金融数学(利息理论)复习题练习题

./某人借款1000元,年复利率为9%,他准备利用该资金购买一3年期,面值为1000元的国库券,每年末按息票率为8%支付利息,第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值,如果该债券发行价为900元,请问他做这项投资是否合适？已知：1求2求由于由于假设银行的年贷款利率12%,某人从银行借得期限为1年,金额为100元的贷款。银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。试分析两种还款方式有何区别？哪一种方案对借款人有利？设,按从小到大的顺序排列解：由,两项基金X,Y以相同的金额开始,且有：〔1基金X以利息强度5%计息；〔2基金Y以每半年计息一次的名义利率j计算；〔3第8年末,基金X中的金额是基金Y中的金额的1.5倍。求j.已知年实际利率为8%,乙向银行贷款10,000元,期限为5年,计算下列三种还款方式中利息所占的额度：1贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清；2每年末支付贷款利息,第五年末归还本金；3贷款每年年末均衡偿还〔即次用年金方式偿还。三种还款方式乙方支付的利息相同吗?请你说明原因？7.某人在前两年中,每半年初在银行存款1000元,后3年中,每季初在银行存款2000元,每月计息一次的年名义利率为12%计算5年末代储户的存款积累值。期末付款先由1到递增付款,然后再由到1的递减付款形成的变额年金称为虹式年金,试求付款期利率为的虹式年金的现值和终值。解：现值为：同理可证终值公式。固定养老保险计划：责任：未退休时,每月初存入一定金额〔养老保险金,具体方式：25岁—29岁,月付200元,30岁39岁,月付300元,40岁—49岁,月付500元,50岁—59岁,月付1000元,权益：从退休时〔60岁,每月初领取元退休金,一直领取20年。问题：在给定年利率,分别计算从25,30,40,50岁参加养老保险,60岁以后月退休金为多少？查表可得：,,,,。10．某人继承一笔遗产：从现在起每年初可得10000元。该继承人以10%年利率将以产收入存入银行,到第五年底,在领取第六年年金之前将遗产的权益转卖给他人,然后将前五年的存款收入取出并和转卖收入一并做一项年收益率为12%的投资项目。若每年底的投资回报是相同的,项目有效期为30年。求投资人每年的回报金额。11．考虑下列两种等价的期末年金：A：首付6000元,然后每年减少100元,直到某年〔k,然后保持一定付款的水平直到永远；B：每年底固定付款5000元；如果年利率为6%,试求k〔近似整数。解：方法一：价值等式：解得,查表得方法二：价值等式：注意到解得查表得答：。12．某人退休一次性获得退休金元,它将其中的一部分用于投资回报率为的永久基金,另一部分用于投资回报率为的十年期的国债。已知他前十年的收入是后十年的两倍,试确定他投资于永久基金占总退休金的比例。13．某汽车销售商计划采取以下两种零售策略：若一次性付清车款,零售价格为2万元；或以年利率10%,提供4年分期付款〔按月付款。如果目前市场上,商业零售贷款月换算的年名义利率为12%,试分析两种零售策略那种对消费者更优惠？14．十万元的投资每年底收回一万元,当不足一万元时将不足一万元的部分与最后一次的一万元一次收回。如果每半年接转一次利息的年名义利率为7%,试求收款次数和最后一次的收款金额。15．考虑一个十年期的投资项目：第一年初投入者投入10000元,第二年初投入5000元,然后每年初只需投入维修费1000元。该项目期望从第六年底开始有收益：最初为8000元,以后每年递增1000元。用DCF法计算该投资项目的价值。特别如果贷款利率为10%,该项目是否有投资价值？16．某项10年期贷款,年利率为8%,如果还款额同时以年利率为7%在投资,求下列情况下的实际收益率：1到期一次还清；2每年还利息,到期还本金；3每年等额分期偿还。17．某基金投资者：每年初投入一定本金,共投资10年。基金本身的年回报率为7%,年底支付。分别对再投资利率为5%和8%两种情况下,讨论投资者的实际收益率。18．讨论下列模型假设下得再投资的实际收益率：1每年末〔一个计息期投资1单位资金,每年〔一个计息期的直接投资收益率为；2投资的回报方式为：逐年〔一个计息期收回利息,结束时收回本金；3同时将每年的利息收入以再投资利率为进行再投资。资金流程图如下：19．投资者购买以下五年期的金融产品：1每年底得到1000元；2每年的收入可按年利率4%再投资且当年收回利息。如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资,实际年收益率为4%。求该金融产品的购买价。20．某投资者连续五年每年向基金存款1000元,年利率5%,同时利息收入可以年利率为4%投资。给出第十年底的累积余额表达式。21．1万元的贷款计划20年分年度还清,每年底还款1000元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率为5%投资,计算贷款方的实际收益率。22．某活期存款账户年初余额为1000元,4月底存入500元,六月底和八月底分别提取200元和100元,年底余额为1236元,求该储户的年资本加权收益率。23．某投资账户年初余额为10万元,5月1日的余额为11.2万元,同时投资3万元,11月1日余额将为12.5万元,同时提取4.2万元,在下一年的1月1日又变为10万元。分别用资金加权和时间加权求投资收益率。24．某基金由两个投资人,甲年初在基金中有资金1万元,年中又投入1万元,乙年初有2万元,上半年收益率为10%,下半年收益率为20%,利用投资组合法计算甲乙应分得的收益。25．债券A,面值为,收益率为,无违约风险；债券B,面值为,收益率为,违约概率为〔,如果违约发生则到期债券的价值为0,即债券B在到期时的价值为随机变量。问题：在什么条件〔,,,,满足什么关系下,债券A和债券B对投资者来说有相同的期望收益？分析：要使两债券在到期时有相同的期望收益,两债券期末的期望本利和应相同,所以应有关系：即：26．某按月摊还的债务,年实际利率为11%,如果第三次还款中的本金量为1000元,计算第33次还款中本金部分的金额。27．某借款人借款2000元,年利率为10%,要求两年还清。借款人以偿债基金方式还款：每半年向基金存款一次,而且存款利率为季度挂牌利率8%,求每半年应偿债基金的存款额。并构造偿还表。28．假设一笔贷款期限为5年,贷款利率为10%,如果贷款人计划每年末的总付款额为：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。基本概念：实际利率、单利法、复利法、均衡利率、单位度量期上贴现次贴现值的名义贴现率、单位度量期上结转次利息的名义利率、实际贴现率、标准年金、变额年金、永续年金、年金现值、永续年金的现值、年金终值、变动利率年金、支付利率原则、经历利率原则、利息结转周期、支付周期、投资项目的收益率、涵报酬率、利率水平是受债券或货币的供求关系影响,决定利率水平的两种理论模型：可贷资金模型和流动性偏好模型。一般情况下,在其他条件不变的情况下,收益率曲线随期限变化的规律是：期限越长,收益率越大,收益率是关于期限的单调增函数,或者说：长期利率大于短期利率。常见的用于解释利率期限结构的理论模型有纯粹预期假设、流动性偏好假设、市场分割假设、区间〔完全偏好假设等。影响债券供给曲线的因素：经济周期、预期通货膨胀率、政府活动规律。影响债券需求曲线的主要因素有：经济周期、价格风险、流动性、预期利率、预期通货膨胀率。涵报酬率可以用来对投资项目进行评价：当涵报酬率大于投资者预先设定的利率时,投资项目可行。投资收益率的计算方法主要有：币值加权平均法和时间加权平均法。投资收益的分配方法主要有：投资额法〔投资组合法和投资年法当债券存在违约风险时,对风险的补偿方式有：提高收益率和降低发行价。按照利息的支付方式不同债券可分为：零息债券和附息债券。影响债券价格的主要因素有：债券的到期时间、债券的息票率、可赎回条款、通货膨胀调整、税收待遇、债券的流动性、违约风险。债券的发行方式有：溢价发行、折价发行、平价发行。已知：1求2求由于由于设,按从小到大的顺序排列解：由关于单调减,而关于单调增,又由于期末付款先由1到递增付款,然后再由到1的递减付款形成的变额年金称为虹式年金,试求付款期利率为的虹式年金的现值和终值。解：现值为：同理可证终值公式。11．考虑下列两种等价的期末年金：A：首付6000元,然后每年减少100元,直到某年〔k,然后保持一定付款的水平直到永远；B：每年底固定付款5000元；如果年利率为6%,试求k〔近似整数。解：方法一：价值等式：解得,查表得方法二：价值等式：注意到解得查表得答：。两项基金X,Y以相同的金额开始,且有：〔1基金X以利息强度5%计息；〔2基金Y以每半年计息一次的名义利率j计算；〔3第8年末,基金X中的金额是基金Y中的金额的1.5倍。求j.解：设两基金开始金额为单位1。第八年末基金X的累计终值为：第八年末基金Y的累计终值为：由,解方程求出即可。已知年实际利率为8%,乙向银行贷款10,000元,期限为5年,计算下列三种还款方式中利息所占的额度：1贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清；2每年末支付贷款利息,第五年末归还本金；3贷款每年年末均衡偿还〔即次用年金方式偿还。三种还款方式乙方支付的利息相同吗?请你说明原因？解：本题从投资者的还款角度来考虑,不考虑还款人的机会成本。并假定贷款利率和年实际利率相同。1一次还清,期末累计值为：利息金额为：元2每年支付的贷款利息为：10000元5年支付的总利息金额：4000元3每次偿还金额：2504.56总的还款金额2504.56=12522.8利息金额为：2522.8元为什么会不一样呢？28．假设一笔贷款期限为5年,贷款利率为10%,如果贷款人计划每年末的总付款额为：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。解：分期偿还法计算的还款金额：〔元偿债基金法：假设原始贷款额为,则每年的利息金额为,每年向偿债基金的存款额为,这些储蓄额按偿债基金利率的累积值应为原始贷款本金,所以有,,代入解得：〔元但是上述计算有问题,因为贷款人第一年支付的总金额〔1000元不足以偿还当期的利息金额〔1052.469元这是需要将不足支付利息的部分〔1000-10052.469=-52.469按10%的贷款利率本金化。相当于在第一年末还过1000元后,本金额又增加了52.469元。假设原始贷款额为,第一年末还1000元后的贷款净额为：,所以以后4年,每年向偿债基金的存款额已分别为：,,,,而这些存款案偿债基金利率积累的期末值应为,即：,,代入解得：〔元所以元。某人借款1000元,年复利率为9%,他准备利用该资金购买一3年期,面值为1000元的国库券,每年末按息票率为8%支付利息,第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值,如果该债券发行价为900元,请问他做这项投资是否合适？解：设在券的收益率为则有求出与借款利率9%比较。大于9%