现代信号处理第3变换

⼩波分析的应用领域十分广泛，它包括小波分析的应用领域十分广泛，它包括在医学成像方面的减少B超、CT有了傅立叶变换，我们可以很容易地将时域信号f(t)转换到频200年里，傅立叶分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用，有了傅立叶变换，我们可以很容易地将时域信号f(t)转换到频号的前面几项，这种能量集中性有利于进一步的处理。在过去200年里，傅立叶分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用，歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在哪一时刻有低音，因此结果是所有的

fte f(t)=

fte

f(t)

X(W)

x[n]e-jW

p2p-pX()

n

x[n]

x[n]

1

X

jndX[k]

-j2pN

= ,

=0,1,...,N-

1N-

1N-x[n]=X[k]eN

XkW X[k]

N

j2nk

N ,N

0,1,...,N1x[n]

1NX[k]e

1N1 Xk

nk,

N

F(t)fiF2pf(-w)f(t-a)fiFF(w)e-F(t)2ff

a)

F()e

Ff(t)*f(t)fiF(w)F(w)F f f

FfiF(w)*F(w) 2p f(t)*f(t)F

f(t)f(t) 1F()

+¥f(t)f*(t)dt

F(w)F*(w-¥ 2p-¥ tt

f(t)2dt=1

2 2

F(

)2 2p- f(t)f*(t)dt F()F*()d 2

f1t

f2t

1f(t)2dt1

F()2d

F(

)2元，是在能量有限空间L2(R上满足允许条件的函数，这样认识小波需要L2(R空间的基础知识，特别是内积空间中空f

2 元，是在能量有限空间L2(R上满足允许条件的函数，这样认识小波需要L2(R空间的基础知识，特别是内积空间中空一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间tf(t)

2

y0£f(x,y)£图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。从y0f(x,y)

xx傅里叶（Fourier)分析

f

(x)

f(x)

dxxx1

nk nx 2x kk x

maxk1kk

,gL2f,

f(x)g*(x)dx

Rn

,g

f(

fn),

(g1,g2,...gnnf,g

...

fn

fiL2(R)={f

+¥f(x)

dx<¥} x1=k 2x2= k

X ae(t),t,aR,kZ X{ek(tX

¥ =max¥

ak的取值是惟一的。此时k(t)}Xx

，则称x,yxy

L2"f<f,

f(x)g*(x)dx例2：在nRn，"f,g˛ f=(f1,f2,...,fn),g=(g1,g2,...gnn<f,g>=f1g1+...+fn =

fi若内积空间

e,

(mn)

0,m

m则称{en}为

x

x

x,

2x22

x, 设{ek(t)}X ae(t),t,a˛R,k˛ 线性组合构成的集合，则称X为 X=span{ekF()

f(t)

jtdt

f(t),ejtfn

f,

{ek(t)}线性无关，则g˛X，式中ak的取值是惟一的。此时k(t)}就称为空间X的一组基底。积<x,y>=0 为x^y。ftfa

aF 若内积空间 <e,e>=d(m-n)=0,m„ 则称{en}为

故"x˛ x=

x, >x2 （傅里叶→小波

x, Fg(,w)

f(t)g(t

)eF(w)

f(t)e-jwtdt=<f(t),ejwtf=n

f, f

ta

aF(aw)时域-¥¥

f(t)g(t-t)e-性能的时域和频域的二维联合(t,)维联合分析。信号从一维时域f(t)F(t,)

f

g(t)

g(t

ff0g(t)fg(t)f(t)0t性能的时域和频域的二维联合(t,w)表示，或者说必须F

{G(在特定频率段（频带）f(t)1946年，Gabor提出了窗口傅里叶:

g(t)0。Gabor在最初的处理中采用的时Gauss2)2

1e函数

b)}的窗函数g(t) 与原信号f(t) 局部化的函数。先选定一个基本窗函数g(t)，然后将g(t)沿时间轴平移得到一组窗函数，{g(t-b)}b˛其中b为时间位移。平移后的窗函数分别与原信设g(tL2

0

g(t)

g(t)

Gf(,b)

f(t)g(t

b)e

g(t)

t

t

ff0 00f

t

tb此

t

Gf(,b)

f(t)g(t

b)e

t

t

g(tL2(R) g(t)

下 tg(t) t0 g(t) 2 2

(tt0

g(t)

dt

g(t)2

g(t)

g(t)2dt2t0

g(t) t

(tt

1g(t)2 号F(w) 2.将g(t

p(t)

g(t)那么

和

tttt0

E(t)

g(t)22

2

t0)

t0

g(t)

dt

tt

t2

,

t

2某个小区间内衰减很小，而在区间外迅速衰减为0。-) 函数{g(t-b)}。 2在以t0为中心、左右各为 2内的频率特性。窗口宽度为t

tt

设g(t)˛L2 ，即0<-

2

<+¥且g(t) 为实对称函数，则信号f(t)的窗口傅Gf(w,b)

f

-b)e-其中，g(t) t=0附近，在远离t=0 定义1[1]函数(t)L2(R称为基本小波，如果它满足以下的“允

dt

如果

0

(t)dt

f(t)g(t)t0附近的信息g(tb)是将窗函数平移到tb，因此f(t)g(tbtb附近的信号Gf(w,b)

f

-b)e-tb

b a,b(t)

,b

f(t),a,b(t)

将a,ba

2

k，j,k

在窗函数满足g(t˛L2(R)0

2

tg(t)

22

f)(j,k)j

f

j,k

(t)

j,k

(t)

22(2j

kjk

总结：小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到对象的任何细节，所以被称为“数学显微镜”。小波分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领1 (t-t)2 dt

g(t)

2

g(t)=

g(t)2dt=12t0=-¥

s=+¥(t-t

g(t)2

1t tb相当于使镜头相对于目标平行移动，a的所用相当于将g(t2p(t)g(t那么

和s2tttt0=E(t)

tg(t)2s2 -

1

)]=

2dt

f

ff

sin(2t);a12sin(4t);a14

-

2,

+st 2f

(t);aff

(2t);a12(4t);a14此，t0可以理解为信号的平均时间或中心 在以t0为中心、左右各为s tt从物理意义上讲，t0 重心，s2 t定义1[1]函数y(t)˛L2(R称为基本小波，如果它满足以下的“允

如果)

y(t)dt= t-b ya,b(t)=a2y

,b˛ y) a=2-j，b=2-jk，j,k˛ (DWyf)(j,k)j

f(t),yj,k(t) yj,k(t)=22y(2jt-kjk˛ 总结：⼩波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到对象的任何细节，所以被称为“数学显微镜”。小波分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领1、多分辨分析1、多分辨分析(MRA)的概念j

(t)

2(2j

k)，j,kZ，t

如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ，在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}kZ构成V0子空间的Rieszb相当于使镜头相对于目标平行移动，a的所用相当于Riesz

j(t)

jZ

H,即

Hn

总存在j

l2

f(t)

cjj

j(t)

A

l2 c j

j

cjg

2 c2j

A和B分别称为Riesz基的上下界，Rieszff

=sin(2t);a1214=sin(4t);a1214定义1空间L2(R)中的多分辨分析是指L2(Rjj

单调性:

逼近性

Vj

L2(R);伸缩性

f(t)Vj

f(2t)Vj平移不变性

f(t)Vj

f

k)Vj

Z;f(t)=y(t);a=ff

=y(2t);a1214=y(4t);a1214j2数(t)V0，使得{(t-k)}kZ构成V0空间的规范正交基。由伸缩j2j,k

(2j

k)，j,

Z，t

f(tL2R)，则f(t)在每个VjVf V

f

j,k

j,k(t)

(t)并不是L2(R)空间的小波函数，而是与其紧密相关的尺度函数，{j,k(t)}j,kZ称为尺度基，多分辨空间序列{Vj}jZ称为尺度空间，在MRA意义下，可由尺度基导出小波基。由MRA的单调性可以看出：Vj是Vj+1的严格子空间，设Wj是Vj

Vj

Wj即满足:Vj

VjWjV

Wj显然Vj

j

Wj

于是Vj

l

显然L2R

limjjj

l

由于W

Vj，而V

Vj

Wj1，所以W

Wj

从图像处理的角度，多分辨空间的分解可以理解为图像的分解，假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成量化空间Vj中的

Vj1

在Vj-1空间中，还有一部分放在Wj-1空间，如图所示j2与尺度函数的产生一样，若存在(t)W0，使得{(t-k)}kZ构j2j,k(t)

(2j

k)

构成L2(R

j,k 小尺度afi压缩的小波fi快速变换的细节fi大尺度afi拉伸的小波fi缓慢变换的粗部fi

jyj,k(t)=22y(2jt-k)，j,k˛Z，t˛ 现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}j˛Z，在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t- ˛Z构成V0子空间MRA非常抽象，但是它给出了构造小波的一般框架。在实践中很难通过小波空间直接构造小波，但通过MRA可推导出一个非2(t)V0(t)W0(t)(t)

hk(2tk)kgk(2tk)k

方程(3.9)和(3.10)称为双尺度方程。由(thk

(t),(2t

k)

，k

gk

(t),

k)

，k

2

2

2

2

spangn

>总存在cj}˛l2f(

cjj=-n

gj(t)< "c

j=-¥

£

cjg

£Bc

其中

h2kk2k

g()

gk12k12

从信号处理的角度，h是与(t)对应的低通滤波器，g是与(t)对应的高同滤波器，{h，g}既可以表示为时域上的离散序列形式若k<0和k>N时，hk=0，这样的滤波器称为有限脉冲响应滤波器(FIR)，FIR滤波器具有好的局部化特性。此时，(t)只在有限区(t)

hk(2tNkN

k)

定义1空间L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)中的满足单调性 逼近性

=

伸缩性:f(t)˛Vj f(2t)˛Vj平移不变性:f(t˛Vjf(tk˛Vj,k˛由(3.13)

h h

2 2

24

4

2

4

8

8h2

2n

j

h2j

j (3.15)就可以计算出2周期函数h()，再由公式(3.19)就可以计尺度函数就可以计算出小波函数(t)。数(t)，并最终构造出小波函数(t)，但有两个问题必须解决：问题2：双尺度方程(3.9)的解是否满足关于问题1，I.Daubechies和Lagarias[7]在1991年给出了证

= j(2jt-k)，j,k˛Z，t˛ f(t˛L2R)，则f(t)在每个VjfV =

解决问题2却是一件非常困难的事情。这里牵涉到尺度函数(t)如果有一个L2(R)空间的尺度函数(t)程(3.9)，从而找到一组满足(3.9)的滤波器反过来，如果有一组滤波器{hk}kZ满足某个双尺度方程，由此求解得到的函数却不一定是满足MRA的尺度函数，这样无法保证双尺度方程解的平移构成L2(R)Riesz基若(t)是正交的，则相应的滤波器h定理1[3]若(t)是正交的，则相应的滤波器{hk}h()2

)2

h(0)

但是，如果{hk}仅仅满足(3.20)和(3.21)，并不能保证由双尺度j(t)并不是L2(R)空间的小波函数，而是与其紧密相关的尺度函数，{jj,k(t)}j,k˛Z称为尺度基，多分辨空间序列{Vj}j˛Z称为尺度空间，在MRA意义下，可由尺度基导出小波基。由MRA的单调性可以看出：Vj是Vj+1的严格子空间，设Wj是VjVj+1= ¯Wj即满足:Vj+1=VjWj，且V ^Wj

j

=Vj1¯Wj-1¯V¯j

¯

=外，还应满足其他条件。S.Mallat[4]，WLawton[6]等都在这方定理[x2]设h()是FIRh()2h()2h(0)

j

hkhj2ik，k

1

jN1于是Vj+1¯

算法：步骤1寻找满足双尺度方程(3.9)和(3.10)的滤波器{hk,gk}k0,1,…,N步骤2利用公式(3.15)计算2周期函数h()；步骤3验证h()h()2步骤4

)

1和h(0)1

h2jj 通过傅立叶反变换求出步骤5验证矩阵A的特征值1步骤6{(t-k)}kZ(3.10)显然L2RlimVjfi

=¯

{j由于Wj^Vj，而VjVj-1¯Wj-1，所以Wj^W{j故 3、小波与共轭镜像滤波器我们知道尺度函数和小波函数{(t),(t)}tR是在时域刻画信质。实际上，{(t),(t)}tR大量的性质都可以由对应的{h(),g()}R定义若尺度函数(t)是正交的，则它所对应的滤波器h()称为h()2

)2h(0)h()假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成量化空间Vj中的图像，则Vj =Vj-1¯Wj-1 与尺度函数的产生一样，若存在y(t)˛W0，使得{y(t-k)}k˛Z构yj,k(t)= y(2jt- 构成L2(R)空间的一个规范正交基。

j,k }}滤波器{hk}kZ称为低通滤波器。所谓低通是指：当信号f(t)g()2

)21

范正交基，而V0W0(tk),(t)由此可导出h()g()

1)

S.Mallat[4]同时给出了这样的结论：若高通滤波器g()(3.22)和(3.23)

2

2

gk

因此当找到低通共轭镜像滤波器{hk}kZ后，利用公式(3.25)马上总结：在一个MRA下的正交尺度函数和小波函数产生一组共轭镜像滤波器{h,g}h()2

)2g()2

)2

h()g()

)MRA非常抽象，但是它给出了构造小波的一般框架。在实践中很难通过小波空间直接构造小波，但通过MRA可推导出一个非 kj(t)=hkj(2t-k)ky(t)=gkj(2t-设{h,g}是由正交尺度函数和小波函数产生的共轭镜像滤波hjhj2k

gjgj2khjgj2k

k

则

利用共轭镜像滤波器实现快速正交小波变换)小波空间{Wj}jZ。{j,k}j,kZ和{j,k}j,kZ分别是两个空间的规范正交基，信号f(t)L2(R)在两个空间上都可以做正交投影：V V ffW W

ff

j,kj,k

(t)(t)

j,kj,k

(t)(t)

)hk=j(t),j(2t-k)，k˛ =y(t),j(2t-k)，k˛ 2

2 2

2

Wf(t)fW

f

j,k(t)

j,k

jZ但实践中不可能进行无穷次逼近，不妨设f(t)VJ

J

WJ

行了(J-j)VJ

WJ

WJ

Vj

Wj

Wj

WJ

(jJf

f(t),j,k

j,k(t)

f

j,k(t)

j,k

jjJ其中 he-

22kkk

从信号处理的角度，h是与j(t)对应的低通滤波器，g是与y(t)对应的高同滤波器，{h，g}{hk，gk}k˛Z，也可以表示为频域上的2p周期函数{h(w)，g(w)}。实际计算时，可以一次一次地进行小波分解，然后递推实现(J-j)cj,k

ff

j,k j,k

j,k由于V

n

j,k,j

若k<0和k>N时，hk=0，这样的滤波器称为有限脉冲响应滤波器(FIR)，FIR滤波器具有好的局部化特性。此时，j(t)只在有限区Nj(t)=

而j,k

22j1,n2

(2j

k)(2

21 (t)(2t2

n)dt(令t

2j

k)hk

k)

k)dt故

j,k

j

(t)

22代入(3.32) ˆw

wwˆw = 2 2 24 4www ww

8= h2jjˆ2n

w2 2j w j

j,k

hn2k21n21

j1,n

2121

j

2k

n2k)cj,k

f

j,k

hn21n21

f

j1,n2k2 2

hncn

jcj,k

122

j

(3.15)就可以计算出2p周期函数h(w)，再由公式(3.19)就可以计尺度函数就可以计算出小波函数y(t)。数j(t)，并最终构造出小波函数y(t)，但有两个问题必须解决：关于问题 Daubechies和Lagarias[7]在1991年给出了由于WjVj1，则j,k可由Vj

j1,n

而

n

j,k222

j

j

j,k

j1,n

k)(2

21 (t)(2t2

n)dt(令t

2j

k)解决问题2却是一件非常困难的事情。这里牵涉到尺度函数j(t)与滤波器系数{hk}k˛Z之间的关系问题：程(3.9，从而找到一组满足(3.9)的滤波器{hk}k˛反过来，如果有一组滤波器{hk}k˛Z满足某个双尺度方程，由此求解得到的函数却不一定是满足MRA的尺度函数，这样无法保证双尺度方程解的平移构成L2(R)Riesz基定理1[3若j(t)是正交的，则相应的滤波器{hk}h(w)2+h(w+p)2=1 h(0)=1 但是，如果{hk}仅仅满足(3.20)和(3.21)，并不能保证由双尺度gk

k)

j,k

j

(t)

12gn2k2j,k

12n2

n2k

j21 g2

j1,n2k(令n

n2k)dj,k

f

j,k

1 2nn2n

f

j1,n2k2 2

gnc

jdj,k

122

gnc

j

外，还应满足其他条件。S.Mallat[4]，W.Lawton[6]等都在这方定理[x2设h(w)是FIRh(w)2+h(w+p)2=1h(0)=

22N

(w)= j

k

+1£i,j£N-通过公式(3.33)和(3.35)，可以很快计算出尺度系数和小波系数Vj(j<J)的所有尺度系数和小波系数。公式(3.33)和(3.35)称为离散Vj+1=VjWjVjWj，因此Vj上的标准正交基与Wj上的标准

j1,n,j,k

j1,n,

j,k

j,k

j,kj,k

22122

gn2k故j1,n

122

j,k

22

gn2k

1j,k1步骤3验证h(w)h(w)2步骤4

2=1和h(0)jˆ(w)j

w2j通过傅立叶反变换求出cj1,n

f

j1,n2 2

hn2k

f

j,k

22

gn2k

f

1j,k12 2

hn2k

j,k

22

gn2k

1j,k1这就是Mallat3、⼩波与共轭镜像滤波器我们知道尺度函数和小波函数{j(t),y(t)}t˛R是在时域刻画信号的性质，对应的滤波器{h(w),g(w)}w˛R从频域上刻画信号的性质。实际上，{j(t),y(t)}t˛R大量的性质都可以由对应的定义若尺度函数j(t)是正交的，则它所对应的滤波器h(w)h(w)2+h(w+p)2=1h(0)=小波的应用滤波器{hk}k˛Z称为低通滤波器。所谓低通是指：当信号f(t)g(w)2+g(w+p)2 j(t-k),y(t)= S.Mallat[4]同时给出了这样的结论：若高通滤波器g(w)

wˆwg 2

2产生的小波基{y(t-k)}k˛Z构成W0空间的规范正交基。因此当尺g(w)=e-iwh(w+p gk=(-1)1-kh1- 二 二因此当找到低通共轭镜像滤波器{hk}k˛Z后，利用公式(3.25)马上可得高通共轭镜像滤波器{gk}k˛Z。总结：在一个MRA下的正交尺度函数和小波函数{j(t),y(t)}t˛h(w)2+h(w+p)2=1g(w)2+g(w+p)2=1 合 合hjhj+2kj˛Zgjgj+2kj˛Zhjgj+2kj˛Z

m(w)

小波图像去噪因为噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，所以小波去噪首先对图像信号进行小波分解，可利用门限阈值对所分解的小波系数进行处理，然后对图像信号进行小波重构，抑制图像信号中的无用部分，恢图像信号的小波分解：选择合适的小波及恰当的分对分解后的高频系数进行阈值量化：对于分解的每一层，选择恰当的阈值，对该层高频系数进行阈值量重构图像：根据小波分解后的第N层近似的低频系数 +p)(+p 8)则m(w)mT(w)=1，"w˛ 利用共轭镜像滤波器实现快速正交⼩波变换L2(R)空间的一个MRA产生了两个子空间：尺度空间{Vj}j˛Z和小波空间{Wj}j˛Z。{jj,k}j,k˛Z和{yj,k}j,k˛Zy分别是两个空间的规范正交基，信号f(t)˛L2(R)在两个空间上都可以做正交投影：V fW

=

ff

唐远炎,王玲.小波分析与文本文字识别,科学出版社I.Daubechies,TenLecturesonWavelets.Philadelphia:SIAM,S.Mallat.Awavelettourofsignalprocessing.AcademicUSA,S.Mallat,“Atheoryformultiresolutionsignaldecomposition:Thewaveletrepresentation,”IEEETrans.PatternAnal.MachineIntell.,vol.11,pp.674–693,1989.W.Lawton.Tightframesofcompactlysupportedwavelets,J.Phys.,31:1898~1901,f(t)= j˛ j˛Zk˛

¯WJ-

=VJ-2¯WJ-2¯WJ-

Wj ¯Wj+1¯¯WJ- (j<Jj,kj,kk˛ j<JI.Daubechies,J.C.Lagarias.Two-scaledifferenceoperationsI:existenceandglogalregularityofsolutions,SIAMJ.Math.Anal.,22:1388~1410,1991.D.Donoho,“De-noisingbysoft-thresholding,”IEEETrans.Inform.Theory,vol.41,pp.613–627,1995.B.JAWERTH,etc.“anoverviewofwaveletbasedmultiresolutionanalyses,”SIAMREVIEW,vol.36,No.33,pp.377-实际计算时，可以一次一次地进行小波分解，然后递推实现(J-j)d,k d

ff

j,k > 由于V Vj+1，则jj,k可由Vj+1的一组基jj+1,nj =<jj,k,jj+1,n>jj n而

j2j+1,n>=2

j(2jt-k)j(2j+1t- (t)j(2t+

2jt-hk=<j(t),j(2t-k)

j(t)j(2t-故jj,k(t),jj+1,n(t)>=1hn-j=

hn-

h

c

j2>=2

j1,n+2kf j,k=

n

j,k nj

j cj,k

33)j,n˛由于 Vj+1，则yj,k可由Vj+1的一组基jj+1,nj,n˛

=n

j,k

j

2<yj,k,jj+1,n

y(2jt-k)j(2j+1t- (t)j(2t+

=<y(t),j(2t-k)>=+¥y(t)j(2t-故<yj,k(t),jj+1,n(t)

gn-

=1