江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期第一次调研数学试卷

2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县九年级第一学期第一次调研数学试卷一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分.）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x（x+1）＝x2 B．（x﹣1）（x+2）＝ C．x2+bx+c＝0 D．x2﹣2xy+y2＝02．已知3a＝2b（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A． B． C． D．3．已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．能判定△ABC∽△DEF的条件是（）A．＝ B．＝，∠A＝∠F C．＝，∠B＝∠E D．＝，∠A＝∠D5．若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程ax2﹣2bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断6．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．135° B．90° C．60° D．45°7．已知关于x方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是（）A．x1＝﹣2，x2＝﹣1 B．x1＝2，x2＝1 C．x1＝6，x2＝﹣1 D．x1＝6；x2＝18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）9．关于x的一元二次方程x2＝3x的解为．10．已知＝，则的值为．11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为．12．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若线段AB的长10cm，则线段AC的长为．13．已知m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣2021＝0的根，则代数式m2﹣4m﹣2n+2023的值为．14．在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为米．15．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是．16．如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若＝，则＝．17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝．18．如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是．三.解答题：（本大题共10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．解下列方程（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2．20．如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（，），C′（，）；（2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（，）．21．已知如图，直线AD∥BE∥CF，＝，DE＝6，求EF的长．22．小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆AB的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长BC为6米，留在墙上的影高CD为3米，请利用以上信息，求旗杆AB的高度．23．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．24．新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．（1）若降价2元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？25．已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．26．如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．27．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：（1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，求的值．（2）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得？若存在，求出该式的k值，若不存在，请说明理由．28．在四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE＝CF；（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，成立？并证明你的结论．

参考答案一.选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题纸相应位置上）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x（x+1）＝x2 B．（x﹣1）（x+2）＝ C．x2+bx+c＝0 D．x2﹣2xy+y2＝0【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．解：A．x（x+1）＝x2整理可得x＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；B．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；C．x2+bx+c＝0，是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；D．x2﹣2xy+y2＝0是二元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．已知3a＝2b（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A． B． C． D．【分析】根据比例的性质进行变形，再判断即可．解：A、∵3a＝2b，∴两边都除以3b得：＝，故本选项不符合题意；B、∵3a＝2b，∴两边都除以2a得：＝，故本选项符合题意；C、3a＝2b，∴两边都除以2a得：＝，故本选项不符合题意；D、∵3a＝2b，∴两边都除以6得：＝，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，能熟练地运用比例的性质进行变形是解此题的关键．3．已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2+2x1x2的值．解：根据题意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2．故选：D．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，．4．能判定△ABC∽△DEF的条件是（）A．＝ B．＝，∠A＝∠F C．＝，∠B＝∠E D．＝，∠A＝∠D【分析】根据相似三角形的判定条件：两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形的相似，进行判断即可．解：A、当时，不能判定△ABC∽△DEF，故A不符合题意；B、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故B不符合题意；C、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故C不符合题意；D、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形的相似．5．若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程ax2﹣2bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断【分析】由b是a和c的比例中项，得出b2＝ac，再进一步由一元二次方程ax2+2bx+c＝0根的判别式探讨得出答案即可．解：∵b是a和c的比例中项，∴b2＝ac，∵一元二次方程ax2﹣2bx+c＝0根的判别式：（﹣2b）2﹣4ac＝4b2﹣4ac＝0，∴一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根．故选：B．【点评】此题考查根的判别式的运用，以及比例中项的意义，注意整体代入思想的渗透．6．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．135° B．90° C．60° D．45°【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．解：∵AB＝、AC＝，BC＝5，DE＝、EF＝2，DF＝，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等．7．已知关于x方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是（）A．x1＝﹣2，x2＝﹣1 B．x1＝2，x2＝1 C．x1＝6，x2＝﹣1 D．x1＝6；x2＝1【分析】设t＝x﹣4，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0变为t2+bt+c＝0，根据方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，得x﹣4＝2或﹣3，即可求出方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根．解：设t＝x﹣4，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0变为t2+bt+c＝0，∵方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，∴t＝2或﹣3，∴x﹣4＝2或﹣3，∴x＝6或1，∴方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是x1＝6，x2＝1．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键．8．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（）A． B． C． D．【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得到CD＝BD＝4，AG＝2GD，再证明GE∥CD，则可判断△AEG∽△ACD，然后利用相似比可求出EG的长．解：延长AG交BC于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，而∠C＝90°，∴GE∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴＝＝＝，∴EG＝CD＝×4＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）9．关于x的一元二次方程x2＝3x的解为x1＝0，x2＝3．【分析】利用因式分解法解方程．解：x2＝3x，x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，解得：x1＝0，x2＝3．故答案为：x1＝0，x2＝3．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10．已知＝，则的值为．【分析】根据合比性质，可得答案．解：＝，则＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用和比性质是解题关键．11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为．【分析】根据两根之和等于﹣，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，设方程的另一根为t，∴1+t＝，∴t＝，即另一个根为．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．12．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若线段AB的长10cm，则线段AC的长为（5﹣5）cm．【分析】根据黄金分割的定义得AC＝AB，代入AB的长计算即可．解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝10cm，∴AC＝AB＝×10cm＝（5﹣5）cm，故答案为：（5﹣5）cm．【点评】本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．13．已知m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣2021＝0的根，则代数式m2﹣4m﹣2n+2023的值为4040．【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出m2﹣2m＝2021，m+n＝2，将原式化简求值即可．解：∵m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣2021＝0的根，∴m2﹣2m＝2021，m+n＝2，∴m2﹣4m﹣2n+2023＝m2﹣2m﹣2（m+n）+2023＝2021﹣2×2+2023＝4040，故答案为：4040．【点评】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．14．在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为1米．【分析】设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20﹣x）米，宽为（10﹣x）米的长方形，根据“剩下部分种植蔬菜，种植蔬菜的面积为171平方米”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．解：设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20﹣x）米，宽为（10﹣x）米的长方形，根据题意得：（20﹣x）（10﹣x）＝171，整理得：x2﹣30x+29＝0，解得：x1＝1，x2＝29（不符合题意，舍去），∴小道的宽为1米．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．【分析】根据一元二次方程有实数根，可得b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0，解得k≤1，又∵kx2﹣6x+9＝0是关于x的一元二次方程，∴k≠0，∴k≤1且k≠0，故答案为：k≤1且k≠0．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．16．如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若＝，则＝．【分析】△OA1N∽△OA2M，根据三角形相似比的平方等于面积比，即可求解．解：分别过点A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为M、N，则△OA1N∽△OA2M，∵＝，即两个三角形的相似比为3：2，则△OA2M和△OA1N的面积比为：9：4，而＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，利用三角形相似比的平方等于面积比是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝．【分析】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，根据平行线的性质得出∠ECA＝∠CAO，根据题意得出∠BCE＝∠CAO，通过解直角三角形得到tan∠CAO＝＝tan∠BCE＝，即可得到，解得即可．解：作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，∵CE∥OA，∴∠ECA＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCE＝∠CAO，在Rt△CAD中，tan∠CAO＝，在Rt△CBE中，tan∠BCE＝，∴＝，即，解得n＝，故答案为．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，解直角三角形等，证明∠BCE＝∠CAO，得出＝是解题的关键．18．如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是6≤AP＜8．【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜8；如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0＜AP≤8；如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，∴CP＝2，AP＝6，∴此时，6≤AP＜8；综上所述，AP长的取值范围是6≤AP＜8．故答案为：6≤AP＜8．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．三.解答题：（本大题共10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．解下列方程（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2，（x﹣3）2﹣（2x﹣1）2＝0，[（x﹣3）+（2x﹣1）][（x﹣3）﹣（2x﹣1）]＝0，∴3x﹣4＝0或﹣x﹣2＝0，∴x1＝，x2＝﹣2．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．20．如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；（2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（﹣2x，﹣2y）．【分析】（1）延长BO，CO，根据相似比，在延长线上分别截取AO，BO，CO的2倍，确定所作的位似图形的关键点A'，B'，C'再顺次连接所作各点，即可得到放大2倍的位似图形△OB'C'；再根据点的位置写出点的坐标即可；（2）M′的坐标的横坐标、纵坐标分别是M的坐标的2倍的相反数．解：（1）如图B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）（2）M′（﹣2x，﹣2y）．【点评】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．21．已知如图，直线AD∥BE∥CF，＝，DE＝6，求EF的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，求出DF，再根据EF＝DF﹣DE即可得出结果．解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵＝，DE＝6，∴DF＝9，∴EF＝DF﹣DE＝9﹣6＝3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．22．小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆AB的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长BC为6米，留在墙上的影高CD为3米，请利用以上信息，求旗杆AB的高度．【分析】过D作DE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BC＝DE＝6，CD＝BE＝3，设AE＝x，则＝，求出x即可解决问题．解：过D作DE⊥AB于E，∵DC⊥BC，AB⊥BC，∴∠EBC＝∠DCB＝∠DEB＝90°，∴四边形DCBE为矩形，∴BC＝DE＝6，CD＝BE＝3，设AE＝x，∴＝，解得：x＝7.5，∴旗杆的高AB＝AE+BE＝7.5+3＝10.5米．【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长＝定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．【分析】（1）根据△≥0，列出不等式，解不等式即可；（2）利用根与系数的关系，把问题转化为方程即可解决问题；解：（1）由题意△≥0，∴4（k﹣2）2﹣4k2≥0，∴k≤1．（2）∵x1+x2＝2（k﹣2），x1x2＝k2，∴2（k﹣2）＝1﹣k2，解得k＝﹣1+或﹣1﹣，∵k≤1，∴k＝﹣1﹣．【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．（1）若降价2元，则平均每天销售数量为24件；（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？【分析】（1）根据平均每天销售量＝20+2×降低的价格，即可求出结论；（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：（1）20+2×2＝24（件）．故答案为：24．（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．当x＝20时，40﹣x＝20＜25，∴x＝20舍去．∴定价＝80﹣10＝70（元）答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．【分析】设EF＝x，则GF＝2x．根据GF∥BC，AH⊥BC得到AK⊥GF．利用GF∥BC得到△AGF∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值，进而求得矩形的周长．解：设EF＝x，则GF＝2x．∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝．∵AH＝6，BC＝12，∴＝．解得x＝3．∴矩形DEFG的周长为18．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，难度适中．26．如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC＝10，由于∠PCQ＝∠ACB，根据三角形相似的判定，当∠PQC＝∠B时可判断CQP∽△CBA，利用相似比得到＝；当∠PQC＝∠BAC时可判断△CQP∽△CAB，利用相似比得到＝，然后分别解方程求出t的值即可；（2）作PH⊥BC于H，如图，先证明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH＝，再利用四边形ABQP与△CPQ的面积相等得到S△ABC＝2S△CPQ，利用三角形面积公式得到2••t•＝•6•8，然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝＝＝10（cm），∵∠PCQ＝∠ACB，∴当∠PQC＝∠B时，△CQP∽△CBA，则＝，即＝，解得t＝；当∠PQC＝∠BAC时，△CQP∽△CAB，则＝，即＝，解得t＝；∴t为s或s时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似；（2）四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．理由如下：作PH⊥BC于H，如图，∵PH∥AB，∴△CPH∽△CAB，∴＝，即＝，∴PH＝（cm），当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时，S△ABC﹣S△CPQ＝S△CPQ，即S△ABC＝2S△CPQ，∴2••t•＝•6•8，整理得t2﹣5t+20＝0，此时方程无实数解，∴四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．熟练应用相似比计算线段的长．27．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：（1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，求的值．（2）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是