嵌套函数的零点问题（原卷版）

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.类型一嵌套函数零点个数的判断【典例1】已知函数，则函数的零点个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【解题指导】令→→作函数与图象→两个交点的横坐标为→、判断的零点个数.【解析】令，则，作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，∴.当时，有，即有一解；当时，有三个解，∴综上，共有4个解，即有4个零点，故选A【方法总结】1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图象与性质．【针对训练】（2022·长春市实验中学高三模拟）已知，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是()A．3 B．5 C．7 D．8【答案】B【分析】函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）=和f（x）=1的根，画出函数f（x）=的图象，数形结合可得答案．【详解】函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）=和f（x）=1的根，函数f（x）=的图象如下图所示：由图可得方程f（x）=和f（x）=1共有5个根，即函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1有5个零点，故选B．类型二已知嵌套函数的零点个数求参数【例2】函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围____．【解题指导】设t＝f(x)→令g(x)＝f(f(x))－a＝0→a＝f(t)→作y＝a，y＝f(t)的图像根据a的范围分类讨论y＝a，y＝f(t)的交点个数【解析】设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图像：①当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图像有两个交点，设交点的横坐标为，(不妨设＞)，则＜－1，≥－1．当＜－1时，＝f(x)有一解；当≥－1时，＝f(x)有两解，∴此时g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，满足题意；②当a＜－1时，y＝a与y＝f(t)的图像有一个交点．设交点的横坐标为，令得t＝，∴，此时＝f(x)有一个解，不满足题意；综上所述，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．【方法总结】(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．【针对训练】已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出的函数图象如下：设，则当或时，方程只有1解，当时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．∵关于的函数有6个不同的零点，∴关于的方程在上有两解，∴，解得．1．（2023春·浙江温州·高二温州中学校联考期末）已知函数有三个不同的零点（其中），则（

）A．1 B．4 C．16 D．642．（2023秋·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为A． B． C． D．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（

）A．1 B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为A． B． C．-1 D．16．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．97．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（

）A．1 B．3 C．4 D．98．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且则的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-99．（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．3610．（2023·陕西·统考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（

）A．3 B．4 C．9 D．1611．（2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考开学考试）关于的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为（

）A． B． C． D．12．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．13．（2023·山西阳泉·统考三模）关于x的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为A．e B．1 C． D．14．（多选题）（2023秋·山东临沂·