广东省百校联盟2024届高一上数学期末联考模拟试题含解析

广东省百校联盟2024届高一上数学期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．的定义域为（）A. B.C. D.2．若函数的三个零点分别是，且，则（）A. B.C. D.3．下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.4．将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，已知的图象关于原点对称，则的最小正值为（）A.2 B.3C.4 D.65．函数（且）的图像恒过定点（）A. B.C. D.6．已知向量，且，则实数=A B.0C.3 D.7．设，，，则a、b、c的大小关系是A. B.C. D.8．已知向量，，若，则（）A. B.C.2 D.39．已知扇形的面积为，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（）A1 B.2C.4 D.810．某圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为A. B.C. D.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________.12．已知，，则______.13．函数的值域是__________14．已知函数是定义在的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是__________15．已知函数，是定义在区间上的奇函数，则_________.16．已知函数是定义在的偶函数，且当时，若函数有8个零点，分别记为，，，，，，，，则的取值范围是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．阅读与探究人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）》在第一章小结中写道：将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.比如：由图1.2-7可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是.（1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性；（2）根据阅读材料中途1.2-7，若角为锐角，求证：.18．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.19．已知函数（1）若，成立，求实数的取值范围;（2）证明：有且只有一个零点，且20．如图，在正方体中，为棱、的三等分点（靠近A点）.求证：（1）平面；（2）求证：平面平面.21．已知函数⑴判断并证明函数的奇偶性；⑵若，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】由对数函数的性质及分式的性质解不等式即可得解.【题目详解】由题意得，解得，所以的定义域为.故选：C.【题目点拨】本题考查了具体函数定义域的求解，属于基础题.2、D【解题分析】利用函数的零点列出方程，再结合，得出关于的不等式，解之可得选项【题目详解】因为函数的三个零点分别是，且，所以，，解得，所以函数，所以，又，所以，故选：D【题目点拨】关键点睛：本题考查函数的零点与方程的根的关系，关键在于准确地运用零点存在定理3、D【解题分析】利用偶函数的性质对每个选项判断得出结果【题目详解】A选项：函数定义域为，且，，故函数既不是奇函数也不是偶函数，A选项错误B选项：函数定义域为，且，，故函数既不是奇函数也不是偶函数C选项：函数定义域为，，故函数为奇函数D选项：函数定义域为，，故函数是偶函数故选D【题目点拨】本题考查函数奇偶性的定义，在证明函数奇偶性时需注意函数的定义域；还需掌握：奇函数加减奇函数为奇函数；偶函数加减偶函数为偶函数；奇函数加减偶函数为非奇非偶函数；奇函数乘以奇函数为偶函数；奇函数乘以偶函数为奇函数；偶函数乘以偶函数为偶函数4、B【解题分析】根据图象平移求出g(x)解析式，g(x)为奇函数，则g(0)＝0，据此即可计算ω的取值.【题目详解】根据已知，可得，∵的图象关于原点对称，所以，从而，Z，所以，其最小正值为3，此时故选：B5、C【解题分析】本题可根据指数函数的性质得出结果.【题目详解】当时，，则函数的图像恒过定点，故选：C.6、C【解题分析】由题意得，，因为，所以，解得，故选C.考点：向量的坐标运算.7、D【解题分析】根据指数函数与对数函数性质知，，，可比较大小，【题目详解】解：，，；故选D【题目点拨】在比较幂或对数大小时，一般利用指数函数或对数函数的单调性，有时还需要借助中间值与中间值比较大小，如0,1等等8、A【解题分析】先计算的坐标，再利用可得，即可求解.【题目详解】，因为，所以，解得：，故选：A9、B【解题分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数.【题目详解】设扇形的圆心角为，半径为，则由题意可得∴，当且仅当时,即时取等号，∴当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取得最小值32.故选：B.10、C【解题分析】直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可．【题目详解】圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为．故选C．【题目点拨】本题考查扇形圆心角的求法，是基本知识的考查．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围【题目详解】由题意可知，的定义域为R，因为，所以为奇函数.因为，且在R上为减函数，所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数.又，所以，所以，解得.故答案为：.12、【解题分析】把已知的两个等式两边平方作和即可求得cos（α﹣β）的值【题目详解】解：由已知sinα+sinβ＝1①，cosα+cosβ＝0②，①2+②2得：2+2cos（α﹣β）＝1，∴cos（α﹣β），故答案为点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题13、【解题分析】利用换元法，将变为，然后利用三角恒等变换，求三角函数的值域，可得答案.【题目详解】由，得，可设，故，不妨取为锐角，而，时取最大值），，故函数的值域为，故答案为:.14、【解题分析】先利用偶函数的性质将不等式化简为，再利用函数在上的单调性即可转化为，然后求得的范围.【题目详解】因为为R上偶函数，则，所以，所以，即，因为为上的减函数，，所以，解得，所以，的范围为.【题目点拨】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为与大小比较的形式：；（2）利用函数单调性将转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.

偶函数的性质：；奇函数性质：；

若在D上为增函数，对于任意，都有；若在D上为减函数，对于任意，都有.15、27【解题分析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m的值，再求【题目详解】由于奇函数的定义域必然关于原点对称∴m＝3，故f（m）＝故答案为27【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性，利用了奇函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题16、【解题分析】由偶函数的对称性，将转化为，再根据二次函数的对称性及对数函数的性质可进一步转化为，结合利用二次函数的性质即可求解.【题目详解】解：因为函数有8个零点，所以直线与函数图像交点有8个，如图所示：设，因为函数是定义在的偶函数，所以函数的图像关于轴对称，所以，且由二次函数对称性有，由有，所以又，所以，所以，故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解题分析】（1）在单位圆中画出角的正切线，观察随增大正切线的值得变化情况，再观察时，正切线的值随增大时的变化情况，发现正切函数在区间上单调递增.（2）当是锐角时，有，由此得到.解析：（1）当时，增大时正切线的值越来越大；当时，正切线与区间上的情况完全一样；随着角的终边不停旋转，正切线不停重复出现，故可得出正切函数在区间上单调递增；由题意知正切函数的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角和，它们的终边关于轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，即，得出正切函数为奇函数.（2）如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，又因为，所以，又，而，故即.点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具，它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.18、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）先证明AC⊥BE,再取的中点，连接，经计算，利用勾股定理逆定理得到AC⊥BC,然后利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）利用线面垂直的判定定理证得CM⊥平面BEF,即为所求三棱锥的高，进而计算得到其体积.【题目详解】解：（1）证明：∵四边形为矩形∴∵平面∴平面∵平面∴.如图，取的中点，连接，∴∵，，∴四边形是正方形.∴∴，∵∴∴是直角三角形∴.∵，、平面∴平面（2）由（1）知：∵平面，平面∴∵，、平面∴平面，∴平面即：是三棱锥的高∴【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，棱锥的体积的计算，属基础题.在利用线面垂直的判定定理证明线面垂直时一定要将条件表述全面，“两个垂直，一个相交”不可缺少.19、（1）（2）证明见解析.【解题分析】（1）把已知条件转化成大于在上的最小值即可解决；（2）先求导函数，判断出函数的单调区间，图像走势，再判断函数零点，隐零点问题重在转化.【小问1详解】由得，则在上单调递增，在上最小值为若，成立，则必有由，得故实数的取值范围为【小问2详解】在上单调递增，且恒成立，最小正周期，在上最小值为由此可知在恒为正值，没有零点.下面看在上的零点情况.，，则即在单调递增，，故上有唯一零点.综上可知，在上有且只有一个零点.令，则，令，则即在上单调递减，故有20、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】（1）欲证：平面，根据直线与平面平行的判定定理可知，只需证与平面内一条直线平行，连接，可知，则，又平面，平面，满足定理所需条件；（2）欲证：平面平面，根据面面垂直的判定定理可知，在平面内一条直线与平面垂直，而平面，平面，则，，满足线面垂直的判定定理则平面，而平面，满足定理所需条件【题目详解】（1）证明：连接，在正方体中，对角线，又因为、为棱、的三等分点，