基于排队论的货运站内货物量的计算

基于排队论的货运站内货物量的计算

1货物到达模式队列理论在交通和物流领域得到广泛应用，尤其是对交付和服务的全面管理，可以更好地模拟交通、货运和物流的现象。在这项工作中，基于队列理论，本文建立了一个货运站的排队模型，并对货物的到达形成了一个全面的泊松过程。卡车的数量每次都有限。它不允许卡车超载，也不允许卡车在超载后出发。物流模型通常分布在行驶时间。2货物到达数量1)到达货运站的货物形成一个复合齐次泊松过程,即货物的到达形成一参数为λ的泊松过程,在同一时刻到达的货物数量(批量)是一正整数值随机变量X,其分布是P(X=i)=ci,i=1,2,…,且EX2<∞.各批到达的货物数量相互独立.2)每辆货车每次装载的货物数量限为N.不允许超载也不允许不满载就发车.若货车到达货运站时,货运站内待运的货物数量大于或等于N,则该货车装运前N件货物离开货运站;若货运站内待运的货物数量小于N,则该货车在货运站等待,直到货运站内的货物数量大于等于N时才装运前N件货物离开货运站.3)货车到达货运站时且货运站内待运的货物数量大于等于N时,开始装车,装车时间S服从一般分布,其分布函数、密度函数、风险率函数分别记为A(x),a(x),.S有有限的一阶矩和二阶矩.5)以上各随机变量相互独立.以下我们记.3第n辆货运站内待运货物数量nn东南角将前一辆货车离开货运站时刻看做服务开始时刻,后一辆货车到达货运站时刻看做服务结束时刻,则本模型相当于一个M/G/1排队系统,而M/G/1排队系统的再生点为顾客服务完离开系统时刻,故考虑货车到达货运站时刻嵌入马氏链.令{tn,n∈N}表示第n辆货车到达货运站时刻,则{Nn=N(tn+0),n∈N}为状态空间N上的嵌入马氏链(见文献).定理1以{Nn,n∈N}表示第n辆货车到达货运站时货运站内待运的货物数量,则{Nn,n∈N}是遍历的,当且仅当不等式ρ=λEX(ES+EB)<N成立.证明由文献可知{Nn,n∈N}为一个不可约、非周期的马氏链,由Forster准则:一个不可约、非周期的马氏链是遍历的,当且仅当存在一个非负函数f(j),j∈N及ε>0,使得:令f(j)=j,则有:故若不等式λEX(ES+EB)<N成立,由Forster准则知,嵌入马氏链{Nn,n∈N}为遍历链.若嵌入马氏链满足Kaplan条件,且对任意j∈.N,有xj<∞,存在j0∈N,当j≥0时有xj≥0,则嵌入马氏链{Nn,n∈N}为非遍历链.由于存在k=1使得当j<i-k,i>0时,有rij=0,其中R=(rij)为{Nn,n∈N}的一步转移概率矩阵,故满足Kaplan条件.若有不等式λEX(ES+EB)>N成立,则显然对任意的j≥1,有xj<∞且存在一个j0∈N对任意j≥j0有xj≥0,故马氏链{Nn,n∈N}为非遍历链,因此若马氏链{Nn,n∈N}为遍历链,则不等式λEX(ES+EB)<N成立.证毕.注即要使系统稳态存在,必须相邻两辆货车离开货运站的时间间隔内新产生的平均待运货物数量小于运输车辆最大装载量.4货物到达过程中,货物运输过程中c令N(t)为时刻t货运站的货物总数量(包括装车时车上的货物量).令C(t)为系统在时刻t所处的状态.C(t)=0表示时刻t货车在货运站等待货物的到来;C(t)=1表示时刻t在装货;C(t)=2表示时刻t上一辆货车已发车,货物在等待下一辆货车的到来.定义ξ(t)如下:1)若C(t)=1,ξ(t)表示已逝去的装车时间;2)若C(t)=2,ξ(t)表示已逝去的运输时间,则{C(c),N(t),ξ(t),c≥0}是一个向量马氏过程(见文献).记由于货物的到达过程为Poisson流,由Burke定理知,马尔可夫过程{C(t),N(c),ξ(c),t≥0}的稳态概率分布存在当且仅当λEX(ES+EB)<N成立.当λEX(ES+EB)<N时,我们记根据过程的转移规律,可得到系统的稳态方程组:为了解上述方程,我们定义下面的母函数:由(2)式得到:由(3)式得到:由(5)式得到:由(1)式和(4)式得到:解(7)式和(8)式分别得到:将(11)式代入(9)式得到:将(12)式代入(10)式得到:联立(13)式和(14)式可解得:由(13)式和(15)式得到:将(15)式代入(12)式得到:将(16)式代入(11)式得到:下面我们求V(z):记在货车等待货物期间,某批货物到达货运站时,货运站已有n件货物的概率为πn,则πn满足:所以Vn,n=0,1,…,N-1,满足:Vn=K0πn,n=0,1,…,N-1.其中K0是归一化常数.为了确定K0,我们利用归一化条件(6)得到:,其中ρ=λEX(ES+EB).从而将(19)式代入(17)式和(18)式可分别得到:5货物数量分布的母函数定理2在稳态下,任意时刻货运站货物量(包括装车时车上的货物量)分布的母函数定理3在稳态下,货车刚到达货运站时,货运站内待运的货物数量分布的母函数证明记Πj是货车刚到达货运站时,货运站内待运的货物数量恰好等于j的概率,则Πj=L0Fj(x)μ(x)dx,其中L0是归一化常数.由(17)式得到:利用归一化条件Ξ(1)=1,得到:,将此表达式代入上式,立即得到(23)式.推论1令L是稳态下,任意时刻货运站内待运的平均货物数量,则推论2令L+是稳态下,货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量,则6任意时段货运站内待运的平均货物数量l+的增长首先假设货物批量服从几何分布,即ck=(1-p)pk-1,k≥1.则可得到它的母函数.再假设S和B都服从指数分布,其均值,有有限二阶矩.令μ1=10,μ2=1,p=0.5.则可得到EX=2,EX2=6,ES=0.1,ES2=0.02,EB=1,EB2=2,.由图1可以看出,当11<N≤22.5967时,任意时刻货运站内待运的平均货物数量L随着N的增长而急速减少;当N>22.5967时,任意时刻货运站内待运的平均货物数量L随着N的增长而增加;当N=22.5967时,任意时刻货运站内待运的平均货物数量L最少(L≈11.618).由图2可以看出,当N比较小时,货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量L+随着N的增长而急剧减少;当N比较大时,货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量L+下降很平缓,且有.下面设N=50,由于ρ=λEX(ES+EB)=2.2λ,所以为了满足ρ<N,我们取λ≤22.得到图3,图由图3可以看出,当λ≤6.0061时,任意时刻货运站内待运的平均货物数量L随着λ的增长而缓慢减少;当λ>6.0061时,任意时刻货运站内待运的平均货物数量L随着N的增长而增加;当λ=6.0061时,任意时刻货运站内待运的平均货物数量L最少(L≈21.20335).由图4可以看出货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量L+随着λ的增长而增加.4)前一辆货车离开货运站到后一辆