福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二上学期第二次联考数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二（上）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的。1．命题“∀x∈R，ex＞x2”的否定是(）A．不存在x∈R，使ex＞x2 B．∃x∈R，使ex＜x2C．∃x∈R，使ex≤x2 D．∀x∈R，使ex≤x22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2+c2﹣bc=a2，且=，则角C的值为()A．45° B．60° C．90° D．120°3．若不等式表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．（3，5） B．（5，7） C．[5，8］ D．[5，8）4．下列说法正确的是（）A．若“x=，则tanx=1”的逆命题为真命题B．在△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞BC．函数f(x）=sinx+,x∈（0，π）的最小值为4D．∃x∈R，使得sinx•cosx=5．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形6．“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”的（）A．充要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件7．设等差数列{an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=（）A． B．6 C．5 D．8．已知数列｛an｝满足a1=，an+1=3an+1，数列{an｝的前n项和为Sn，则S2016=()A． B． C． D．9．若双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6,则K的值是（）A．±24 B．±6 C．24 D．610．若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，则实数m的取值范围为（)A．（4,+∞） B．[4,+∞） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，4]11．已知不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x｜m＜x＜n}，且m＞0,则不等式cx2+bx+a＜0的解集为(）A．（，） B．（，） C．（﹣∞,）∪（，+∞） D．(﹣∞,）∪（，+∞）12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题：本大题共4小题,每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.13．在△ABC中，三边a，b,c成等比数列，且b=2,B=，则S△ABC=．14．正项数列{an｝满足:an2+（1﹣n）an﹣n=0，若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2016=．15．椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率是,则的最小值为．16．下列关于圆锥曲线的命题：①设A，B为两个定点，P为动点，若｜PA|+|PB｜=8，则动点P的轨迹为椭圆；②设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|=10﹣|PB|，且｜AB｜=8，则｜PA｜的最大值为9；③设A,B为两个定点，P为动点，若|PA｜﹣|PB｜=6,则动点P的轨迹为双曲线；④双曲线﹣=1与椭圆+=1有相同的焦点．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17．已知命题P：关于x的不等式x2+2ax+4＞0的解集为R，命题Q：函数f（x)=（5﹣2a）x为增函数．若P∨Q为真，P∧Q为假,求a的取值范围．18．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足cosA=，•=3．（1）求△ABC的面积；（2）若b﹣c=3，求a的值．19．已知P为椭圆E：+=1（a＞b＞0)上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点．如图所示：若|OM|+｜PF1｜=2，离心率e=．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知直线l经过（﹣1，）且斜率为与椭圆交于A，B两点，求弦长｜AB|的值．20．F1，F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2：的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二，四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形．（1）求双曲线C2的标准方程;（2）求S．21．已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn．点（an，Sn）在函数f（x)=2x﹣1图象上．数列｛bn｝满足：bn=log2an+1．（1）求数列｛an｝、{bn}的通项公式;(2）若cn=，数列{cn｝的前n项和Tn，求证：Tn+≥2恒成立．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c,原点O到经过两点（c，0），（0，b)的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；(Ⅱ）如图，AB是圆M：(x+2）2+(y﹣1)2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．

2016—2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二（上）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题仅有一个选项是正确的。1．命题“∀x∈R，ex＞x2"的否定是（）A．不存在x∈R，使ex＞x2 B．∃x∈R，使ex＜x2C．∃x∈R，使ex≤x2 D．∀x∈R，使ex≤x2【考点】全称命题；命题的否定．【分析】全称命题的否定是存在性命题．【解答】解：命题“∀x∈R，ex＞x2"的否定是∃x∈R，使ex≤x2；故选：C．2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若b2+c2﹣bc=a2，且=，则角C的值为（）A．45° B．60° C．90° D．120°【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】把b2+c2﹣bc=a2代入余弦定理求得cosA的值，进而求得A，又根据=利用正弦定理把边换成角的正弦，根据cosA求得sinA，进而求得sinB，则B可求，最后根据三角形内角和求得C．【解答】解：∵b2+c2﹣bc=a2∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=60°．又=，∴=，∴sinB=sinA=×=，∴B=30°,∴C=180°﹣A﹣B=90°．故选C3．若不等式表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（)A．(3，5） B．（5,7） C．［5,8] D．［5，8）【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的不等式组，画出满足条件的可行域,根据图形情况分类讨论，求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示，由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是：5≤a＜8．故选：D．4．下列说法正确的是（)A．若“x=，则tanx=1”的逆命题为真命题B．在△ABC中,sinA＞sinB的充要条件是A＞BC．函数f（x）=sinx+，x∈（0,π）的最小值为4D．∃x∈R,使得sinx•cosx=【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A,若tanx=1，则x=kπ+;B，在△ABC中，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，；C,函数f（x）=sinx+，x∈（0，π)，当sinx=1时,f（x）有最小值为5；D，sinx•cosx=＜．【解答】解:对于A，若tanx=1,则x=kπ+，故错；对于B，在△ABC中，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，故正确；对于C，函数f(x)=sinx+,x∈（0，π)，当sinx=1时，f（x)有最小值为5,故错；对于D，sinx•cosx=＜，故错．故选：B．5．在△ABC中,若，则△ABC是（)A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】根据二倍角的余弦函数公式化简等式的左边，然后再根据三角形的内角和为π，利用诱导公式得到cosC=﹣cos（A+B），代入化简后的等式中,利用两角和与差的余弦函数公式变形后，可得cos(A﹣B）=1，由A和B都为三角形的内角，可得A﹣B=0，进而得到A与B度数相等，根据等角对等边可得三角形ABC为等腰三角形．【解答】解:∵cosAcosB=sin2=,又cosC=cos[π﹣（A+B)］=﹣cos（A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴2cosAcosB=1﹣cosC=1﹣（﹣cosAcosB+sinAsinB)=1+cosAcosB﹣sinAsinB,移项合并得：cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，又A和B都为三角形的内角，∴A﹣B=0,即A=B，∴a=b，则△ABC是等腰三角形．故选B6．“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点"的（）A．充要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若函数f(x）=ax2﹣2x+1只有一个零点，若a=0，f（x）=﹣2x+1，只有1个零点，符合题意,若a≠0,则△=4﹣4a=0,解得:a=1，故“a=1“是“函数f（x）=ax2﹣2x+1只有一个零点”充分不必要条件,故选：C．7．设等差数列{an}，｛bn}的前n项和分别为Sn，Tn,且=,则=(）A． B．6 C．5 D．【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的前n项和的性质，可得=，=，可得答案．【解答】解:根据等差数列的前n项和的性质，可得=,=，那么===5．故选C8．已知数列{an｝满足a1=，an+1=3an+1，数列｛an｝的前n项和为Sn，则S2016=（)A． B． C． D．【考点】数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式求出｛｝是等比数列，然后求解数列的和，推出S2016即可．【解答】解:数列{an｝满足a1=，an+1=3an+1，可得:an+1+=3(an+),所以{｝是等比数列，首项是1，公比为3，S2016+1008==．S2016=．故选:D．9．若双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6，则K的值是（）A．±24 B．±6 C．24 D．6【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦距，求解K即可．【解答】解：双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6，可得=3,解得k=±6．故选:B．10．若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，则实数m的取值范围为（）A．（4，+∞) B．[4，+∞) C．(﹣∞，4） D．（﹣∞，4］【考点】椭圆的简单性质．【分析】判断直线系经过的定点，利用直线与椭圆的位置关系判断求解即可．【解答】解：直线y=kx+2（k∈R）恒过（0，2）点，若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，可知得到在椭圆内部，可得m≥4．故选:B．11．已知不等式ax2+bx+c＞0（a≠0)的解集为{x|m＜x＜n}，且m＞0,则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（)A．（，) B．（，) C．（﹣∞，）∪(，+∞） D．（﹣∞,)∪(，+∞)【考点】一元二次不等式．【分析】依题意，a＜0，m+n=﹣,mn=＞0,从而可求得b，c,代入cx2+bx+a＜0即可求得答案．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为(m，n）（0＜m＜n）,∴a＜0，m+n=﹣，mn=，∴b=﹣a（m+n）,c=amn，∴cx2+bx+a＜0⇔amnx2﹣a(m+n）x+a＜0,∵a＜0，∴mnx2﹣（m+n）x+1＞0，即(mx﹣1)(nx﹣1）＞0，又0＜m＜n，∴＞，∴x＞或x＜，故不等式cx2+bx+a＜0的解集是（﹣∞，）∪（，+∞)．故选：C．12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(）A．2 B．3 C．6 D．8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】先求出左焦点坐标F，设P(x0，y0）,根据P(x0,y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意,F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为,，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2,因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值,故选C．二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置。13．在△ABC中，三边a,b,c成等比数列，且b=2，B=，则S△ABC=．【考点】正弦定理．【分析】利用等比数列的性质可求b2=ac，结合已知利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a，b，c成等比数列,∴b2=ac，∵b=2，B=，∴S△ABC=acsinB=22×=．故答案为：．14．正项数列{an}满足：an2+（1﹣n)an﹣n=0，若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2016=．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】通过分解因式,利用正项数列｛an｝，直接求数列{an}的通项公式an；利用数列的通项公式化简bn,利用裂项法直接求数列｛bn}的前n项和Tn，即可得出结论．【解答】解：由正项数列{an}满足an2+（1﹣n）an﹣n=0,可得（an﹣n）(an+1）=0,所以an=n．所以bn===﹣,Tn=1﹣+…+﹣=1﹣，所以T2016=1﹣=，故答案为：．15．椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为．【考点】椭圆的简单性质；基本不等式．【分析】直接利用椭圆的离心率，求出a,b的关系代入表达式,通过基本不等式求出表达式的最小值．【解答】解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，所以a=2c，所以4b2=3a2,=，当且仅当a=时取等号．所以的最小值为．故答案为：．16．下列关于圆锥曲线的命题:①设A,B为两个定点，P为动点，若｜PA｜+|PB｜=8，则动点P的轨迹为椭圆；②设A,B为两个定点，P为动点,若|PA|=10﹣|PB｜，且｜AB｜=8，则|PA|的最大值为9；③设A,B为两个定点,P为动点，若｜PA｜﹣|PB｜=6，则动点P的轨迹为双曲线；④双曲线﹣=1与椭圆+=1有相同的焦点．其中真命题的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，根据椭圆的定义，当8＞|AB｜时是椭圆；②,利用椭圆的定义,求出a、c,|PA|的最大值为a+c；③,利用双曲线的定义判断;④，根据双曲线、椭圆标准方程判断．【解答】解:对于①,根据椭圆的定义，当k＞｜AB|时是椭圆，∴故为假命题；对于②，由｜PA|=10﹣|PB｜,得｜PA｜+｜PB｜=10＞|AB｜，所以动点P的轨迹为以A,B为焦点的图象，且2a=10，2c=8，所以a=5，c=4，根据椭圆的性质可知，｜PA｜的最大值为a+c=5+3=9，所以为真命题．对于③，设A,B为两个定点，P为动点，若|PA｜﹣｜PB｜=6，当6＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，故为假命题;对于④，双曲线﹣=1的焦点为（，0），椭圆+=1的焦点（,0）,故为真命题．故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知命题P：关于x的不等式x2+2ax+4＞0的解集为R,命题Q:函数f（x）=（5﹣2a）x为增函数．若P∨Q为真，P∧Q为假，求a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】求出两个命题为真命题时，a的范围，通过P∨Q为真，P∧Q为假,推出一真一假，然后求解a的范围．【解答】（本小题满分10分)解：依题可得：由x2+2ax+4＞0的解集为R．得△=4a2﹣16＜0，即P为真时，实数a的取值范围是﹣2＜a＜2；…由函数f（x）=（5﹣2a）x为增函数，得a＜2，即Q为真时，实数a的取值范围是a＜2；…若P∨Q为真，P∧Q为假,则P、Q一真一假．…当P真Q假时，a无解．…当P假Q真时，a≤﹣2．…所以实数a的取值范围是a≤﹣2…18．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，满足cosA=,•=3．（1）求△ABC的面积；（2）若b﹣c=3，求a的值．【考点】三角形中的几何计算．【分析】(1）利用cosA=，•=3，求出bc=5，sinA=，即可求△ABC的面积；（2）若b﹣c=3，利用余弦定理求a的值．【解答】解：（1）∵•=3，∴bccosA=3．…∵cosA=，∴bc=5，sinA=…∴△ABC的面积S==2…（2）∵b﹣c=3，…∴a===．…19．已知P为椭圆E：+=1(a＞b＞0）上任意一点，F1，F2为左、右焦点,M为PF1中点．如图所示：若|OM｜+|PF1|=2，离心率e=．(1）求椭圆E的标准方程；（2）已知直线l经过（﹣1，）且斜率为与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB｜的值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由|OM|+|PF1|=2，又｜OM｜=｜PF2|，|PF1｜+|PF2|=2，可得a．又e==,a2=b2+c2．解出即可得出．（Ⅱ）法一：设直线l：y﹣=（x+1)，联立直线与椭圆得:x2+2x=0，解出交点坐标利用两点之间的距离公式即可得出．法二：联立方程得x2+2x=0，利用｜AB｜=即可得出．【解答】解：（Ⅰ)由|OM｜+|PF1|=2,又|OM｜=｜PF2|，∴|PF1|+|PF2｜=2,∴a=2．离心率e==，a2=b2+c2．解得b=1，c=．故所求的椭圆方程为=1．（Ⅱ)法一：设直线l:y﹣=（x+1)，联立直线与椭圆得：x2+2x=0,所以，直线与椭圆相交两点坐标为（0，1)，（﹣2,0）．∴｜AB|==．法二：联立方程，得x2+2x=0，∴x1+x2=﹣2，x1•x2=0，∴｜AB|==．20．F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2：的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二，四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形．（1）求双曲线C2的标准方程;(2)求S．【考点】圆锥曲线的综合；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）设|AF1｜=x，|AF2|=y，利用椭圆的定义，四边形AF1BF2为矩形，可求出x，y的值,进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的标准方程;（2）S=，即可得出结论．【解答】解：（1）设｜AF1｜=x，|AF2｜=y，∵点A为椭圆C1:+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴｜AF1｜+|AF2|=2a=4,即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴x2+y2=(2c)2=12,②由①②解得x=2﹣,y=2+设双曲线C2的实轴长为2a′,焦距为2c′，则2a′=｜AF2｜﹣｜AF1|=y﹣x=2,2c′=2，∴b=1…∴双曲线C2的标准方程为=1；…（2）由（1）可得S==1．…21．已知各项均为正数的数列｛an｝，其前n项和为Sn．点(an,Sn）在函数f（x)=2x﹣1图象上．数列｛bn｝满足：bn=log2an+1．（1)求数列{an}、｛bn}的通项公式；（2）若cn=，数列｛cn｝的前n项和Tn，求证：Tn+≥2恒成立．【考点】数列递推式；数列的求和．