3-1机械工程控制基础第三章系统的数学模型

第三章系统的数学模型许多动态系统，不管它们是机械的、

电气的、

热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等，都可以用微分方程加以描述

.如果对这些微分方

程求解，就可以获得动态系统对输入量(或称作用

函数)的响应.

系统的微分方程，可以通过支配着

具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿

定律，电系统中的基尔霍夫定律等获得.·

研究和分析一个系统，不仅要定性地了解系统的

工作原理及其特性，而且更要定量地描述系统的

动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之

间的关系。

这就是要求建立系统的数学模型·

无论是机械、电气、流体系统，还是热力系统或

其他系统，一般都可以用微分方程这一数学模型

加以描述。将系统的微分方程转化为系统的传递

函数形式或状态空间形式的数学模型，极有利于

系统的分析、综合和识别。·

微分方程是在时域中分析描述系统动态特性的数学模型。·

数学模型：

系统动态特性的数学表达式、叫做数学模型

.要分析动态系统，首先应

推导它的数学模型

.

我们必须牢牢记住，

推导一个合理的数学模型，是整个分析过

程中最重要的事情.内容提要第

一

节引言第二节系统的微分方程第三节系统的传递函数第四节系统的传递函数方框图及其简化第五节反馈控制系统的传递函数

第六节相似原理本章重点系统微分方程的列写传递函数的概念、特点及求法

典型环节的传递函数传递函数方框图的绘制及简化本章难点系统微分方程的列写传递函数方框图的绘制及简化时

域

数

学

模

型

：

微

分

方

程

(

连

续

系

统

)差

分

方

程

(

离

散

系

统

)

状

态

方

程复

域

数

学

模

型

：

传

递

函

数

(

连

续

系

统

)脉

冲

传

递

函

数

(

离

散

系

统

)频

域

数

学

模

型

：

频

率

特

性数

学

建

模

的

一

般

方

法

：1.分

析

法

：根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法。2.

实

验

法

：根

据

实

验

数

据

进

行

整

理

，

并

拟

合

出

比

较

接

近

实

际

的

数

学

模

型。第1节

引

言数

学

模

型

：

描

述

系

统

特

性

，

揭

示

变

量

间

的

关

系分析法：

根据系统和元件所遵循的有关定律来推

导出数学表达式，从而建立数学模型。·

例如：建立电网的数学模型

欧姆定律、基尔

霍夫定律；建立机械系统的数学模型

牛顿定

律、虎克定律；建立电动机的定律就要用到上述

几个定律；建立流体系统的数学模型还需要应用

流体力学的第一、第二等定律。实验法：

根据实验数据，进行归纳整理，并拟合

出比较接近实际的数学模型。

合理的数学模型是指它具有最简化的形式，但又

能正确地反映所描述系统的特性。●线性系统与非线性系统：

能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为非线性系统。线性定常系统：

x。(1)+3x。(1)+7x。(1)=4x,(1)+5x,(4)线性时变系统：

x。(t)+3x。(1)+7x,(1)=4r²x(1)+5x(t)非线性系统：

x,(t)+3x,x。(1)+7x,(1)=4tx;(1)+5x,(1)X

系统

XX2

系统

X2αx

αt±

2R₂

(b)系统(a)线性系统的叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出等于各个输入单独作用而产

生的输出之和。·

线性系统可以用叠加原理：将每个输入量的结果叠加得到系统的总输出。·

非线性系统不能应用叠加原理：局部线性化2.2

.3

线性系统的重要特性

(1)可叠加性u

₁(t)+

系统

y₁(t)

u2(1)+系统对同时作用的多个输入信号的响应等于

它对单独作用的各个输入信号的响应的丞加。十

系统

9iy(t)+92V2

系统

y2(t)(2)齐次性(均匀性)9242(t)十qiu1(t)

·

系统的微分方程是在时域内用来描述系统、

输入和输出三者之间动态关系的数学模型。若能对系统的微分方程求解，则可得到系

统的输出随时间而变化的动态过程。·2.2.1

列写微分方程的一般方法·

2.2.2

微分方程的增量化表示·

2.2.3

非线性微分方程线性化第2节系统的微分方程3.2.1

列写微分方程的一般方法·

列写系统或元件微分方程的一般步骤为：·

(1)根据研究问题需要，确定系统或元件的输入量和输出量；·

(2)按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关定律分方程；列写

出各个环节的动态微分方程；·

(3)消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程

式；·

(4)将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的

左边，并且各阶导数项按降幂排列。(5)实验验证。a,x"(t)+a-x

。-

1(t)+.+ax,(t)+ax,(t)=b

…x;)(t)+bmx(-(t)+.+b,x,(t)+b,x;(t)机械系统中部件的运动，有直

线运动、转动或二者兼有，列

写机械系统的微分方程常用达朗贝尔原理和牛顿第二定律。

达朗贝尔原理：

作用于每一个

质点上的合力，同质点惯性力

形成平衡力系，用公式可表达

为：牛顿第二定律：

物体的加速度与其所受的合外力成正比，与

其质量成反比，而且加速度与

合外力的方向相同，可用公式

表示为：1.机械系统-mxr(t)+2f(t)=0图2.1.1

两级RC

滤波网络机

械

系

统

：质量元件：弹性元件：:阻

尼

元

件

：电

网

络

：容性元件：感性元件：

阻性元件：3.2.2系统的微分方程典型的物理定律CoV1F=bv₂V2O—i例1

列写如图所示机械系统的微分方程。1.明确系统的输入与输出：输入为f(t),

输出为x(t)2.列写原始微分方程：f-kx-cx'=mx'3.整理：mx'+cx+kx

=fkxmCXf液面系统=稳态流量(任何变化发生以前的流量)qi=

输入流量对它的稳态值的微小变化q₀=

输出流量对它的稳态值的微小变化H=

稳态水头(任何变化发生以前的水头)h

=水头对它的稳态值的微小变化被

贮

存

的

液

体

的

变

化C

=水

头

的

变

化C

dh=(q:--qo)dtR

例2:电网络系统：·

机械系统不仅常常与液压、气动等系统紧

密结合，而且与电系统也常常是密不可分

的。在解决机械工程中的控制问题时往往

需应用电网络分析的基本理论。

电网络分

析基础主要是根据基尔霍夫电流定律和基

尔霍夫电压定律，写出微分方程式，进而

建立系统的数学模型。例

3

列

写

如

图

所

示

电

网

络

的

微

分

方

程

。1.

明

确

系

统

的

输

入

与

输

出

：输

入

为u(t),

输

出

为

电

容

器

的

电

量

；2.

列

写

原

始

微

分

方

程

：3.

消

除

中

间

变

量

，

并

整

理

：例

4

列写如图所示电网络的微分方程。1.

明

确

系

统

的

输

入

与

输

出

：输

入

为u,

输

出

为u₂2.

列

写

原

始

微

分

方

程

：3.

消

除

中

间

变

量

，

并

整

理

：—O·

不考虑负载效应，

RC

网络方程独立列写如下：所得方程不能正确反映物理问题，因而方程有误。消去中间变量：1.明确系统的输入与输出：输入量为u

和M,,

输出量为a2.列写原始微分方程：例5:直流电动机

La

电

动

机

a.

3.

消

除

中

间

变

量

，

并

整

理

：

令

ea

=kaM=k,iML3.2.3

小偏差线性化原理实际系统的组成元件，其输入输出特性总是

不同程度地存在着非线性关系。为了讨论方便，

在有可能的条件下，

一般希望将非线性关系简化

为线性关系。如果非线性成都很小，则可忽略非

线性因素的影响。如果非线性特性是可导的连续

函数关系，即是非本质非线性特性，则可应用小

偏差差将其线性化。由于非线性理论分析方法不成熟，往往只能

在一

定条件下将非线性系统简化为线性系统.原理：系统在某平衡点附近偏差很小，因此只要在预定工作点处有导数或偏导数，则可按Taylor级数展开，当偏差很小时，可以忽略高次项，只剩下一次项，最后获得以此偏差为变量的线性函数.q为负载流量；

p

为负载压降

(p=p1-p2);x,y

分别为阀芯的位移和活塞的位移；

A

为活塞面积；

c为粘性阻尼系数。液压伺服机构图2.

1.4

q,p,x

三者线性关系·

(1)必须明确系统的工作点·

(2)变量偏离预定工作点很小；·

(3)正确区别本质非线性和非本质非线性；(4)线性化后的微分方程是以增量为基础的增量

方程。·

作小偏差线性化时应注意：·

增量化方程和原方程形式上是一样的，

不同的在于增量化方程的变量是以平衡状态

为基础的增量，即把各变量的坐标零点放

在原平衡点上。·

这样，在求解增量化表示的方程时，就可以把某些初始条件变为零，这无疑对研究

问题带来了许多方便。因此控制系统的微

分方程一般都用增量化方程来表示。·

若电动机工作过程中ML=

常量，则增量化方程化为：即转速变化只与电枢电压有关。习惯上通常写成：·

若电动机工作过程中ua=常量，则增量化方程化转

速变化只与负载力矩有关，即依据以上两个公式，可以分别研究转速

随电枢电压(输入电压)的变化关系，或转

速随负载力矩的变化关系。非线性方程线性化的条件：1.非线性函数是连续函数(即非线性不是本质非线性)。2.系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小。非线性方程线性化的方法：1.确定预定工作点。2.在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。3.忽略高于一阶项。4.表示成增量方程的形式。q为负载流量；

p

为负载压降

(p=p1-p2);x,y

分别为阀芯的位移和活塞的位移；

A

为活塞面积；

c为粘性阻尼系数。液压伺服机构1

)

明

确

系

统

的

输

入

与

输出

：

输

入

为x,

输

出

为y。2

)

列

写

原

始

微

分

方

程负载m

的动力学方程：

mj

+

cy

=

Ap流量连续性方程：

q

=

Ay流量q

、压

力p

以及阀芯位移x是非线性关系：

q

=q(x,p)3)非线性函数线性化：(1)确定系统预定工作点：设为(xo,Po,qo),称为流量增益，表示因阀芯位移引起的流量变化。,称为流量一压力系数，

它表示因压力变化引起的流量变化·

(2)展开成Taylor级数形式：

K。,K。的值可以通过对压力一流量一阀位移的曲线方程求导得到。或者通过对这些曲线在工作点处作切线，求其斜率而得到。若系统在预定工作条件

q(x₀

,P₀)=

0,x₀=0,Do=0下工作，b.取坐标原点为工作点，略去增量符号：(增量化形式)(3)表示成增量化形式：a.假定偏差很小，略去偏差的高阶项，并取增量关系：

(4)

代

入

质

方

程

组

熬

理

得

-·

作小偏差线性化时要注意几点：(1)必须明确系统的工作点，因为不同的工作点所得线性化

方程的系数不同；(2)如果变量在较大的范围内变化，则用这种线性化方法建

立的数学模型，除工作点外的其他工况势必有较大的误差。

所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预计工作

点很小；(3)如果非线性函数是不连续的，不连续点不能得到收敛的

泰勒级数，这时就不能线性化；这类非线性称为本质非线

性；(4)线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程·

小偏差法线性化的原理就是：

当系统的工作状态

偏离其平衡状态的偏差足够小时，系统中的非本

质非线性函数关系，可在变量的工作点附近按泰

勒公式展开，并只保留至增量的一次项，从而将

非线性函数关系在工作点附近的小范围内近似化

为线性函数关系。·应用小偏差法将实际系统中的非线性因素线性化

后，所建立的微分方程的变量，

是相对于工作点

的增量。这种变量是增量的微分方程，应该称为

增量微分方程。·3.3.1

传递函数基本概念·3.3.2

传递函数的零点、极点和放大系数·3.3.3

典型环节传递函数3.3系统的传递函数3.3.1

传递函数基本概念·对于线性定常系统，传递函数是一种常用的数学模型。·

定义：在零初始条件下，系统输出的LapIace变换与引起a,x。”(t)+a-

1x。-"(1)+

…+ax。(t)+a,x。(t)=bx*(t)+bm-x;*-

1(t)+

…+b,x(t)+bx₁(t)则，系统以xo(t)为输出、x;(t)为输入的传递函数可表示成；Y(S)G(S)(2.2.1)(2.2.2)该输出的输入量的LapIace变换之比。若线性定常系统输入x;(t)与输出x。(t)之间关系的微分方程为(n≥m)x(S)·

传递函数具有以下特点：·

(1)传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所

决定的系统的固有特性，而分子则反映了系统与外界之间的联系。·

(2)当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，

系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。

但是，

一旦系统的初始状态不为零，则传递函数

不能完全反映系统的动态历程。·

(3)传递函数分子中的阶次不会大于分母的阶次。

·

(4)传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。·

(5)不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。

(6)传递函数非常适用于对单输人、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出

系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函

数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出

量的数学关系(描述系统的外部特性),而未表示系统

中间变量之间的关系(描述系统的内部特性)。针对这

个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间

描述法对系统的动态特性进行描述。·

(7)传递函数的零极点分布决定系统的响应过渡过程。1.

确

定

系

统

的

输

入

与

输

出

：

输

入

为

，

输

出

为u₂2.

列

写

原

始

微

分

方

程

：4.消除中间变量，并整理：

[R₁C,R₂C₂s²+(R,C₁+R₂C₂+R₁C₂)s+1]U₂=U,·

典型函数的传递函数-RC网络3.

在

零

初

始

条

件

下

，

进

行Laplace

变

换

；Y(s)=G₂(s)

·U(s)对输出量的拉氏支换式进行拉氏逆变换y(t)=L²[Y(s)]=L'[G(s)

·U(s)]1传递函数列写的大致步骤：方法一(1)列写系统的微分方程(2)在零初始条件下取拉氏变换(3)求输出与输入拉氏变换之比方法二(1)列写系统中各变量间的关系式(2)在零初始条件下求拉氏变换(3)

消去中间变量，求输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。K[X(s)-Z(s)]=Bs[Z(s)-Y(s)](ms²+k₂)Y(s)=Bs[Z(s)-Y(s)]力平衡关系

A(x-z)=B(z-j)My+k₂y=B(z-j)K(x-z)PB(z-j)MkyB(z-y)Mj例：K[X(s)-Z(s)]=Bs[Z(s)-Y(s)](ms²+k₂)Y(s)=Bs[Z(s)-Y(s)]k₁(x-z)pB(z-j)MkyB(z-y)Mj例：相似原理相似系统：能用相同形式的数学模型表示的系统，称为相似系统。相

似

量

：

在相似系统的数学模型中，

占据相同位置的物理量。diL

+dtd²iL

+Rdt²dVdt1

Ri++

二i=dt

Cdi

1=VidtC●零点：

影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统的稳定性。极点：

P,P₂,P

决定系统瞬态响应的收敛性，即影响系统的稳定性。放大系数(增益):

决定系统的稳态输出值。当s=z,(j=1,2,.,m)

时，G(s):=0,故称，2,…,为G(s)的零点。当s=P,(j=1,2...,n)

时，

,故称p₁,P₂,.,P,

为G(s)的极点。3.3.2

传递函数的零点、极点和放大系数所以，对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点和放大系数的研究。·

将传递函数的零、极

点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。

图中，零点用“O”

表示，极点用“×”表示。传递函数的一般表达形式：3.3.4

典型环节传递函数控制系统通常由若干个基本部件组合而成，这些基本部件称为典型环节。·1.比例环节：具有比例运算关系的元部件称为比例环节。动力学方程：

x,(1)=

Kx,(t)传递函数：

G(s)=

K

方

块

图

为

：特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。例：·

首先，建立微分方程。由于运算放大器的输入阻抗很高，所以运算放大器的输入电流ig可以忽略不计，根据基尔霍

夫电流定律，有i=i+i

g=l

·

由于运算放大器的增益很高(10⁶

~10°),所以运算放大器的输入电压U

可以忽略不计。因此，上式可得·

然后对该式进行拉氏变换，可得再根据传递函数的定义，

即得上右式。再根据传递函数的定义，即得：其它一些比例环节u(t)

+角位移基测速发电机⑩ma2.惯性环节●

定义：惯性环节的微分方程是一阶的，且输出响应需要一定

的时间才能达到稳态值，故称为一阶惯性环节。特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的

输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。运动方程为：传递函数为：方块图为：其中，

T----惯性环节的时间常数。特

点

：存在储能元件和耗能元件在阶跃输入下

，

输出不能立即达到稳态值

。2.

惯

性

环

节

：动力学方程为：x

。(t)C图2

.

2

.

6

弹簧

-

阻尼系统传递函数为：1Ts+i例

：X

。(s)X;(s)xi(t)k其它一些惯性环节1F(s)BJs+

1

BBJv(t)M1BJs+1B1Ls+1RΩ(s)V(s)C(s)T(s)R(s)T(t)f(t)B3.微分环节定义：符合微分运算关系的环节称为微分环节。特点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。方块图为：

运动方程为：

传递函数为：其中，

T--

微分环节的时间常数，表示微分速率的大小。动力学方程：

x

。(t)=Tx/(t)传递函数：

G(s)=

Ts特

点

：一般不能单独存在；反映输入的变化趋势；增加系统的阻尼；强化噪声。u

。=-R,C

u'图2.2.9

机械-液压阻尼器X;(s)TsX

。(s)(s)=sθ(s)所以，若考虑电压与转角的关系，测速发电机就成为微分环节，有在测速发电机中，其输出电压为U,=K。@因为故，有其他微分环节4.一

阶微分环节庭义：符合一阶微分运算关系的环节称为一阶微分环节。特点：此环节的输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入量的变化率有关。方块图为：运动方程：传送函数：R(s)Ts+1G(s)=ts+1C(s)一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数是惯性环节的倒数。图示系统的输入为u(t),

输出为i(t),

则RC=T传递函数：

R=1Ω5.二阶微分环节特点：输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关。R(S)

C(s)方块图为：

N²+2s+1运动方程：

传递函数：

可以看出，二阶微分环节的传递函数是振荡环节的

倒

粉微分环节的控制作用(1)使输出提前(2)增加系统阻尼(3)强化噪声···X;(s)十X(s)+(b)图2.2.12

微分环节增加系统阻尼图2.2.10

斜坡函数输入、输出图2.2.11

微分环节控制作用示意图Ks(Ts+1)Ks(Ts+1)Kp(Tas+1)X。(s)X。(s)Kp(b)(a)(a)6.积

分

环

节定义：符合积分运算关系的环节称为积分环节。特点：动态过程中，输出量的变化速度和输入量成正比方块图为：运动方程：

传递函数：其

中

，K=1/T,T

为积分环节的时间常数，表示积分的快慢程度。特点：输出累加特性；输出的滞后作用；记忆功能。例

：动力学方程：传递函数：X。(s)X;(s)k=-

1/RC1Ts当输入量为u()时，输出量为u。()时，

有微分方程：则传递函数7.振荡环节特点：振荡环节是由二阶微分方程描述的系统。包含两个独

立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能

量进行交换，使输出带有振荡的性质。方块图为：运动方程为：传递函数为：其中，

T

和ζ是系统的特征参数二阶振荡环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，

两种储能元件的能量相互交换。系统的微分方程为：消去中间变量i(t)得到运动方程：传递函数：例

机械装置·

输入：外力f(t);输出：位移x(t)·

微

分方

程

：式中：

K——

弹簧弹性系数M——

物体的质量

B——粘性摩擦系数传递函数：ø,为无阻尼固有频率，与为阻尼比，图2.2.18

旋转运动的J-c-k

系统5.

振

荡

环

节

：(

0

≤

5

<

1

)

或为

时

间常

数ø,为无阻尼固有频率，与为阻尼比，

为时间常数特点：(1)0≤5<1

时，输出存在振荡

且与越小，振荡越剧烈(2)

5≥1

时，输出无振荡，非振荡环节，

是两个一阶惯性环节的组合al例：方块图为：

R(S)

S

Cse)运动方程为：

u.(t)=u,(t-t)传递函数为：

U。(s)=e

×U₁(s)G()=

e8.延迟环节定义：具有纯时间延迟传递关系的环节称为延迟环节。特点：它的输出信号和输入信号的波形完全相同，只

是输出量相对输入量有一段时间上的滞后。讨论：延时环节与惯性环节的不同。延时环节与死区的不同。图2.2.22

轧钢时带钢厚度检测示意图图2.2.21

延时环节输人、输出关系惯性环节与延迟环节的区别：惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；延迟环节从输入开始后在0～

t时间内没有

输出，但t=t之后，输出完全等于输入。0

Tx。(t)=x;(t-t)G(s)=e-s特点：

输出滞后于输入，但不失真。与惯性环节和比例环节的区别：延时环节：惯性环节比例环节写成一般形式x。(t)=x,(t-t)零初始条件下，拉氏变换为传递函数为X。(s)=e⁻”X,(s)例

带钢厚度检测环节△h.(t)=△h₄

(t-t)对于延迟时间很小的延迟环节，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，得：所以，延迟环节在一定条件下可近似为惯性环节延迟环节的传递函数1)传递函数框图中的环节是根据动力学方程来划分的，

一个环节并不一定代表一个物理元件(物理环节或子系统),一个物理元件(物理环节或

子系统)也不一定就是一个传递函数环节。(也许几个物理元件的特性才组成一个传递函数环节，也许一个物理元件的特性分散在几个传递函数环节中。)2)注意区别表示系统结构的物理框图和分析系统的传递函数框图。3)同一物理元件在不同系统中的作用不同时，其传递函数可以不同。(如：测速发电机：当输入为角速度时，是比例环节；当输入为角位移时，是微分环节。)4

)

同一个系统，当选取不同的输入量、输出量时，

就可能得到不同形

式的传递函数。例如电容：输入—

电流，输出—

电压，则是积分环节。输入—

电压，输出—

电流，则为微分环节。·

一、传递函数方框图·二、传递函数方框图的等效变换·三、传递函数方框图简化的一般步骤第4节系统的传递函数方框图及其简化3.4.1传递函数方框图·将组成系统的各个环节用传递函数方框图表示，并

将相应的变量按信息流向连接起来，就构成系统的

传递函数方框图。X(s)图2-35

分支点示意图

X;(s)

G()

Xo(s)方框图的结构要素：图2-34

相加点示意图图2-33

传递函数方框·

建立系统方框图的步骤如下：·

(1)建立系统(或元件)的原始微分方程；·

(2)对这些原始微分方程在初始状态为零的条件下

进行Laplace变换，并根据各个变换式的因果关系

分别绘出相应的方框图；·

(3)从系统的输入量与主反馈信号进行叠加的比较

环节开始，沿信号流动的方向，通过传递函数方

框将所有的中间变量之间的关系一一画出，直至

画出系统的输出量与主反馈信号。1.列写原始微分方程：Li

+i.R+e=,e=kJw

=M-MM=ki2.Laplace

变换：(Ls+R)I+Ea=UE₄=k,SJsQ=M-MM=kmI图2-39

直流电动机·

例

：JsQ=M-M,

M=k.I。图2-40

环节传递函数框图4.连接各图：

M(s)(s)

1

1.(s)

k

M(s)

0(s)Ls+R

+

JsE。(s)图2-41

系统传递函数框图13.绘制上述各式传递函数方框图：(Ls+R)I。+E,=U。·例：E,=k,Q3.4.2

传递函数方框图的等效变换·

等效变换：变换前后输入输出总的数学关系保持不变。图2-42

串联环节等效变换2.并联环节的等效规则：X;(s)

G₁(s)

X₁(s)

G₂(s)

X

。(s)

Gi(s)G₂(s)

X

。(s)

Gi±G2

X1.串联环节的等效规则：图2-43

并联环节等效变换等

效等效X;(s)X;·

3、方框图反馈连接及其变换准则3.

反

馈

连

接

及

其

等

效

规

则

：前

向

通

道

传

递

函

数

：G(s)

X。(s)/E(s)反

馈

通

道

传

递

函

数

：I(s)

=

B(s)/X。(s)开

环

传

递

函

数

：

Gx(s)=G(s)H(S)=B(s)/E(s)图

2

-

4

4

反

馈

环

节闭环传递函数

：

由图可知E(s)=X,(s)

干B(s)=X,(s)

干X。(s)H(s)X。(s)=G(s)E(s)=G(s)[X,(s)

于X,(s)H(s)I=G(s)X,(s)

千G(s)X。(s)H(s)由此可得：即

：·

几点说明：·

(

1

)

相

加

点B(s)

处符号不代表闭环系统的反馈

是正反馈还是负反馈；·

(2)闭环传递函数量纲取决于Xo(s)与Xi(s)的量

纲；·

(3)H(s)=1

时，称单位反馈，此时Ga(s)=G(s)/(1±G(s));·

(4)前向通道传函，反馈通道传函，开环传函

只是闭环系统中一部分环节或元件的传函，闭环

传函才是这个系统的传函。(b)图2

-

46

分

支

点

移

动

规

则4.分支点的移动规则：X₃(=X₁)G(s)X₃(=X₁)G(s)

X2X₁

分

支

点

前

移X₃(=X₂)分

支

点X2分

支

点

后

移

X

X₃(=X₂)G(s)G(s)G(s)X₁

(a)X2X1X2(a)相

加

点

前

移相

加

点相

加

点

后

移(b)图2-47

相加点移动规则5.

相

加

点

的

移

动

规

则

：X(s)X(s)X(s)X(s)注意：

分文点和相加点之间不能互相移动，

因为它们不等效。图2-48

相邻相加点移动规则7.相邻分支点的移动规则：X₁(s)土Ix₈(s)X₂(s)X₁(s)6.相邻相加点的移动规则：X₂(s)十X₄(s)X₄(s)士X₃(s)图2-49

相邻分支点移动规则X(s)Tx(s)X(s)X(s)三

、

传

递

函

数

方

框

图

简

化

的

一

般

步

骤·

(1)确定系统的输入量和输出量。如果作用在系统的

输入量有多个，则必须分别对每一个输入量(此时，

假设其他输入均为零),逐个进行方框图的简化，求

得各自的传递函数。对于具有多个输出量的情况，也要分别进行变换，求取各自的传递函数。·

(2)若方框图中有无交叉的多个回路，则根据环节串

联、并联和反馈连接的等效原则从里到外进行简化。·

(3)若方框图中有交叉的连接，则根据相加点、分

支点等移动规则消除交叉回路，然后按步骤2进行

简化。一般系统方框图简化方法：1.

画确系统的输入和输出。对于多输入多输出系统，针对每个输入及其引起的输出分别进行化简；2.

若系统传递函数方框图内园交又回路

则根据环节串联、并联和

反馈连接的等效原则从里到外进行简化；3.

若系统传递函数方框图内有交叉回路，则根据相加点、分支点等

移动规则消除交叉回路，然后按步骤2进行化简。Xi(S)。

十G十

十

+-

H₁H₂Xo(s)A十

Gi十H₁/G₃方

框

图

综

合

等

效

变

换

示

例

1

:将

A点

移至B

点Xi(s)十X₀

(s)十

G₂G₃G₁

1+H₂G₂G₃+H/G₃G₁G₂G₃1+H₂G₂G₃

十H1/G₃将G₂、G₃

及H₂点等按串联和反馈规则变换Xi(s)十Xi(s)十十

Xo(s)Xo(s)十

BABAXi(s)G₁G₂G₃1-G₁G₂H₁+G₂G₃H₂依据单位反馈联接等效变换规则

H(s)=1G₁G₂G₃1-G₁G₂H₁+G₂G₃H₂+G₁G₂G₃X₀(s)Xo(s)Xis.十

二者比较得如下公式：前向通道传递函数之积GI(

S

二

1+

∑每一反馈回路开环的传递函数之积系统的数学模型—传递函数方框图及简化简化公式求取：Xi(s)十十G₁X。(s)十十3-系统的数学模型—传递函数方框图及简化简化公式应用的前提条件：1)整个方框图只有一条前向通道；2)各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。若不满足以上两个前提条件，应先按等效规则

和移动规则进行简化。利用简化公式上述原则直接求取可得：本例特点：交叉反馈且具有多回路化简策略：先移动支点，然后采用串、并及反馈等综合方法。系统的数学模型—传递函数方框图及简化

方框图综合等效变换示例2:G4BG2十-₂+CXo(s)Xi(s)十₁H₁十

GH+系统的数学模型

传递函数方框图及简化

ABG₁

G2十-H₁

G₂CG₂

G₃

+G4X₀

(s)₂十

+

十

H₁

G₂Xi(s)(1)十+C十

Xo(s)Xi(s)+十

(2)HB+

系统的数学模型

传递函数方框图及简化

G₂G₃+G₄1+H₂(G₂G₃+G₄)H₁G₂G₂G₃+G₄Xi(s)十(3)Gi十

十

十-CX₀

(s)BG₂

G₃

+G4₂CX。(s)H₁G₂G₂G₃+G₄Xi(s)十十

十(4)H

Xi(s)十

G₁(G₂G₃+G₄)

C

十-

H₁G₂

G₂G₃+G₄Xi(s)

G;(G,G₂+G₄)

十

1+H₂(G₂G₃+G₄)-H₁G₁G₂

X。(s)

+

1+H₂(G₂G₃+G₄)

Xo(s)系统的数学模型

传递函数方框图及简化

(5)(6)Xi(s)

G₁(G₂G₃+G₄)1+(G₂G₃+G₄)(H₂+G₁)-H₁G₁G₂

Xo(s)系统的数学模型

传递函数方框图及简化

G₁(G₂G₃+G₄)1+(G₂G₃+G₄)(G₁+H₂)-G₁H₁G₂其实化简到第三步，就已经满足公式

的两个条件，可以利用公式求解啦!X。(s)

X;(s)化简后的系统传递函数为：G(s)=(7)二1Gs(s)R(s)F十Hs(s)(b)H₂(x)R(s)H₁(s)(a)图2

-

50

系

统

传

递

函

数

方

框

图

简

化

范

例·

例：1Gi(s)G₁(x)H₁(s)H₃(s)H₂(s)G₂(s)G₃(s)G₂(s)G₃(s)Gi(s)C(s)C(s)R()

G₁(s)1+G(3)H(s)C()Gj(s)G₁(3)H₃(s)(b)

(c)G₁(s)G₁()H₁(s)G₃(s)

C(s)

1+G₃(s)H₃(S)H₂(s)R()GG₂(s)G₂(s)·

例：(h)(a)E(s)G₁G₂G1-GiGgH₁+GGH₂B(s)G₁G₂Gs1-GGH1+GG₃H₂+G₁G₈Ga(e)H₂G₁E(s)GiG1-G₁G₂H₁XGaB(s)。。XiXXX已知系统的结构图，求系统的等效闭环传递函数及等效开环传递函数。□哈工大2001年研究生入学考试试题C(s)K

2

sTSK₁/s十十B

pB(s)/(Ts+1R(s)有2条前向通路，传递函数分别为P₁=tS

·

1/(Ts+1)

·

K₂/s

P₂=K/s

·

1/(Ts+1)

·

K₂/s△

1=1△2=1College

of

mechanical

&

electronic

e