2022年山西省太原市第五十六中学高一数学理月考试题含解析

2022年山西省太原市第五十六中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列不等式中，正确的是（）A．tan＜tam B．sin＞cos（﹣）C．sin（π﹣1）＜sin1° D．cos＜cos（﹣）参考答案：D【考点】正切函数的单调性．【分析】A利用诱导公式化简＞0，==﹣tan＜0，即可比较B：利用诱导公式对函数化简，然后结合y=sinx在（0，）上单调递增即可比较C：先利用诱导公式化简已知函数，然后结合y=sinx在（0，）上单调性可比较D：由诱导公式可得，，，即可比较【解答】解：A：＞0，==﹣tan＜0则，故A错误∵=，而y=sinx在（0，）上单调递增，且∴sin即，故B错误C：由于y=sinx在（0，）上单调递增，且，则sin（π﹣1）=sin1＞sin1°，故C错误D：，∴，故D正确故选D2.锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，若，则cosC的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C由题得（当且仅当a=b时取等）由于三角形是锐角三角形，所以设因为函数f(x)在是减函数，在是增函数，所以f(x)的无限接近中较大的.所以所以的取值范围为.故选C.

3.已知cosα=，角α是第二象限角，则tan（2π﹣α）等于（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：C【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求得sinα，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系式求解．【解答】解：∵cosα=，角α是第二象限角，∴sinα=．∴tan（2π﹣α）=﹣tanα=﹣．故选：C．4.如果,那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．参考答案：D5.下列函数中哪个与函数y=﹣x相等（）A． B．C．y=﹣logaax（a＞0且a≠1） D．参考答案：C【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同、对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．【解答】解：对于A，函数y=﹣=﹣|x|（x∈R），与y=﹣x（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数y==﹣x的定义域是{x|x≠0}，与y=﹣x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数y=﹣logaax=﹣x（x∈R），与y=﹣x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；对于D，函数y=﹣?=﹣x（x≥0），与y=﹣x（x∈R）定义域不同，不是相等函数．故选：C．6.设，且，则下列不等式恒成立的是()A. B.C. D.参考答案：D【分析】逐一分析选项，得到正确答案.【详解】由已知可知，可以是正数，负数或0，A.不确定，所以不正确；B.当时，两边同时乘以，应该，所以不正确；C.因为有可能等于0，所以，所以不正确；D.当时，两边同时乘以，，所以正确.故选D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于简单题型.7.若直线与函数的图像不相交,则

A.

B.

C.或

D.或(

)参考答案：C略8.己知，则等于

（

）A．－

B．

C．

D．

参考答案：C略9.当a＞0且a≠1时，函数y=ax﹣1+3的图象一定经过点（）A．（4，1） B．（1，4） C．（1，3） D．（﹣1，3）参考答案：B【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数型函数的性质，令x﹣1=0即可求得点的坐标．【解答】解：∵y=ax﹣1+3（a＞0且a≠1），∴当x﹣1=0，即x=1时，y=4，∴函数y=ax﹣1+3（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，4）．故选B．【点评】本题考查指数型函数的性质，令x﹣1=0是关键，属于基础题10.如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2?xcos∠D1BD=2?是一次函数，所以排除D．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ=

．参考答案：2考点： 平行向量与共线向量．分析： 用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．解答： ∵a=（1，2），b=（2，3），∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．∵向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，∴λ=2．故答案为2点评： 考查两向量共线的充要条件．12.集合，，则的值是______.参考答案：13.18．函数的图象为，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）．①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象参考答案：①②③略14.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为

参考答案：略15.在扇形中，，弧的长为，则此扇形内切圆的面积为．参考答案：16.计算：()++=________参考答案：17.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）．（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：y=fn（x）在区间（，1）内单调递增；（2）在（1）的条件下，证明：fn（x）=0在区间（，1）内存在唯一实根；（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围．参考答案：考点： 函数恒成立问题；函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）设n≥2，b=1，c=﹣1，化简函数的表达式，利用函数的单调性直接证明y=fn（x）在区间（，1）内单调递增．（2）fn（x）=0在区间内存在唯一实根等价于fn（x）=0在区间内存在唯一零点，通过，以及函数在区间为增函数．即可得到结果．（3），对任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，等价于f2（x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，利用f2（x）的对称轴为，①当|b|＞2时，②当0＜b≤2时，③当﹣2≤b≤0时，分别求出最值之差，判断b的取值范围为[﹣2，2]即可．解答： （1）…（1分）设，…（2分）f（x2）﹣f（x1）=x2n+x2﹣1﹣（x1n+x1﹣1）=（x2n﹣x1n）+（x2﹣x1）…（3分）∵，且∴x2n﹣x1n＞0，x2﹣x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴y=fn（x）在区间（，1）内单调递增

…（4分）（2）fn（x）=0在区间内存在唯一实根等价于fn（x）=0在区间内存在唯一零点

…（5分）∵，∴fn（x）在区间内有零点．…（6分）由（1）知n≥2时，在区间为增函数．…（7分）所以fn（x）在区间内存在唯一的零点；…（8分）（3）…（9分）所以对任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，等价于f2（x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，…（10分）∵f2（x）的对称轴为．①当，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，不合题意．…（11分）②当，恒成立；…（12分）③当，恒成立

…（13分）综上所得，b的取值范围为[﹣2，2]…（14分）点评： 本题考查函数的最值的几何意义，函数的恒成立，函数的单调性以及函数的零点，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．19.已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+3y﹣2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．参考答案： 解：（Ⅰ）由，解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S=×1×2=1．略20.（本小题满分10分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中是仪器的月产量.（Ⅰ）将利润元表示为月产量台的函数；（Ⅱ）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）.参考答案：（Ⅰ）由题设，总成本为，则（Ⅱ）当时，，当时，；当时，是减函数，则．所以，当时，有最大利润元．21.已知＜α＜π，tanα+=﹣．（1）求tanα的值；（2）求的值．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）由tanα+=﹣=﹣3﹣，解得tanα=﹣3或﹣．由于＜α＜π，可得tanα＞﹣1，即可得出；（2）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：（1）∵tanα+=﹣=﹣3﹣，解得tanα=﹣3或﹣．∵＜α＜π，∴tanα＞﹣1，∴．（2）=====﹣．22.将等差数列{}：中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列{}，求的值.参考答案：解析：由于，