信号与系统(上册)

第三章时域连续信号的复频域分析3.1引言3.2拉普拉斯变换3.3拉普拉斯变换的基本性质3.4拉普拉斯反变换3.5拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系3.6小结3.7练习题13.1引言时域连续信号的频域分析，揭示了信号的内在频率特性，是信号分析的重要方法，在分析信号谐波分量、波形失真等问题时，有其独到之处，但频率分析也存在不足。其一，某些信号不存在Fourier变换，因此无法利用频域分析法；其二，对一些不满足绝对可积条件的常用信号如等，虽然其Fourier变换存在，但带有冲激项处理时不方便；其三，频域分析法中，Fourier反变换一般较为复杂。为此，本章介绍另一种时域连续信号的分析方法—复频域分析法。

Laplace变换可理解为一种广义的Fourier变换，Laplace变换具有对信号要求不高，反变换方法相对简单等特点。23.2拉普拉斯变换3.2.1拉普拉斯变换的定义3.2.2拉普拉斯变换的收敛域3.3.3常用信号的Laplace变换33.2.1拉普拉斯变换的定义令，其中为常数称为双边拉普拉斯变换对或复傅里叶变换对

43.2.1拉普拉斯变换的定义

令信号起始时刻为零，并考虑信号到在时刻可能包含有冲激函数及其导数项，取积分下限为，则称为单边拉普拉斯变换对。通常用下列符号分别表示，即

53.2.1拉普拉斯变换的定义复变函数称为的象函数，时间函数称为的原函数。63.2.2拉普拉斯变换的收敛域Laplace变换存在的条件，可表示为：单边Laplace变换收敛域

73.2.2拉普拉斯变换的收敛域

例3-1求函数的Laplace变换的收敛域。解：无论取何值，被积函数均收敛。故其收敛域为整个平面，即。

一般而言，凡是定义在有限区间上的能量信号，不管取何值，都能使信号的Laplace变换存在，其收敛域为整个平面。83.2.2拉普拉斯变换的收敛域例3-2

求函数的Laplace变换的收敛域。解：当时，，故收敛域为平面的区域，即右半平面。一般而言，如果信号是等幅信号或等幅振荡信号，如阶跃信号、正弦信号，只要乘以衰减因子就可以使之收敛，因此其收敛域为右半平面。

93.2.2拉普拉斯变换的收敛域例3-3求函数的Laplace变换的收敛域。

解：当时，故收敛域为s平面的区域，即右半平面。一般而言，对于任何随时间成正比的t的正幂次信号，其增长速度比指数信号要慢得多，对其乘以衰减因子也可收敛，因此其收敛域也是s右半平面。103.2.2拉普拉斯变换的收敛域例3-4

求函数的Laplace变换的收敛域。解：当时，故收敛域为s平面的区域，或表示为的区域。一般而言，对于指数信号，在s平面的区域可收敛。而对于一些比指数阶函数增长快的非指数阶函数，如，信号，不存在相应的衰减因子，故其Laplace变换不存在。113.2.3常用信号的Laplace变换1.单位冲激信号，即

123.2.3常用信号的Laplace变换2.单位阶跃信号

，即

133.2.3常用信号的Laplace变换3.指数衰减信号

即

143.2.3常用信号的Laplace变换序号单边信号Laplace变换收敛域1123456153.2.3常用信号的Laplace变换序号单边信号Laplace变换收敛域789101112163.3拉普拉斯变换的基本性质3.3.1线性3.3.2尺度变换3.3.3时移特性

3.3.4复频移特性3.3.5时域卷积定理3.3.6复频域卷积定理3.3.7时域微分特性3.3.8时域积分特性3.3.9复频域微分特性3.3.10复频域积分特性3.3.11初值定理3.3.12终值定理173.3.1线性若且有常数，，则，183.3.1线性例3-6求正弦型信号，的Laplace变换。解：由于

根据线性性质，得

即

193.3.2尺度变换若则

是为了保证仍为因果信号

203.3.2尺度变换例3-7求正弦信号的Laplace变换。解：由于

根据尺度变换性质，得213.3.3时移特性若则

延时信号是指因果信号延时后的信号，而并非且有实常数，，则223.3.3时移特性例3-8求矩形脉冲函数的象函数

解：由于

根据线性和时移特性

，得=是定义在有限区间上的能量信号，其收敛域为整个s平面，即233.3.3时移特性例3-9求在时接入的周期性单位冲激序列的象函数

解：根据线性和时移特性，得这是等比级数。当时，该级数收敛。由等比级数求和公式可得

243.3.4复频移特性若且有复常数，则

253.3.4复频移特性例3-10求衰减的正弦函数和衰减的余弦函数的象函数。解：因为由复频移性质，得

同理，263.3.5时域卷积定理若则

其收敛域至少是收敛域与收敛域的公共部分273.3.5时域卷积定理例3-12已知，，求的Laplace变换解：先求出两信号的Laplace变换，根据时域卷积定理283.3.6复频域卷积定理若则

293.3.7时域微分特性若则

其收敛域至少是303.3.7时域微分特性例3-13若已知的象函数，求的象函数。解：即取Laplace变换，利用微分特性并考虑到，得313.3.8时域积分特性若则式中，表示从到对的重积分323.3.8时域积分特性若表示从到对的重积分，则有式中，，收敛域至少是和的公共部分333.3.8时域积分特性下图画出了和它们的导数的波形。343.3.8时域积分特性对于(单边)Laplace变换，由于，故二者象函数相同，即虽然，但由于，因而对于，由于，故对于，由于，故

==353.3.8时域积分特性3.虽然和的一阶导数，但由于，，因而363.3.8时域积分特性例3-14求下图所示函数的Laplace变换（a）（b）373.3.8时域积分特性解：图(a)所示的三角波信号表达式为的波形求图(b)所示，还可表示为383.3.8时域积分特性由时移性质和线性性质得由图(b)可知是因果信号，再由时域积分性质可得393.3.9复频域微分特性若则403.3.10复频域积分特性若则例3-16求的Laplace变换解：因为

所以413.3.11初值定理若信号不包含冲激函数及其各阶导数，且

则423.3.12终值定理若信号在时极限存在，且则例3-18函数的象函数为求原函数的初值和终值433.3.12终值定理解：由初值定理，得由的原函数，不包含冲激函数及其各阶导数，所以无论取何值，以上结果都是正确的。由终值定理，得443.3.12终值定理对于，的收敛域分别为和，显然在收敛域内，因而时结果正确；而对于，的收敛域为，不在收敛域内，因而时结果不正确。453.3.12终值定理例3-19

函数的象函数为求原函数的初值和终值。解：由初值定理，得由于在s平面的右半平面有极点，故不存在。

463.4拉普拉斯反变换3.4.1查表法

3.4.2部分分式展开法

473.4.1查表法序号1123456483.4.1查表法789101112131415493.4.1查表法例3-20已知

求的原函数。解：可以表示为由表查得编号为15的象函数与本例中的形式相同。503.4.1查表法与本例中的表达式对比，则，代入变换对得或写成

513.4.2部分分式展开法如果象函数是s的有理分式，它可写为各系数均为实数，为简便且不失一般性，设。若，可用多项式除法将象函数分解为有理多项式与有理真分式之和，即的幂次小于的幂次。523.4.2部分分式展开法例如