,5=3+2,6=4+2,…,分母满足:5=3×1+2,8=3×2+2,11=3×3+2,14=3×4+2,…,(2)将本例题中的(3)改为,…,试写出数列的一个通项公式.解

由于所给数列的部分项均是分式且分子均为1,分母均是两因数的积,第一个因数是项数加上1,第二个因数比第一个因数大2,因此它的一个通项公式为an=.规律方法

1.根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式的方法:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的解析表达式.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)n或(-1)n+1处理符号.(4)对于具有周期性的数列,可考虑拆成几个简单数列的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.2.常见数列的通项公式如下:(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.探究点二数列的通项公式的应用分析首先根据数列的前3项以及数列的通项公式,利用待定系数法求出d,b,c,得到通项公式,然后根据通项公式求解.规律方法

利用数列的通项公式求数列的项或项数的方法

类型方法求数列的项用序号代替公式中的n判断是否为数列{an}中的项令通项公式等于该数,解方程,注意n∈N+变式训练已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出此数列的第4项和第6项;(2)判断-49是不是该数列中的项;(3)该数列{an}中有多少个负数项?

解

(1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.(2)由3n2-28n=-49,得n=7或n=

(舍去),因此-49是该数列的第7项.(3)由an=3n2-28n=n(3n-28)<0,得0<n<.又因为n∈N+,所以n=1,2,3,4,5,6,7,8,9.故数列{an}中共有9个负数项.本节要点归纳1.知识清单:(1)数列及其概念:项、项数;(2)数列的分类:有穷数列、无穷数列;(3)数列与函数的关系、数列的表示方法、数列的通项公式.2.方法归纳:观察归纳法求数列的通项公式,代数法或解方程法求数列的项或项数.3.注意事项:数列是定义域为正整数集或其有限子集的特殊的函数,根据通项公式判断是否为数列的项,n∈N+.学以致用·随堂检测全达标1234561.已知an=3n-2,则数列{an}的图象是(

)A.一条直线 B.一条抛物线C.一个圆 D.一系列孤立的点D解析

数列{an}的通项公式为an=3n-2,可以看作an关于n的一次函数,变量n∈N+,数列若用图象表示,从图象上看是一系列孤立的点.故选D.1234562.已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,那么9是它的(

)A.