2022-2023学年江西省上饶市秀才岭中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年江西省上饶市秀才岭中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致是（

）参考答案：C2.以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．则棱锥S—ABC的体积为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A．

B． C．

D．参考答案：C5.下列有关命题的叙述，错误的个数为①若pq为真命题，则pq为真命题。②“”是“”的充分不必要条件。③命题P：x∈Ｒ，使得x＋x-1<0，则p:x∈Ｒ，使得x＋x-1≥0。④命题“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则”。A.1

B.2C.3

D.4参考答案：B若pq为真命题，则至少有有一个为真，所以不一定为真，所以①错误。得或，所以“”是“”的充分不必要条件，②正确。根据特称命题的否定式全称命题知③正确。“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1且x2，则”，所以④错误，所以错误命题的个数为2个，选B.6.“且”是“”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件[]

C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件参考答案：【知识点】充分条件、必要条件.

A2D

解析：推不出，例如时，，也推不出，所以“且”是“”既非充分条件也非必要条件，所以选D【思路点拨】根据两条件的相互关系可判定它们非充分与非必要条件.7.函数f（x）=的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，从而得到答案A．解答：解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）=，==f（x），∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，∴f（x）→+∞．故可排除B；而A均满足以上分析．故选A．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．8.若，且，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，|PF|=m|PQ|，当m最小时，点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出F（0，1），Q（0，﹣1），过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α，则m=，当α最小时，m有最小值，设P（），然后求解a，c，即可求解椭圆的离心率、【解答】解：由已知，F（0，1），Q（0，﹣1），过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α，则m=，当α最小时，m有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P设P（），可得P（±2，1），所以|PQ|=2，|PF|=2，则|PF|+|PQ|=2a，∴a=，c=1，∴e==，故选：D．10.函数（）的图象的一条对称轴方程是A．

B.

C.

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.把1,2,…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格Tn，第一行是1,2,…,n.例如：.设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)=

．参考答案：

(34,95)12.设集合，则=_________.参考答案：略13.直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，则曲线：（为参数）的极坐标方程是_________.参考答案：先将曲线的参数方程化为直角坐标方程：，从而有，即.14.(几何证明选做题)如图，已知的直径，为上一点，且，过点的的切线交延长线于点，则________;参考答案：3略15.函数y=f（x）图象上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线的斜率分别是kM，kN，规定φ（M，N）=（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．①函数f（x）=x3+1图象上两点M与点N的横坐标分别为1和2，φ（M，N）=；②设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1?x2=1，则φ（M，N）的取值范围是．参考答案：,（0，）.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对于①，由y=x3+1，得y′=3x2，则kM=3，kN=12，则|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，则|MN|==5，即可求出φ（M，N）==；对于②，利用定义，再换元，即可得出结论．【解答】解：对于①，由y=x3+1，得y′=3x2，则kM=3，kN=12，则|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，则|MN|==5，φ（M，N）==；②曲线f（x）=x3+2，则f′（x）=3x2，设x1+x2=t（|t|＞2），则φ（M，N）===，∴0＜φ（M，N）＜．故答案为，（0，）．16.定义运算a※b为.如1※2=1，则函数※的值域为

▲

.参考答案：略17.若实数满足则的最大值是

．参考答案：1满足题中约束条件的可行域如图所示，要求的最大值即求t=x+2y>0的最大值，由t=x+2y，得，即求函数在y轴上的截距的最大值，数形结合可知当直线平行移动到点A（0，1）时，截距最大，此时tmax=2，因此zmax=log22=1.故答案为：1．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知，函数(Ⅰ)当a=2时,求f(x)=x使成立的x的集合;(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.参考答案：解：（1）当a=2时,，则方程f(x)=x即为

解方程得：

4分（2）（I）当a>0时,，作出其草图见右,易知有两个极值点借助于图像可知当时，函数在区间[1,2]上为增函数，此时当时,显然此时函数的最小值为当时，，此时在区间为增函数，在区间上为减函数，∴，又可得∴

12分则当时，，此时当时，，此时当时，,此时在区间为增函数，故(II)当时，，此时在区间也为增函数，故（III）当时，显然函数在区间为增函数，故19.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形，，，且侧面PAB是正三角形，平面平面ABCD，E是棱PA的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角的大小为．若存在，试求的值，若不存在，请说明理由．参考答案：取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H为原点，建立空间直角坐标系H－（如图）．则

………..2分（I）证明：∵,

………..4分∴，∴，即PD⊥AC.

………..6分

(II)假设在棱PA上存在一点E，不妨设=λ，则点E的坐标为，

………..8分∴设是平面EBD的法向量，则，不妨取，则得到平面EBD的一个法向量．

………..10分又面ABD的法向量可以是=(0,0,)，要使二面角E-BD-A的大小等于45°，则可解得，即=故在棱上存在点，当时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．……..12分

20.已知各项均为正数的数列{an}前n项和为sn，首项为a1，且an是和sn的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若an=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得，利用公式即可求得通项公式；（Ⅱ）bn=4﹣2n，利用等差数列求和公式即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意知，…当n=1时，；

…当n≥2时，，两式相减得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，整理得：，…∴数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列．，…（Ⅱ）由得bn=4﹣2n，…所以，，所以数列{bn}是以2为首项，﹣2为公差的等差数列，∴．…点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义及性质，考查等差数列求和公式及运用公式法求数列的通项公式，属于基础题．21.已知函数在处切线为.（1）求的解析式；（2）设，，，表示直线的斜率，求证：.参考答案：（1），，∴由得

………3分把代入得，即，∴∴.

………5分（2）『证法1』：证明：由（1）∴证明即证各项同除以，即证

………8分令，则，这样只需证明即设,,∵，∴，即在上是增函数∴，即

………10分设，∴在也是在增函数，即从而证明了成立，所以成立.

………12分『证法2』：证明：等价于即

…………8分先证，问题等价于，即设，则∴在上是增函数，∵，∴，∴，得证.

…………10分再证，问题等价于，即设，则∴在上是减函数，∵，∴，∴，得证.

综上，.

…………12分

略22.（本小题满分14分）如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，平面，，．(1)求证：平面平面；(2)若二面角为直二面角，求直线与平面所成的角的正弦值．参考答案：（1）矩形中，--------1分平面，平面,平面，-2分同理平面,-------3分又u平面∥平面------4分（2）取的中点.由于面,∥,又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，