2021年辽宁省沈阳市第一百一中学高三数学文月考试卷含解析

2021年辽宁省沈阳市第一百一中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数。当时，且。则不等式的解集是(

)参考答案：D略2.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的（

）（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则＝

参考答案：B4.函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为A.4π

B.2π

C.π

D.参考答案：C由题意，故选C.5.已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：A【考点】两角和与差的余弦函数．

【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】运用﹣α、﹣α的诱导公式，计算即可得到．【解答】解：sin（α﹣）=，即为sin（﹣α）=﹣，即有sin[﹣（+α）]=﹣，即cos（）=﹣．故选A．【点评】本题考查三角函数的求值，考查三角函数的诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．6.已知三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，

ABAC，=12，则球O的半径为

A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.设的实部与虚部互为相反数，其中a为实数，则a=（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3参考答案：D8.函数（其中）的图象如所示，为了得到的图象，则只需将的图象(

)A.向右平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向左平移个长度单位

参考答案：D略9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A.8π

B.6π

C.4π

D.2π参考答案：A10.如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数的部分图象，则可能是(

)A.

B.

C．

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，则关于的方程的所有不同实数根的积为

．参考答案：略12.如图，已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若，则m+n=．参考答案：

【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量加减法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，这样便可得出m+n的值．【解答】解：根据条件，====；又；∴．故答案为：．13.由直线，，与曲线所围成的封闭图像的面积为

参考答案：略14.已知复数w满足

(为虚数单位），则＝_参考答案：略15.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为

．参考答案：300【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．16.函数图像的对称中心是

．参考答案：

解：因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是.

17.若函数在区间是减函数，则的取值范围是

.参考答案：．试题分析：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠APB=90°,点M是线段AB上的点,且PM⊥CD,AB=BC=2PB=2AD=4BM. (1)证明:平面PAB⊥平面ABCD; (2)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值. 参考答案：(1)由AB=2PB=4BM,∠APB=90°,得PM⊥AB, 又PM⊥CD,且AB与CD相交,所以PM⊥平面ABCD, 又PM?平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD. (2)解法一由(1)及AD∥BC,∠ABC=90°可知,DA⊥平面PAB,延长BA与CD交于点H,连接PH,作AN⊥PH于点N,连接ND,则平面PAB与平面PCD的夹角是∠AND. 设BM=1,则AB=4,PB=2,AD=2,PM=,易知△HAN∽△HPM,故AN=,DN=, 所以sin∠AND=, 故平面PAB与平面PCD夹角的正弦值是. 解法二 如图建立空间直角坐标系,易知平面PAB的一个法向量为n=(1,0,0), 设BM=,则P(0,0,t),C(2t,,0),D(t,-t,0), 因此=(2t,,-t),=(-t,-2t,0). 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z), 则由m·=0,m·=0,得x+2y=0,4x+y-z=0,即m=(2,-,7)为平面PCD的一个法向量,所以cos<m,n>=, 故平面PAB与平面PCD夹角的正弦值是. 本题以四棱锥为载体,主要考查空间面面位置关系的证明及二面角的求解等,意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.第(1)问比较简单,由PM⊥AB,PM⊥CD,得到PM⊥平面ABCD,从而得到平面PAB⊥平面ABCD;第(2)问既可以用传统法“作、证、算”来解决,也可以用空间向量法解决. 【备注】立体几何解答题的考查以空间线面位置关系(平行、垂直)的证明、空间角的求解为主.第(1)问是线面平行、垂直问题的证明或探求,一般寻找线线、线面、面面之间的关系进行灵活转化,要关注中点(中位线),在寻找解题思路时,建议采用分析法,从需要求证的结论逐步逆推到已知条件.第(2)问一般有两种方法(传统法和向量法),传统法需要关注“作、证、算”的推理论证过程;利用空间向量法来解决时,要当心不要算错,要熟记线面角、二面角公式.另外要提醒考生在备考时不要一味强调利用向量法解题,要加强空间想象能力和思维能力的训练,做到两者兼顾. 19.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。参考答案：（Ⅰ）①

……2分由方程

②

……3分因为方程②有两个相等的根，所以，即

……5分由于代入①得的解析式……6分

（Ⅱ）由……7分及……8分由

解得……11分故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是…20.若椭圆的离心率等于，抛物线的焦点为椭圆的顶点.（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于P,Q两点，又过P，Q作抛物线C2的切线，当时，求直线l的方程.参考答案：（Ⅰ）∵椭圆长半轴且离心率

∴

∴

……………2分∴椭圆的方程为

……………3分

∵抛物线的焦点是椭圆的顶点∴椭圆的上顶点就是抛物线的焦点，即p=2……………4分∴抛物线的方程为

……………5分（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为………6分设∵

∴

……………7分∴切线的斜率分别为，∵

∴∴……………8分由得

∴解得由解得∴直线l的方程为

……………12分

21.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn=Sn﹣1+an﹣1+（n∈N*且n≥2），数列{bn}满足：b1=﹣，且3bn﹣bn﹣1=n+1（n∈N*且n≥2）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{bn﹣an}为等比数列；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和的最小值．参考答案：【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由an=Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得bn，及bn﹣an，bn﹣1﹣an﹣1，再由等比数列的定义，即可得证；（Ⅲ）运用等比数列的通项公式，求得bn，判断bn﹣bn﹣1的符号，可得{bn}是递增数列，求出b1，b2，b3，即可得到所求和的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由得即（n≥2且n∈N*），则数列{an}为以为公差的等差数列，因此=；（Ⅱ）证明：因为3bn﹣bn﹣1=n+1（n≥2）所以（n≥2），（n≥2），bn﹣1﹣an﹣1=bn﹣1﹣=（n≥2），所以（n≥2），因为b1﹣a1=﹣10≠0，所以数