概率与统计学考试(习题卷1)

试卷科目：概率与统计学考试概率与统计学考试(习题卷1)PAGE"pagenumber"pagenumber/SECTIONPAGES"numberofpages"numberofpages概率与统计学考试第1部分：单项选择题，共56题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。[单选题]1.商店出售10台洗衣机,其中恰有3台次品,现已出售出一台洗衣机,在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品,则原先售出的一台是次品的概率为()。A)3/10B)3/8C)1/3D)2/3答案:B解析:设A表示?第一次取出是次品?,B表示?在余下的洗衣机中任取两台为正品?,则由全概率公式,有style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]2.设x1,x2,…,xn为来自某总体的样本,为样本均值,则=A)B)0C)D)答案:B解析:,故选择B[单选题]3.在贝努利试验中,若事件A发生的概率为p,又设m为n次独立重复试验中A发生的频数,则当n充分大时,有A)m近似服从二项分布B(np,npq)B)m近似服从正态分布N(p,pq)C)m近似服从正态分布N(np,npq)D)m近似服从标准正态分布N(0,1)答案:C解析:在贝努利试验中,若事件A发生的概率为p,又设Zn为n次独立重复试验中事件A发生的频数,则当n充分大时,Zn近似服从正态分布N(np,npq),因此选C。[单选题]4.设随机变量,且,则常数c=A)0B)2C)3D)4答案:C解析:因为随机变量,是服从正态分布的,根据,根据正态分布概率密度的图像可知,在均值的左右两边的概率是相等的,因此,选择C.[单选题]5.某种商品进行有奖销售,每购买一件有的中奖概率,现某人购买了20件该商品,用随机变量X表示中奖次数,则X的分布为A)正态分布B)指数分布C)泊松分布D)二项分布答案:D解析:本题考查二项分布的概念。[单选题]6.连续型随机变量X的分布函数,则其中的常数a和b为()。A)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">B)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">C)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">D)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">答案:B解析:由题意知,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">故style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">。F(X)为连续型X的分布,则F(X)必连续,F(X)在X=0连续,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,即a+b=0,b=-1。[单选题]7.假设随机变量X的密度函数f(x)是偶函数,其分布函数为F(x),则()。A)F(x)是偶函数B)F(x)是奇函数C)F(x)+F(-x)=1D)2F(x)-F(-x)=1答案:C解析:AB两项,由于F(x)是单调不减的非负函数,所以不成立。CD两项,已知f(x)是偶函数,因此有style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]8.x1,x2,x3是取自总体X的样本,a是一未知参数,以下函数中是统计量的是A)x1+x2+ax3B)ax1C)x1x3D)ax2+ax3答案:C解析:统计量不含有未知参数,是样本的函数,因此选C。[单选题]9.一个宿舍中住有6位同学,则6人中至少有1人生日在10月份的概率为()。A)0.41B)0.08C)0.5D)0.36答案:A解析:6人中至少有1人生日在10月份的补事件是没有一个人出生在10月份,因此概率,因此选A。[单选题]10.设随机变量X与Y相互独立,且E(X)与E(Y)存在,记U=max{X,Y},V=min{X,Y},则E(UV)=()。A)E(U)E(V)B)E(X)E(Y)C)E(U)E(Y)D)E(X)E(V)答案:B解析:因为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,所以,UV=XY,于是E(UV)=E(XY)=E(X)E(Y)。[单选题]11.在某大学抽查100个学生,调查他们自觉储蓄的比例,情况如下:A)0.9475B)0.9321C)0.8702D)0.6356答案:A解析:Eξ=7.99,Dξ=0.21,切比雪夫不等式:即学生储蓄率为ξ%与平均水平7.99%相差不足两个百分点(ξ=2)的概率不小于0.9475[单选题]12.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),他向目标连续射击,则第一次未中第二次命中的概率为A)p2B)(1-p)2C)1-2pD)p(1-p)答案:D解析:本题考察相互独立的事件的概率.某人向目标连续射击,每次射击之间可视为相互独立事件,所以第一次未中第二次命中的概率等于第一次未中的概率与第二次命中的概率的乘积,故选择D.[单选题]13.已知总体X的期望EX=0,方差DX=σ2,从总体中抽取容量为n的简单随机样本,其均值为X(_),方差为S2.记Sk2=nX(_)2/k+S2/k(k=1,2,3,4),则()。A)ES12=σ2B)ES22=σ2C)ES32=σ2D)ES42=σ2答案:B解析:[单选题]14.已知D(X)=4,D(Y)=1,ρXY=0.2,则D(X-Y)为A)1.2B)2.2C)4.2D)0.8答案:C解析:因为,因此Cov(X,Y)=1×2×0.2=0.4,而D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=4+1-2×0.4=4.2,因此选C。[单选题]15.设H0为假设检验的原假设,则显著性水平等于A)P{接受H0|H0不成立}B)P{拒绝H0|H0成立}C)P{拒绝H0|H0不成立}D)P{接受H0|H0成立}答案:B解析:本题考查假设检验中显著水平的定义。[单选题]16.如果D(X)=2,令Y=3X+1,则D(Y)为A)2B)18C)3D)4答案:B解析:D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(3X+1)=D(3X)=9D(X)=9×2=18,因此选B。[单选题]17.某假设检验的拒绝域为W,当原假设H0成立时,样本值()落入W的概率为0.05,则犯第一类错误的概率为A)0.05B)0.1C)0.9D)0.95答案:A解析:在H0成立的情况下,样本值落入了拒绝域W,因而H0被拒绝,称这种错误为第一类错误,又称拒真错误。根据定义,可知选A.[单选题]18.设随机变量X服从正态分布N(μ1,σ12),随机变量Y服从正态分布N(μ2,σ22),且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1},则必有()。A)σ1<σ2B)σ1>σ2C)μ1<μ2D)μ1>μ2答案:A解析:由于X与Y服从不同参数的正态分布,所以不能直接判断PP{|X-μ1|<1}和P{|Y-μ2|<1}的大小与参数的关系,如果将其标准化后就可以方便地进行比较了,随机变量标准化,有(X-μ1)/σ1~N(0,1),且其概率密度函数是偶函数,所以P{|X-μ1|<1}=P{-1同理有,P{|Y-μ2|<1}=2Φ/σ2-1。因为φ(x)是单调递增函数,当P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}时,2Φ/σ1-1>2Φ/σ2-1,即1/σ1>1/σ2,所以σ1<σ2,故选A项。[单选题]19.设A、B、C为事件,P(ABC)>0,则P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是()。A)P(A|C)=P(A)B)P(B|C)=P(B)C)P(AB|C)=P(AB)D)P(B|AC)=P(B|C)答案:D解析:P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指:在C发生的条件下,A与B独立,所以?在C发生的条件下,A发生与否不影响B发生的概率?,即P(B|AC)=P(B|C)。也可以通过计算来确定选项,事实上,P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)P(B|AC)=P(B|C),选项(A)、(B)、(C)分别是A与C、B与C、AB与C独立的充要条件。[单选题]20.同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好三枚均为正面朝上的概率为()。A)0.125B)0.25C)0.375D)0.5答案:A解析:一枚硬币正面朝上的概率为0.5,则三枚均为正面朝上的概率为(0.5)=0.125,故选择A.[单选题]21.设F1(x),F2(x)为两连续型随机变量的分布函数,对应的概率密度f1(x),f2(x)为连续函数,则下列函数中必为概率密度函数的是()。A)f1(x)[1-F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]B)f1(x)[1-F2(x)]+f2(x)[1-f1(x)]C)f1(x)[1-f2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]D)f1(x)[1-f2(x)]+f2(x)[1-f1(x)]答案:A解析:由分布函数的性质可得,1-[1-F2(x)][1-F1(x)]还是分布函数,且为连续型随机变量的分布函数,故其导数f1(x)[1-F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]必为概率密度函数。[单选题]22.某植物活5年的概率为0.8,活10年的概率为0.6,现有一株该种植物已经活了5年,它能活到10年的概率是().A)0.5B)0.7C)0.8D)0.75答案:D解析:本题属于条件概率,设A为活5年,B为活10年,因此P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.6/0.8=0.75,因此选D。[单选题]23.设随机变量,且=2.4,=1.44,则()。A)n=4,p=0.6B)n=6,p=0.4C)n=8,p=0.3D)n=24,p=0.1答案:B解析:根据,因此可得=2.4,=1.44,故可得,故,故得,因此选择B[单选题]24.假设随机变量X与Y的相关系数为ρ,则ρ=1的充要条件是()。A)Y=aX+b(a>0)B)cov(X,Y)=1,DX=DY=1C)cov(X,Y)=1/4,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">D)D(X+Y)=(DX1/2+DY1/2)答案:D解析:显然A、B、C三项是ρ=1的充分条件但不是必要条件,因此选D项。事实上ρ=1⇔⇔⇔。style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]25.设A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则P(|B)=A)0.2B)0.4C)0.6D)0.8答案:D解析:本题考察事件独立的概念及其性质。若事件与相互独立,则事件与,与,与也相互独立;而事件与相互独立,则。基于以上两个理由,。[单选题]26.设A、B为任意两个事件,则有()。A)(A∪B)-B=AB)(A-B)∪B=AC)(A∪B)-BAD)(A-B)∪BA答案:C解析:利用文氏图可得答案。故选择C.[单选题]27.抛掷硬币10次,写出国徽向上次数X的分布列后,求国徽向上次数不小于3的概率为()。A)0.912B)0.945C)0.078D)0.055答案:B解析:[单选题]28.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,且AB,则P(A|B)=()。A)0B)0.5C)0.8D)1答案:C解析:本题考察条件概率的计算公式和包含关系的两个事件的概率.故选择C.[单选题]29.设随机变量X~N(0,1),Ф(x)是X的标准正态分布函数,则Ф(0)=A)0.5B)0.4C)0.3D)0.6答案:A解析:标准正态分布函数的性质中,Ф(-x)=1-Ф(x),Ф(0)=0.5,因此选A。[单选题]30.设A,B为随机事件,P(A)>0,则下列等式中与P(B|A)=1不等价的是()。A)P(A-B)=0B)P(A∪B)=P(B)C)P(AB)=P(A)D)P(B)=1答案:D解析:D项,若A⊂B,P(A)>0,P(B)≠1,则P(AB)=P(A),P(B|A)=1,但此时P(B)≠1,可知P(B)=1是P(B|A)=1的充分条件,但不是必要的。A项,P(A-B)=P(A)-P(AB)=0⇔P(AB)=P(A)⇔P(AB)/P(A)=P(B|A)=1。B项,P(A∪B)=P(B)⇔P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)⇔P(A)=P(AB)⇔P(B|A)=1。C项,P(AB)=P(A)⇔P(AB)/P(A)=1⇔P(B|A)=1。[单选题]31.对于任意两事件A和B,则下述命题正确的是()。A)若AB≠∅,则A,B一定独立B)若AB≠∅,则A,B有可能独立C)若AB=∅,则A,B一定独立D)若AB=∅,则A,B一定不独立答案:B解析:当P(A)≠0,P(B)≠0时,若A,B相互独立,则一定有P(AB)=P(A)P(B)≠0,从而由AB≠∅可见,当A,B相互独立时,往往A,B并不是互斥的,AB≠∅推不出P(AB)=P(A)P(B),因此推不出A,B一定独立,排除A;若AB=∅,则P(AB)=0,但P(A)P(B)是否为零不确定,P(AB)≠P(A)P(B)。因此C,D也不成立,故正确选项为B。[单选题]32.设随机变量X和Y独立同分布,X服从参数为2的指数分布,则E(XY)=A)1/16B)1/4C)4D)16答案:B解析:E(XY)=E(X)E(Y)=1/2*1/2=1/4.[单选题]33.设F(x)为随机变量X的分布函数,则()。A)F(x)一定不连续B)F(x)一定右连续C)F(x)是不增的D)F(x)一定左连续答案:B解析:[单选题]34.假设总体X服从参数为λ的泊松分布,X1,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,其均值为X(_),方差为S2。已知E[aX(_)+(2-3a)S2]=λ,则a等于()。A)-1B)0C)1/2D)1答案:C解析:[单选题]35.设随机变量X,Y均服从标准正态分布,则()。A)X+Y服从正态分布B)X2+Y2服从χ2分布C)X2/Y2服从F分布D)X2和Y2均服从χ2分布答案:D解析:ABC三项,没有条件可以证明X,Y相互独立,因此不正确。D项,由χ2分布的定义知X2~χ2(1),Y2~χ2(1)。[单选题]36.设随机变量X,Y不相关,且EX=2,EY=1,DX=3,则E[X(X+Y-2)]=()。[数一2015研]A)-3B)3C)-5D)5答案:D解析:随机变量X,Y不相关,因此E(XY)=E(X)E(Y),进而得E[X(X+Y-2)]=E(X2+XY-2X)=E(X2)+E(XY)-2E(X)=D(X)+E2(X)+E(X)·E(Y)-2E(X)=3+22+2×1-2×2=5故选D项。[单选题]37.设随机事件A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则P(A|B)=A)0B)0.2C)0.4D)1答案:B解析:根据条件概率公式可得,又事件A与B相互独立,因此,因此可得,故选择B.[单选题]38.设A为随机事件,则下列命题中错误的是()。A)与互为对立事件B)与互不相容C)D)答案:C解析:本题考察对立事件的概念:①;②,所以A,B,D正确,C是错误的。[单选题]39.设A,B为随机事件,P(B)>0,则()。A)P(A∪B)≥P(A)+P(B)B)P(A-B)≥P(A)-P(B)C)P(AB)≥P(A)P(B)D)P(A|B)≥P(A)/P(B)答案:B解析:A项,应用概率运算性质知,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)。B项,P(A-B)=P(A)-P(AB)≥P(A)-P(B)。C项,它可能成立也可能不成立,例如AB=∅,P(A)>0,P(B)>0,则P(AB)=0<P(A)P(B);如果A⊂B,则P(AB)=P(A)≥P(A)P(B)。D项,P(A|B)=P(AB)/P(B)≤P(A)/P(B)。[单选题]40.已知D(X)=9,D(Y)=16,ρXY=0.4,则D(X+Y)为A)9.4B)16.4C)34.5D)34.6答案:D解析:因为,因此Cov(X,Y)=3×4×0.4=4.8,而D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=9+16+2×4.8=34.6,因此选D。[单选题]41.设连续型随机变量X1,X2相互独立,且方差均存在,X1,X2的概率密度分别为f1(x),f2(x),随机变量Y1的概率密度为,随机变量Y2=(X1+X2)/2,则()。[数一2014研]A)EY1>EY2,DY1>DY2B)EY1=EY2,DY1=DY2C)EY1=EY2,DY1<DY2D)EY1=EY2,DY1>DY2答案:D解析:style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]42.设X服从二项分布B(n,p),则A)E(2X-1)=2npB)D(2X+1)=4np(1-p)+1C)E(2X+1)=4np+1D)D(2X-1)=4np(1-p)答案:D解析:本题考查二项分布的方差与数学期望。利用如下公式判断:E(X)=np,D(X)=np(1-p),E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)[单选题]43.设随机变量X的方差DX=2,EX2=38,则X的数学期望E(X)等于A)6B)C)36D)40答案:A解析:DX=EX2-(EX)2,得(EX)2=EX2-DX=38-2=36,E(X)=6,因此选A。[单选题]44.设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记,则下列结论中不正确的是()。[数一2017研]A)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">服从χ2分布B)2(Xn-X1)2服从χ2分布C)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">服从χ2分布D)n(X(_)-μ)2服从χ2分布答案:B解析:A项,Xi-μ~N(0,1),故[单选题]45.则p{}=A)0.1B)0.2C)0.3D)0.5答案:A解析:[单选题]46.设随机变量(X,Y)的联合分布律为表3-7A)α=2/9,β=1/9B)α=1/9,β=2/9C)α=1/6,β=1/6D)α=5/18,β=1/18答案:A解析:[单选题]47.下列关于?统计量?的描述中,不正确的是()。A)统计量是样本的函数B)估计量是统计量C)统计量表达式中可以含有未知参数D)统计量为随机变量答案:C解析:统计量中不含有任何未知参数,因此选C。[单选题]48.已知与的协方差Cov(,)=,则Cov=A)-1/2B)0C)1/2D)1答案:D解析:[单选题]49.设一次试验成功的概率为p(0<p<1),不断进行重复试验,直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数,求X的概率分布()。A)P(X=k)=pB)P(X=k)=pk-1(1-p),k=1,2C)P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2D)P(X=k)=p(1-p)答案:C解析:如果试验k次,则前k-1次试验是失败的,第k次是成功的,因此X=k对应的概率是P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2…,因此选C。[单选题]50.设F(x)=P{X≤x}是连续型随机变量X的分布函数,则下列结论中不正确的是().A)F(x)是不减函数B)F(x)是减函数C)F(x)是右连续函数D)F(-∞)=0,F(+∞)=1答案:B解析:此题可以根据分布函数的性质得到。[单选题]51.设随机变量,则=A)3B)6C)9D)15答案:C解析:[单选题]52.在假设检验中,检验两个独立正态总体方差是否相等所采用的方法为A)u检验法B)t检验法C)x2检验法D)F检验法答案:D解析:t检验法检验两个独立正态总体均值是否相等,但是假定方差相等,如果检验两个独立正态总体方差是否相等,则选择F检验法,因此选D。[单选题]53.假设随机变量X的分布函数为F(x),概率密度函数f(x)=af1(x)+bf2(x),其中f1(x)是正态分布N(0,σ2)的密度函数,f2(x)是参数为λ的指数分布的密度函数,已知F(0)=1/8,则()。A)a=1,b=0B)a=3/4,b=1/4C)a=1/2,b=1/2D)a=1/4,b=3/4答案:D解析:由[单选题]54.则常数A=()A)-1B)1C)D)-答案:C解析:[单选题]55.已知随机变量,EXY=5/8,则P{X+Y≤1}等于()。A)1/8B)1/4C)3/8D)1/2答案:C解析:由题设知,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,所以EXY=P{X=1,Y=1}=5/8P{X+Y≤1}=1-P{X+Y>1}=1-P{X=1,Y=1}=1-5/8=3/8二、填空题[单选题]56.已知随机变量X的概率密度为(α为正常数),则P{α<X<α+β}(β>0)的值A)与β无关,随α单调增B)与β无关,随α单调减C)与α无关,随β单调增D)与α无关,随β单调减答案:C解析:第2部分：问答题，共44题，请在空白处填写正确答案。[问答题]57.以X与Y分别表示人的脚长(英寸)与手长(英寸),下面列出了15名女子的脚的长度X与手的长度Y的样本值:表9-26答案:1)先作必要的计算见表9-27:表9-27style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]58.第1题中的随机过程X(t)=Acos(ωt+Θ),-∞<t<+∞,是否是各态历经过程?为什么?答案:由第1题知随机过程X(t)=Acos(ωt+Θ)的均值μX=0,自相关函数RX(τ)=σ2cosωτ,现在来计算X(t)的相应的平均时间平均:解析:[问答题]59.已知平稳过程X(t)的自相关函数为答案:由题意知,得解析:[问答题]60.设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1,0,1),Y的概率密度为,记Z=X+Y。(Ⅰ)求P{Z≤1/2|X=0};(Ⅱ)求Z的概率密度fZ(z)。答案:(Ⅰ)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]61.设随机变量X,Y的概率分布相同,X的概率分布为P{X=0}=1/3,P{X=1}=2/3,且X,Y的相关系数ρXY=1/2。1)求二维随机变量(X,Y)的联合概率分布;2)求概率P{X+Y≤1}。[数三2014研]答案:1)由于X,Y的概率分布相同,故P{X=0}=1/3,P{X=1}=2/3,P{Y=0}=1/3,P{Y=1}=2/3显然EX=EY=2/3,DX=DY=2/9。相关系数style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]62.设随机变量X的概率密度函数连续,求:1)常数A、B;2)X的分布函数F(x);3)P{0.5<X≤1.5};4)的概率密度函数;5)Z=F(X)的概率密度函数。答案:1)由f(x)连续,知style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,即style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">故A=B-1①又style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">知A/2+B-3/2=1②联立上面两式,解得A=1,B=2。由题意知,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">2)当x<0时,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">当0≤x<1时,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">当1≤x<2时,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">当2≤x时,F(x)=1。所以分布函数为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]63.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为Φ(2x+1)Φ(2y-1),其中Φ(x)为标准正态分布函数,则(X,Y)服从正态分布N(______)。答案:N(-1/2,1/2;1/4,1/4;0)解析:(X,Y)的分布函数为Φ(2x+1)Φ(2y-1)可知X,Y必独立。style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]64.设{W(t),t∈T}是以σ2为参数的维纳过程,求下列过程的协方差函数:1)W(t)+At(A为常数);2)W(t)+Xt,X为与{W(t),t∈T}相互独立的标准正态变量;3)aW(t/a2),a为正常数。答案:因W(t)是维纳过程,故有μW(t)=E[W(t)]=0,CW(s,t)=E[W(s)W(t)]=σ2min{s,t},s,t≥01)记Z1(t)=W(t)+At,则有解析:[问答题]65.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,其密度函数为,则常数a=______。答案:style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">class="fr-ficfr-dii">解析:分析一:利用二维正态分布的标准形式对指数式配方,且该正态分布的相关系数ρ=0,即X,Y独立.由于2x2+y2+8x-4y+14=2(x+2)2+(y-2)2+2,从而style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]66.某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n次测量,该物体的质量μ是已知的,设n次测量结果X1,X2,…,Xn相互独立,且均服从正态分布N(μ,σ2),该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi=|Xi-μ|(i=1,2,…n),利用Z1,Z2,…,Zn估计σ。(Ⅰ)求Z1的概率密度;(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量;(Ⅲ)求σ的最大似然估计量。[数一2017研]答案:(Ⅰ)Z1,Z2,…,Zn独立同分布,则Z1的概率密度即为总体Z的概率密度,因为Xi~N(μ,σ2),所以Yi=Xi-μ~N(0,σ2),对应的概率密度为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]67.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,X的概率密度为,则λ的最大似然估计______。答案::style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:似然函数为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,等式两端取对数,lnL=-nln-nlnλ。令style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,解得style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">。[问答题]68.向平面区域D:0≤x≤2,0≤y≤4-x2内随机地投掷一点(X,Y),设A={X≤1},B={Y≤3}。(Ⅰ)求A,B恰好发生一个的概率;(Ⅱ)问A,B是否独立?并讨论X与Y的独立性。答案:由题意知,D的面积为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,故(X,Y)的概率密度函数为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,且style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]69.考试时有四道单项,每题附有四个答案,现随意选择每题的答案,那么至少答对一道题的概率α=______;已知答对某道题,那么确实知道解答该题的概率β=______。答案:0.68;0.8解析:记Ai=?第i道题选对,i=1,2,3,4?,则Ai相互独立,P(Ai)=1/4。style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]70.设总体X的概率密度为,其中参数λ(λ>0)未知,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求参数λ的矩估计量;(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量。答案:(Ⅰ)由style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]71.设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,其中参数σ2未知。,,,对假设H0:σ2=σ02,在μ已知时用χ2检验统计量为______;在μ未知时使用χ2检验统计量为______。答案:Q12/σ02;Q22/σ02解析:[问答题]72.假设总体X服从正态分布N(0,σ2),X1,X2,…,X2n是来自总体X容量为2n的一组简单随机样本,统计量,则当σ2已知,c=______时,Y服从χ2分布,其自由度为______;当σ2未知,c=______时,有E(Y)=σ2。答案:1/2σ2;n;1/2n解析:记Yi=X2i-X2i-1(i=1,2,…,n),则Yi~N(0,2σ2)且相互独立,故style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]73.设X~N(μ,σ2),证明:Y=aX+b(a≠0)也服从于正态分布。答案:由X~N(μ,σ2),可知其密度函数style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">设Y=aX+b(a≠0)的密度函数为fY(y),又y=g(x)=ax+b(a≠0)在(-∞,+∞)内单调、可导,则反函数为x=h(y)=(y-b)/a,且h′(y)=1/a。故fY(y)=fX[(y-b)/a]·|h′(y)|,-∞<y<+∞。即解析:[问答题]74.随机变量X、Y相互独立且同服从分布N(μ,σ2),Z=max(X,Y),证明。答案:由题意知,Z=max(X,Y)=1/2×(X+Y+|X-Y|),又X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2),且X与Y相互独立,则X-Y~N(0,2σ2),又解析:[问答题]75.假设随机变量X的密度函数(x∈R,b,c为常数)在x=1处取最大值,则概率P=______(Φ2)=0.9772)。答案:0.9544解析:由题设f(x)的形式知X是服从正态分布N(μ,σ2),即style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,且当x=μ时,f(x)取最大值style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">。已知x=1时f(x)取最大值f1),所以x=μ=1,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">⇒σ=1/21/2,则X~N(1,1/2)。所求的概率为:FX(x)=Φ(x),style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">。[问答题]76.平稳过程{X(t),-∞<t<+∞}的自相关函数为RX(τ)=4e-|τ|cosπτ+cos3πτ。求:1)X(t)的均方值;2)X(t)的谱密度。答案:1)由题设RX(τ)=4e-|τ|cosπτ+cos3πτ即得X(t)的均方值为ψ2=RX(0)=4+1=5。2)由维纳一辛钦公式,X(t)的谱密度可用傅里叶变换表示为解析:[问答题]77.设总体X服从正态分布N(0,22),而X1,X2,…,X15是来自总体X的简单随机样本,则随机变量服从______分布,参数为______。答案:F;(10,5)解析:统计量是分式表示形式,则考虑t分布和F分布.本题中分子分母均为总体X的样本个体平方和,这时根据三大分布的定义可以合理推测统计量是服从F分布的。因为Xi~N(0,22),i=1,2,…,15,将其标准化有(Xi-0)/2=Xi/2~N(0,1),从而根据χ2分布的定义得到(X1/2)2+…+(X10/2)2~χ2(10),(X11/2)2+…+(X15/2)2~χ2(5)。由样本的独立性可知,(X1/2)2+…+(X10/2)2与(X11/2)2+…+(X15/2)2相互独立。故根据F分布的定义style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]78.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为表3-10答案:0.4,0.1解析:利用二维离散型随机变量概率分布的性质style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,有0.4+a+b+0.1=1,可知a+b=0.5,又事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,于是由独立的定义有P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1},而P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a,P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=a+b=0.5。由边缘分布的定义:P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.4+a,代入独立等式,得a=0.5(0.4+a),解得a=0.4,b=0.1。[问答题]79.设X服从区间(-π/2,π/2)上的均匀分布,Y=sinX,则cov(X,Y)=______。[数一2020研]答案:2/π解析:style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]80.已知(X,Y)在以点(0,0),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,对(X,Y)作4次独立重复观察,观察值X+Y不超过1的出现次数为Z,则E(Z2)=______。答案:5解析:由题设知(X,Y)的密度函数为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,记A=?X+Y≤1?,则Z是4次独立重复试验事件A发生的次数,故Z~B(4,p)[问答题]81.设是假设检验中犯第一类错误的概率,为原假设,以下概率为的是A)B)答案:B解析:根据统计假设概念中的两类错误的性质得出B正确。[问答题]82.设随机变量X的概率密度为,令随机变量1)求Y的分布函数;2)求概率P{X≤Y}。[数一2013研]答案:1)先求常数a的取值:style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,从而a=9。设随机变量Y的分布函数为F(y),则当y<1时,F(y)=P(Y≤y)=0;当y≥2时,F(y)=P(Y≤y)=1;当1≤y<2时style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]83.设二维随机变量(X,Y)服从参数为0,0,σ12,σ22,ρ的二维正态分布,其中σ12≠σ22.若X1=Xcosα+Ysinα,Y1=-Xsinα+Ycosα,且α满足D(X1)≠0及D(Y1)≠0,证明:当tan2α=2ρσ1σ2/(σ12-σ22)时,X1与Y1相互独立。答案:由(X,Y)服从二位正态分布,X1、Y1是X、Y的线性函数,则有(X1,Y1)服从二维正态分布。style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]84.设随机变量X的概率密度为答案:2/3解析:首先求出EX和F(x)。[问答题]85.设随机变量X的概率密度为:答案:(Ⅰ)先求Y的分布函数:FY(y)=P(X2-2X-5≤y)=P[(X-1)2≤6+y]。当y<-6时,FY(y)=0;当-6≤y<-5时,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]86.假设总体X的概率密度为答案:(Ⅰ)记样本的似然函数为L(μ),对于总体X的样本值x1,x2,…,xn,其似然函数style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]87.为了研究某种金属管防腐蚀的功能,考虑了4种不同的涂料涂层,将金属管埋设在3种不同性质的土壤中,经历了一定时间,测得金属管腐蚀的最大深度如表9-16所示(以mm计):表9-16答案:本题是双因素无交叉作用的方差分析问题,需要在显著性水平α=0.05下,检验假设H01:α1=α2=α3=α4=0,H11:α1,α2,α3,α4不全为0,H02:β1=β2=β3=β4=0,H12:β1,β2,β3,β4不全为0。由已知得r=4,s=3,n=3×4=12,T1.=4.25,T2.=3.86,T3.=3.6,T4.=3.71,T.1=5.46,T.2=4.88,T.3=5.08,T..=15.42。解析:[问答题]88.10个同规格的零件中混入3个次品,现进行逐个检查,则查完5个零件时正好查出3个次品的概率为______。答案:1/20解析:解法一记A=?查完5个零件正好查出3个次品?,现要求P(A)的值,其实事件A由两件事合成:B=?前4次检查,查出2个次品?和C=?第5次检查,查出的零件为次品?,即A=BC,由乘法公式P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B)事件B是前4次检查中有2个正品2个次品所组合,故style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">。已知B发生的条件下,也就是已检查了2正2次,剩下6个零件,其中5正1次,再要抽检一个恰是次品的概率P(C|B)=1/6,总之P(A)=(3/10)·(1/6)=1/20。解法二本题也可以用古典型概率计算P(A),事实上,将10个零件任意排成一行,每一种排列视为10个零件的一种检查顺序,总数为10!,事件A等价于在3个次品中选一个放在第5位C31,在7个正品中选出两个C72和剩余的两个次品在前4位中排列A44,再用剩余的5个正品在后5位中排列组合A55,所以style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">。[问答题]89.设二维连续型随机变量的联合概率密度为(Ⅰ)求在X=x为已知时,关于Y的条件分布函数;(Ⅱ)确定a的值,使P{Y≤a|X=0.5}=8/15。答案:f(x,y)在图3-4中阴影部分D={(x,y)|x2≤y≤1}上不为零。style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]90.从1,2,…,N(N>3),这N个数中任取三个数,记这三个数中中间大小的数为X,则随机变量X的分布律P{X=k}=______。答案:[(N-k)(k-1)]/CN3,k=2,…,(N-1)解析:设中间数X=k,则大的一个数只能在k+1,k+2,…,N中取,而小的一个数只能在1,2,…,k-1中取,(2≤k≤N-1)总共有(N-k)(k-1)种取法,而任取三个数的取法总数为CN3,所以,最后结果为[(N-k)(k-1)]/CN3,k=2,…,(N-1)。[问答题]91.已知,P{Y=-1/2}=1,又n维向量α1,α2,α3线性无关,则α1+α2,α2+2α3,Xα3+Yα1线性相关的概率为=______。答案:3/4解析:由于α1,α2,α3线性无关,所以?α1+α2,α2+2α3,Xα3+Yα1线性相关?⇔?style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">?,故所求的概率为:P{X+2Y=0}=P{X+2Y=0,Y=-1/2}+P{X+2Y=0,Y≠-1/2}=P{X=1,Y=-1/2}=P{X=1}=3/4[问答题]92.设(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ22;0),其分布函数为F(x,y),已知F(μ1,y)=1/4,则y=______。答案:μ2解析:由于(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ22;0),所以X,Y相互独立,F(x,y)=FX(x)FY(y),X~N(μ1,σ12),Y~(μ2,σ22)。由正态分布密度函数对称性知FX(μ1)=P{X≤μ1}=1/2,则F(x,y)=F(μ1,y)=FX(μ1)FY(y)=FY(y)/2=1