南开考研光学专业习题与解答第六章

PAGE16晶体的光学性质例题一束钠黄光以50o入射角入射到方解石平板上，设光轴与板表面平行并垂直入射面，问在晶体中o光和e光间的夹角是多少？解 光进入晶体后发生双折射．对于o光，no=1.658，折射角为，由折射定律 解得 ．对于e光，ne=1.486，折射角为，同理求得．因此晶体中o光和e光的夹角为．50500光轴计算题6.1解图线偏振光垂直射入一块方解石晶体，光的振动方向与晶体的主平面成20o角，计算两束折射光（e光和o光）的相对振幅和强度. 解 线偏振光进入晶体后分解为振动面垂直与主平面的o光和振动面平行于主平面的e光，这两光的振幅分别为 ，ＡＡoＡＡＡoＡe200计算题6.2解图二者之比为 .两光的强度之比为 .式中为e光法线速度与光轴的夹角，e光的折射率与其传播方向有关．题中未给定e光的传播方向，其折射率未知．当光轴与晶体表面平行时，有 ．两完全相同的方解石晶体A、B前后排列(如计算题6.3图),强度为I的自然光垂直于晶体A的表面并通过这一系统,A、B主截面之间夹角为,(图中=0),求=00,450,900,1800时,由Ｂ出射的光线的数目和每个的强度(忽略反射、吸收等损失).AAB计算题6.3图Ｉ自然光 解 入射自然光强度为I，进入晶体Ａ后发生双折射，从晶体A分解出的两束光的强度分别为 ， ．这两束光进入晶体B后又各自被分解为o光和e光，自晶体B出射的四束光强度与两块晶体主截面之间夹角有关，一般情况下，这四束光的强度分别为 ， ， ， ． 两晶体主截面夹角不同，出射的四束光强度也不同．当时，是计算题6.3解图（a）所示的情况，两束强度都为I/2．当时，分解出的四束光强度相等，都等于Ｉ/4．当时，Ａ晶体中的o光在Ｂ晶体中完全是e分量，Ａ晶体中的e光在Ｂ晶体中完全是o分量，因此Ａ中的两束光在Ｂ中不再分解，B后仍为两束光，每束的强度为Ｉ/2．当时，有 ．这时第一块晶体中分解出的o光和e光，进入第二块晶体中不再分解，仍然为第二块晶体中的o光和e光．但是，由于两块晶体的光轴对称于表面的法线（如解图d），e光在两块晶体中偏折方向相反，故出射后两束光的传播方向重合，两束合并为一束,强度为I．（b）（b）0（a）0计算题6.3解图两个理想、正交的偏振片A、B之间加入一理想的偏振片C，且C以角速度ω旋转，强度为I0的单色自然光垂直入射到偏振片A上，试求偏振片B后的出射光强．解 强度为的自然光，经过理想偏振片Ａ后，变为强度为的线偏振光，题中给出偏振片Ｃ透振方向与Ａ透振方的夹角为t，与Ｂ透振方向的夹角为（t）（见计算题6.4解图）．由马吕斯定律，Ｂ后线偏振光的强度为 出射光强与偏振片Ｃ透振方向的方位有关．当时，出射光强为零；当时，出射光强最大，为．AABCt（b）ACB自然光（a）计算题6.4解图两尼可耳棱镜的透振方向夹角为60o，在两尼科耳棱镜之间加入一四分之一波片，波片的光轴方向与两尼科耳棱镜600夹角的平分线平行，强度为I0的单色自然光沿轴向通过这一系统．指出光透过λ/4波片后的偏振态；求透过第二个尼可耳棱镜的光强度和偏振性质（忽略反射和介质的吸收）．解 （１）两尼可耳棱镜Ｎ1、Ｎ2的透振方向和波片光轴的相对方位表示在计算题6.5解图中．自然光经过尼可耳棱镜，成为线偏振光，强度为I0/2．线偏振光的振动方向与光轴夹角为300，进入晶体后分解为o光和e光，由于/4波片Ｃ使o光和e光产生/2的相位差，所以过Ｃ后成为椭圆偏振光． （２）尼可耳棱镜Ｎ2前是椭圆偏振光，它是由振幅分别为Ａe和Ａo、相位差为／2的两线偏振光合成，由计算题6.5解图可得 ， ．和在Ｎ2的透振方向上投影，产生干涉．两相干线偏振光的振幅分别为 ，．由于投影引起的附加相位差，故两相干光的相位差为（）．过Ｎ2后的相干光强为600C600CN1N2AAeAoAe2Ao2计算题6.5解图出射光为线偏振光．在两正交尼可耳棱镜之间插入一方解石/4波片，晶轴与尼可耳棱镜的透振方向成35o角。设光通过第一尼可耳棱镜后的强度为I试求：通过晶片时分解出来的o光和e光的振幅和强度；光通过检偏镜后的偏振态、振幅和强度．解 (1) 如计算题6.6解图(a)所示，自然光通过第一尼可耳棱镜N１后是线偏振光，振幅为．线偏振光振动面与与晶轴夹角为350（见计算题6.6解图b），因此经方解石晶体分解出的o光和e光的振幅分别为 , .O光和e光的强度分别为 ， ．光通过检偏镜Ｎ2后，为线偏振光，它是由方解石晶体分解出的o光和e光在Ｎ2透振方向上投影相干得到的．相干光强为 振幅为计算题6.6解图350Ｎ计算题6.6解图350Ｎ1N2CＡＡeAoAe2Ao2(b)CN1N2(a)自然光I如计算题6.7图所示的扬氏双孔干涉实验装置，未加修饰时，单色自然光照射于单孔S上，远方屏幕上得到最大光强为I0、最小光强为零的干涉条纹,现在在S后插入一理想偏振片P，在S1后插入一块λ/2波片，且波片晶轴与偏振片P的透振方向夹角为θ，试求远方屏幕上干涉条纹可见度及屏幕上最大光强和最小光强．SS2S1PS计算题6.7图解 未修饰的扬氏双孔干涉实验装置，屏幕上最小光强为零，故干涉条纹的可见度Ｖ=1.0．屏幕上干涉光强为 .上式中，为缝Ｓ1的光强，也是Ｓ2缝和单缝Ｓ的光强．因此屏幕上最大光强为 ， ．单缝Ｓ为自然光，将其分解为互相垂直的无相位关系的两个线偏振光，其中一个的振动方向沿偏振片Ｐ的透振方向，另一个线偏振光振动方向与Ｐ的透振方向垂直．当Ｓ后覆盖以偏振片Ｐ后，Ｐ后将变成强度为(1/8)的线偏振光，振动方向沿Ｐ的透振方向(计算题6.7解图),振幅． 修饰后的杨氏干涉装置，Ｓ1缝后覆盖/2波片，且波片晶轴方向与Ｓ1缝前的线偏振光振动方向成角．线偏振光过波片后，仍然是线偏振光，强度不变，只是振动方向转过2．Ｓ2缝不作修饰，该缝后是线偏振光，强度与波片后同．因此，这样修饰过的杨氏干涉装置，屏幕上是振动方向成2角、有固定相位关系的两线偏振光的干涉．干涉光强为2Ｐ2ＰＣＡ计算题6.7解图Ａ因此屏幕上的最大光强和最小光强分别为 ， ．屏幕上干涉条纹的可见度为 ．如计算题6.8图，在两个正交偏振片P1和P2之间插入一石英尖劈，其晶轴平行于劈棱，且和Ｐ1及Ｐ2夹45o角，用λ=500纳米的光垂直照明，已知劈的最大厚度d=0.05厘米，劈角为0.50弧度．试问用此装置最多能见到多少个条纹间距？(设石英晶体对500纳米的光折射率)500500nmP1ＣP2计算题6.8图解 本题的装置实现了偏振光的干涉，当Ｐ1和Ｐ2互相垂直时，出射光强为 ．上式中为Ｐ1前自然光强度，为Ｐ1透振方向与晶轴的夹角，是波片双折射造成的o光和e光的相位差．题中给出，因此 当波片的厚度满足时，即为波长片厚度时，，取得最小光强；当波片的厚度满足时，即为半波长厚度时，，取得最大光强．若在Ｐ2后放置屏幕，将得到明暗相间的干涉条纹，条纹间距为晶体尖劈相邻两波长片（或相邻两半波片）厚度之间的距离． ．尖劈的长度为 ．因此，可观察到的干涉条纹数ddx计算题6.8解图杨氏干涉装置采用强度为I0的单色自然光作光源，屏幕上得到可见度为1.0的干涉条纹，今将干涉装置分别作如下修饰：在Ｓ后放置一偏振片P；再在Ｓ1和Ｓ2后分别放置偏振片Ｐ1和Ｐ2，Ｐ1和Ｐ2的透振方向垂直，并且都与Ｐ的透振方向成450角；去掉Ｐ的条件下，再在屏幕前放置偏振片Ｐ3，且Ｐ3与Ｐ1、Ｐ2夹角为450．试讨论在上面３种情况下屏幕上干涉条纹的变化，屏幕上最大光强是多少？（不讨论衍射效应）SS2P1S1PS计算题6.9图P2P3单色自然光解 (1) 在Ｓ后放置一偏振片Ｐ，自然光过Ｐ后变为线偏振光，其强度为入射自然光的一半．线偏振光经过Ｓ1Ｓ2孔，在屏幕上形成可见度的干涉条纹，干涉光强为 屏幕上最大光强为 ．(2) 再在Ｓ1和Ｓ2后分别放置偏振片Ｐ1和Ｐ2，Ｐ1和Ｐ2的透振方向垂直，并且都与Ｐ的透振方向成450角．Ｐ后的线偏振光，过Ｐ1和Ｐ2后仍为线偏振光，根据马吕斯定律，Ｐ1和Ｐ2后线偏振光的强度为．Ｐ1和Ｐ2后的线偏振光振动方向互相垂直（计算题6.9解图a），因此，虽然两线偏振光有固定的相位关系，但不相干，屏幕上无条纹．叠加后的强度为 ．两互相垂直的、有固定相位关系的线偏振光仍合成完全偏振光，偏振态与两线偏振光在场点的相位差有关．当时，合成线偏振光；当时，合成圆偏振光；当为以上两种以外的值时，合成椭圆偏振光．ＰＰ450450P2P1计算题6.9解图（a）A2A1A(３)无Ｐ，Ｐ1与Ｐ2垂直，Ｐ3与Ｐ1、Ｐ2夹角450．尽管Ｐ1、Ｐ2后相互垂直的线偏振光投影在Ｐ3透振方向上，使得两光振动方向相同，但由于它们分别来自自然光中无固定相位关系的两线偏振光，所以不满足＂具有稳定的相位差＂这一相干条件，因此不能相干．故屏幕上两光非相干光强为．关于自然光两个等效的垂直分量无相位关系这一结论可证明如下：自然光是无数相位不定、轴对称分布的线偏振光的组合．在这无数的线偏振光中，选取关于Ｐ1对称的线偏振光Ａ1和Ａ2（计算题6.9解图c），Ａ1经过两次投影，在Ｐ3方向上得到Ａ11和Ａ1２．同样，Ａ2经过两次投影，在Ｐ3方向上得到Ａ２1和Ａ２２．由于对称性，Ａ11=Ａ２1，Ａ1２=Ａ２２．Ａ11和Ａ1２相干涉，Ａ２1和Ａ２２相干涉．由于投影造成Ａ２1和Ａ２２反向，因此两者有一附加相位差．两对相干光在叠加时，交叉项符号相反，因此，在屏幕上再次叠加时，交叉项抵消，结果仍为非相干叠加．A12计算题6.9解图(b)Ｐ1A12计算题6.9解图(b)Ｐ1Ｐ3A2Ｐ2A1A11A21A22A12A11A21A22在正交的两偏振片P1和P2之间插入一钠光的四分之一波片C，一束强度为I的钠光自然光垂直入射到偏振片P1上并通过这一系统．试问：旋转四分之一波片C一周，P2后的出射光强将出现几次极大和极小？并求出极大和极小的方位（用P1和C的夹角表示）和强度．解 自然光通过偏振片Ｐ1，变为线偏振光．设线偏振光振幅为Ａ，则Ａ=．线偏振光进入波片后，分解为o光和e光，o光、e光的振幅为 ， ．上式中为波片晶轴与偏振片Ｐ1透振方向的夹角．o光、e光过波片后有/2的附加相位差．最后投影在Ｐ2的透振方向上，形成干涉．如计算题6.10解图（b）所示，投影后的振幅为 ，． 投影后，两线偏振光有的附加相位差，因此干涉光强应为 Ｐ1Ｐ2Ｃ自然光线偏振光线偏振光（a）Ｐ1Ｐ1Ｐ2Ｃ自然光线偏振光线偏振光（a）Ｐ1Ｐ2ＣＡＡAeAoAe2Ao2（b）计算题6.10解图Ｉ将厚度为1毫米且垂直于晶轴切出的石英薄片，放在透振方向平行的偏振片P1和P2之间，某波长的线偏光通过石英薄片后，经旋光仪测定,其振动方向将转过了20o.试问石英薄片为若干时，该波长的光将完全不能通过.解 石英是旋光物质，当线偏振光沿着光轴通过它时，振动面将转过一个角度，与光在晶体中传播的距离的关系是 ．上式中是旋光系数．由于Ｐ1和Ｐ2透振方向平行(计算题6.11解图)，所以只有石英旋光物质使线偏振光振动面转过900时，光才不能通过Ｐ2．今１毫米厚度使其转过200，要转过900需要厚度为 （毫米）．ＣＰＣＰ1Ｐ2计算题6.11解图 将50克含有杂质的糖溶于纯水中，制成100立方厘米的糖溶液．然后将此溶液装入10厘米长的试管中，使单色线偏光垂直于管的端面沿管的中心轴线通过，在旋光仪上测得它对线偏光电振动方向转了32.34o,已知糖溶液的旋光系数=66度分米-1厘米3克-1,试计算这种糖溶液的纯度.解 液体旋光物质，使线偏振光旋转的角度为 ．已知，0厘米＝1分米，，代入上式,求出溶液的浓度,即100立方厘米中含有49克糖，故糖的纯度为.作图题利用惠更斯作图法，画出如作图题6.1图所示各种情况下的双折射光路．光轴光轴钠光自然光(a)石英光轴钠光自然光(b)作图题6.1图方解石方解石解 （a）作图步骤如下：１、２两条光线入射于晶体界面上Ａ、Ｃ两点，过Ａ点作光线１的垂线ＡＢ，ＡＢ即为t时刻入射光的波面．tt时刻光线２到达Ｃ点．方解石对于钠光，，以ＢＣ的长度为1.658，取1为半径，以Ａ为圆心在晶体内作半圆，此为tt时刻光线１在晶体中的o光波面．过Ａ作光轴的平行线，以Ａ点为中心，以光轴方向为短轴方向，以ＢＣ的长度为１.486,取1作半长轴，以o光波面半径长度为半短轴长度，作椭圆，椭圆在光轴方向上外切o光波面．此椭圆即为tt时刻光线１在晶体中的e光波面．过Ｃ点作o光波面的切线，过切点和Ｃ点作两条切线的垂线，此即为o光在晶体中的传播方向．过Ｃ点作e光波面（图中为椭圆）的切线，过切点和Ｃ点作两条切线的垂线，此为e光在晶体中的传播方向．在作图题6.1解图(a)中,o光的振动方向用＂＂表示，e光的振动方向用＂－＂表示２２oＢ钠光自然光光轴(a)方解石ＡＣ１作图题6.1解图eeoo (b)作图步骤如下(见作图题6.1解图b)：１、２两条光线入射于界面上Ａ、Ｃ两点，过Ａ点作光线１的垂线ＡＢ，ＡＢ即为t时刻入射光波面．t时刻光线１达Ａ点，tt时刻光线２达Ｃ点．石英晶体对于钠光，，以ＢＣ的长度为，取1为半径，以Ａ为圆心，在晶体内作半圆．此半圆为tt时刻光线１在晶体中的o光波面.过Ｃ点作圆的切线，连接Ａ点和切点，过Ｃ点作连线的平行线，这两条平行线即为晶体中o光．其振动方向垂直于自己的主平面，解图中用＂＂表示．以Ａ点为中心，界面ＡＣ为长轴方向，（２）中圆的半径为半长轴，令ＢＣ长，取１为半短轴作椭圆．椭圆在长轴方向上内切与o光波面．此椭圆即为tt时刻光线１在晶体中的e光波面．过Ｃ点作椭圆的切线，连接Ａ点和切点，过Ｃ点作连线的平行线，这两条平行线为e光．e光振动方向平行于自己的主平面，在解图中用＂－＂表示．石英石英光轴钠光自然光作图题6.1解图(b)ACBeeoo１２如作图题6.2图所示,一束单色自然光由空气垂直入射于棱镜的一个棱边AB上,已知光轴也垂直于AB,试用作图法求出在另一边AC上的反射光束．自然光自然光A作图题6.2图BC 解 作图步骤如下：作两条入射光线１、２，由于垂直ＡＢ界面入射，且晶轴也垂直于该界面，故进入晶体后两条光线不拐折，直接入射到界面ＢＣ上Ｐ、Ｑ两点（作图题6.2解图）．过Ｐ点作光线的垂线ＰＤ，设ＰＤ为t时刻的波面，光线２在tt时刻到达Ｑ点．令ＤＱ=1.486，以ＤＱ为半径，以Ｐ为圆心，在晶体中作半圆．此为tt时刻光线１在晶体中反射光线的波面，它是o光的波面．过Ｑ点作（３）中波面的切线，过切点和Ｑ点分别作两条切线的垂线，这两条垂线即为晶体中o光反射光线．o光振动方向用＂＂表示以Ｐ点为中心，以ＤＱ为短半轴，以1.658为长半轴，作椭圆．椭圆在光轴方向上外切于圆．过Ｑ点作椭圆的切线，过椭圆的切点和Ｑ点分别作两条切线的垂线，此为e光反射光线．e光振动方向用＂－＂表示．自然光自然光作图题6.２解图ABC１２ＰＱＤeeoo问答题怎样利用波片将一个圆偏振光变成线偏振光？答 使圆偏振光通过一块/4波片，就能变成振动面与波片光轴成450角的线偏振光．圆偏振光可以分解成振动面沿波片光轴方向和垂直于光轴方向的两互相垂直的线偏振光，在波片的前表面，二者有/2相位差，过/4波片后，又有了/2的相位延迟量，所以，这两互相垂直的线偏振光过波片后相位差非零即，合成光仍为线偏振光．用怎样的措施获得圆偏振光？答 让自然光通过起偏镜，得到振动方向平行于起偏镜透振方向的线偏振光．再让线偏振光通过一块/4波片，波片晶轴z与线偏振光振动方向成450角，自/4波片出射的就是圆偏振光．选取/4波片使分解的o光和e光有/2的相位差，光轴z与入射线偏振光振动方向450的夹角，可使分解的o光和e光有相等振幅．有四束光，它们的偏振态分别是：线偏振光、圆偏振光、椭圆偏振光和自然光，怎样鉴别它们？答 用一块检偏振器分别对四束光迎光旋转检验，当检偏振器旋转一周，发现出射光强两个方位最大，两个方位为零时，该光就是线偏振光；出射光强两个方位最大，两个方位变小时，该光即是椭圆偏振光；当出射光强不变时为圆偏振光和自然光．然后再区别圆偏振光和自然光．将这两束光分别通过/4波片．通过/4波片后，自然光还是自然光，用旋转的检偏振器检验，仍然光强不变；而圆偏振光通过/4波片后变为线偏振光，用检偏振器检验，出现两次最大，两次零光强．实验室中有三块偏振器件,偏振片、λ/2波片和λ/4波片,其中λ/2波片和λ/4波片外形完全相同，但未标明记号．现在有一盏与之相应的钠光灯,试问用什么方法和怎样的步骤能将它们辨认出来，并标明它们的特征方向(即透振或晶轴方向)．答 用实验室中的光滑桌面（或玻璃板面）反射钠光，透过三块未知的偏振器件观看反射的钠光，在此过程中，一边旋转偏振器件，一边改变反射光方向，三块偏振器件中必有一块出现＂两明两零＂的现象，它就是偏振片．此时，钠光的入射角就是布儒斯特角，反射光是振动面垂直于入射面的线偏振光．另两块是波片，无论怎样旋转它，无论怎样改变反射光线的方向，光强都不发生变化． 现在有了一块偏振片，还有已知振动方向的线偏振光．将两块波片分别迎着线偏振光旋转，用偏振片检验出射光强的变化．如果不管在什么方位，总是出现＂两明两零＂的现象，这块波片一定是/２波片，因为线偏振光经过/２波片后仍然是线偏振光．而线偏振光通过/4波片，仅在线偏振光的振动方向平行（或垂直）/4波片晶轴的情况下，才会出射线偏振光．在线偏振光振动方向与晶轴成450角时，出射圆偏振光，一般情况下出射椭圆偏振光．一束自然光通过偏振片后再通过λ/4波片射到反射镜上，欲使反射光不能透过偏振片，波片的快慢轴与偏振片的透振方向应该成多大角度？为什么？答 如问答题6.5解图（a）所示，欲使反射回来的光不能通过Ｐ片，光的偏振态必需是线偏振光，且振动面垂直于Ｐ片的透振方向．将偏振片的透振方向与波片C的快（慢）轴成450角放置，自然光过偏振片后，所成的线偏振光振动面与波片快轴也成450角．因此，线偏振光过λ/4波片后成为圆偏振光．若所成的圆偏振光是右旋的（如图b），则波片快轴沿竖直方向，光过波片后,竖直方向的振动超前水平方向振动/2．右旋圆经反射镜反射后将变为左旋圆,迎着反射光看，竖直方向振动落后水平方向振动/2．左旋圆偏振经过波片后,水平振动与竖直振动同相位，合成的线偏振光与入射光振动方向垂直，因此不能再次通过偏振片了．若波片快轴沿水平方向，也有同样结果，读者可以自己分析．自然光自然光圆偏光z偏振片λ/4波片反射镜PCM线偏光y（a）450xy入射的线偏光返回的线偏光（b）问答题6.5解图为了确定一束圆偏振光的旋转方向，可将λ/4波片置于检偏镜之前，再将两个偏振器件旋转到消光位置．这时发现λ/4波片的快轴的方位是这样的：它须沿着逆时针方向转45o才能与检偏器的透光方向重合．问该偏振光是右旋的还是左旋的？答 圆偏振光经过/4波片后变为线偏振光（问答题6.6解图a），只有线偏振光振动方向与检偏镜透振方向垂直时才会有消光现象．又因快轴逆时针旋转450与检偏镜透振方向重合，所以线偏振光振动方向、检偏镜透振方向及快轴方向应如问答题6.6解图（b）所示．以波片快轴为为y轴，慢轴为x轴，则线偏振光是由同相位的o光和e光合成．光在波片中传播时，快轴方向的振动相位增加了/2，那么，光在波片前表面时，慢轴方向的振动要比快轴方向的振动相位超前/2．因此，在波片前面，光的偏振态应是左旋圆．检偏镜检偏镜/4波片CP圆偏振光(a)450慢轴快轴线偏光Ｐ(b)yx问答题6.6解图在紫外光光谱仪中，选择透紫外光的石英晶体作棱镜材料．石英晶体按问答题6.7图（a）方式切成棱镜，为的是使光在棱镜里沿着晶轴进行．但是这样谱线还是发生小分叉．这个分叉可用考纽棱镜来消除，考纽棱镜是由两个半块右旋和左旋石英构成（见问答题6.7图b）.试解释这个现象及考纽棱镜的作用．（（a）（b）问答题6.7图LR答 当紫外光进入问答题6.7图（a）所示的棱镜中时，由于旋光性，分解出的左旋圆和右旋圆折射率不同，会发生双折射，因而光线会分叉．如果用问答题6.7图（b）的考纽棱镜，左半部分的右旋石英所生的双折射，会被右半部分左旋石英所抵消（问答题6.7解图）．问答题6.7解图问答题6.7解图LR尼可耳透振方向尼可耳透振方向填空题自然光通过两片理想偏振片，若两