2022年江西省赣州市定南职业中学高二数学文上学期期末试题含解析

2022年江西省赣州市定南职业中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1故选B．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示，考查考生对圆锥曲线的性质的应用，圆锥曲线是高考的重点每年必考，平时要注意基础知识的积累和练习．2.已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则p=（

）A.3 B.2 C. D.1参考答案：B【分析】根据所给条件画出示意图，用表示出、的长度，根据比值关系即可求得p的值。【详解】根据题意，画出示意图如下图所示：根据抛物线定义可知因为直线截圆得到的弦长为所以即所以因为所以即，解得因为在抛物线上，所以，解得所以选B【点睛】本题考查了抛物线的定义与应用，注意应用几何关系找各线段的比值，属于中档题。

3.经过两点（3，9）、（﹣1，1）的直线在x轴上的截距为(

)A． B． C． D．2参考答案：A【考点】直线的截距式方程；直线的两点式方程．【专题】计算题．【分析】先由两点式求方程，再令y=0，我们就可以求出经过两点（3，9）、（﹣1，1）的直线在x轴上的截距【解答】解：由两点式可得：即2x﹣y+3=0令y=0，可得x=∴经过两点（3，9）、（﹣1，1）的直线在x轴上的截距为故选A．【点评】直线在x轴上的截距，就是直线与x轴交点的横坐标，它不同于距离，可以是正数、负数与0．4.设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=4，点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程是（）A．=1 B．x2+y2=4 C．x2﹣y2=4 D．+=1参考答案：B【考点】轨迹方程．【专题】直线与圆．【分析】可以取AB的中点M，根据三角形ABO是直角三角形，可知OM=2是定值，故M的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆．问题获解．【解答】解：设M（x，y），因为△ABC是直角三角形，所以||OM|=定值．故M的轨迹为：以O为圆心，2为半径的圆．故x2+y2=4即为所求．故选B【点评】本题考查了圆的轨迹定义，一般的要先找到动点满足的几何条件，然后结合曲线的轨迹定义去判断即可．然后确定方程的参数，写出方程．5.正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为(

)A． B． C． D．参考答案：D6.若函数在区间(0,+∞)上有两个极值点,则实数a的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D【分析】求出,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，由数形结合可得结果.【详解】，可得,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，求得，由可得在上递减，由可得在上递增，，当时，；当时，所以，当，即时，的图象在轴右边有两个不同的交点，所以使函数在区间上有两个极值点，实数a的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性与最值，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将极值问题转化为方程问题，再转化为函数图象交点问题是解题的关键.7.已知复数为纯虚数，则m=A.0 B.3 C.0或3 D.4参考答案：B因为复数为纯虚数，，且，所以，故选B.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（

）A．18

B．24

C.36

D．72参考答案：AC9.已知，则除以15的余数为（

）A.1 B.3 C.4 D.2参考答案：A【分析】将化为，展开后可知除第一项外，其余各项均能被整除，从而可知余数为.【详解】由题意知：可知在展开式中，除第一项外，其余各项均能被整除除以的余数为本题正确选项：【点睛】本题考查余数的求解问题，关键是能够被除数表示为与除数有关的二项式的形式，从而可根据展开式确定余数.10.已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数在上有最小值

B．函数在上没有最大值C．函数在上没有极小值

D．函数在上有极大值

参考答案：D试题分析：，当时，或，并且当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，并且函数在区间没有最小值，但有最大值，就是极大值，故选D.考点：导数与函数的性质二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设B（﹣，y）C（，y），从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用tan30°=b/=，求得a=3b，最后根据a2=c2+b2得出离心率．【解答】解：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设B（﹣，y）C（，y）代入椭圆方程解得：|y|=b，设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形所以∠COD=30°对C点：tan30°==解得：a=3b根据：a2=c2+b2得：a2=c2+e2=e=故答案为：．12.记，，…，．若，则的值为

.参考答案：1007

略13.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米.参考答案：14.已知an=an﹣1﹣an﹣2（n≥3），a1=1，a2=2，a2016=

．参考答案：﹣1【考点】数列递推式．【分析】由a1=1，a2=2，an=an﹣1﹣an﹣2（n≥3），求得a3，a4，a5，a6，a7，…，可知数列{an}是以6为周期的周期数列，a2016=a336×6=a6=﹣1．【解答】解：由a1=1，a2=2，an=an﹣1﹣an﹣2（n≥3），得a3=a2﹣a1=2﹣1=1，a4=a3﹣a2=1﹣2=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣1=﹣2，a6=a5﹣a4=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，a7=a6﹣a5=﹣1﹣（﹣2）=1，…由上可知，数列{an}是以6为周期的周期数列，则a2016=a336×6=a6=﹣1．故答案为：﹣1．15.圆锥曲线）双曲线的渐近线方程为________．参考答案：略16.等差数列中，，，则的值为

．参考答案：8略17.已知x与y之间的几组数据如下表：分数段x：y1：12：13：44：5

则y与x的线性回归方程＝x＋必过_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1．参考答案：【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）先证明AB⊥平面BB1C1C，得AB⊥B1C，再证明B1C⊥平面ABC1，得出B1C⊥AC1；【解答】证明：（Ⅰ）因为ABC﹣A1B1C1是三棱柱，所以BC∥B1C1，因为BC?∥平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）连接BC1，在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，AB?平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C；又因为B1C?平面BB1C1C，所以AB⊥B1C；在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C；因为BC1?平面ABC1，AB?平面ABC1，且BC1∩AB=B，所以B1C⊥平面ABC1；因为AC1?平面ABC1，所以B1C⊥AC1．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目．19.已知数列{an}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2log2an﹣1，求数列{anbn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{an}中，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入bn=2log2an﹣1，求出bn，利用错位相减法求出Tn．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，因为a2=4，所以a3=4q，．）因为a3+2是a2和a4的等差中项，所以2（a3+2）=a2+a4．即2（4q+2）=4+4q2，化简得q2﹣2q=0．因为公比q≠0，所以q=2．所以（n∈N*）．（Ⅱ）因为，所以bn=2log2an﹣1=2n﹣1．所以．则，①，，②，①﹣②得，．=，所以．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，．(1)求b的值；

(2)求sinC的值．参考答案：（Ⅰ）由余弦定理，，得，

……3分．

……5分（Ⅱ）方法1：由余弦定理，得，

……8分∵C是△ABC的内角，

……9分∴．

…10分方法2：∵，且B是△ABC的内角，

∴．

……6分根据正弦定理，，．

……10分21.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N。求1)

该三棱柱的侧面展开图的对角线长；2)

PC和NC的长；3)

平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）参考答案：解析：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为②如图1，将侧面BC1旋转使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。设PC＝，则P1C＝，在③连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，。22..函数，且x=2是函数的一个极小值点.（1）求实数a的值；（2）求在区间[－1,3]上的最大值和最小值.参考答案：解析：（1）.

2分是函数的一个极小值点，.即，解得.