广西崇左市2024届高一上数学期末达标检测试题含解析

广西崇左市2024届高一上数学期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的最小值为（）A. B.C. D.2．若偶函数在区间上单调递增，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.3．已知定义在上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为A.-5 B.-6C.-7 D.-84．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是A. B.C. D.6．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是A. B.C. D.7．某圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为A. B.C. D.18．的零点所在的一个区间为（）A. B.C. D.9．函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.10．设a>0，b>0，化简的结果是（）A. B.C. D.-3a二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________12．设函数，则__________，方程的解为__________13．如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为H函数．例如：就是H函数．下列函数：①；②；③；④中，______是H函数（只需填写编号）（注：“”表示不超过x的最大整数）14．函数的单调递增区间是___________.15．已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为______.16．命题“，”的否定是___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.（1）当时，求的值；（2）设，求的取值范围.18．已知函数f(x)＝(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个零点分别为3和4.求函数f(x)的解析式19．已知函数.（1）若是定义在R上的偶函数，求a的值及的值域；（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.20．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.（1）证明：当时，；（2）设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.21．在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题问题：已知集合，（1）当时，求；（2）若________，求实数的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.【题目详解】由因为所以当时故选：B2、D【解题分析】由偶函数定义可确定函数在上的单调性，由单调性可解不等式．【题目详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且，所以，且函数在上单调递减.由此画出函数图象，如图所示，由图可知，的解集是.故选：D.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3、C【解题分析】由题意知，函数的周期为2，则函数在区间上的图像如下图所示：由图形可知函数在区间上的交点为，易知点的横坐标为-3，若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为.考点：分段函数及基本函数的性质.4、B【解题分析】根据指数函数的单调性分析出的范围，根据对数函数的单调性分析出的范围，结合中间值，即可判断出的大小关系.【题目详解】因为在上单调递减，所以，所以，又因为且在上单调递增，所以，所以，又因为在上单调递减，所以，所以，综上可知：，故选：B.【题目点拨】方法点睛：常见的比较大小的方法：（1）作差法：作差与作比较；（2）作商法：作商与作比较（注意正负）；（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；（4）中间值法：取中间值进行大小比较.5、D【解题分析】若，则，利用给出的解析式求出，再由奇函数的定义即，求出.【题目详解】设，则，当时，，，函数是定义在上的奇函数，，，故选D.【题目点拨】本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用，属于中档题.本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为6、A【解题分析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，再依次判断每个选项的奇偶性和单调性得到答案.【题目详解】易知：函数为偶函数，且在上单调递增A.，函数为偶函数，且当时单调递增，满足；B.为偶函数，且当时单调递减，排除；C.函数为奇函数，排除；D.，函数为非奇非偶函数，排除；故选：【题目点拨】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.7、C【解题分析】直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可．【题目详解】圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为．故选C．【题目点拨】本题考查扇形圆心角的求法，是基本知识的考查．8、A【解题分析】根据零点存在性定理分析判断即可【题目详解】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，因为，，所以，所以的零点所在的一个区间为，故选：A9、D【解题分析】解不等式，即可得出函数的单调递减区间.【题目详解】解不等式，得，因此，函数的单调递减区间为.故选：D.【题目点拨】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.10、D【解题分析】由分数指数幂的运算性质可得结果.【题目详解】因为，，所以.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、0【解题分析】根据充要条件的定义即可求解.【题目详解】，则{x|}＝{x|}，即.故答案为：0.12、①.1②.4或-2【解题分析】（1）∵，∴（2）当时，由可得，解得；当时，由可得，解得或（舍去）故方程的解为或答案：1，或13、③④【解题分析】根据新定义进行判断.【题目详解】根据定义可以判断①②在集合上的值域不是集合，显然不是H函数.③④是H函数.③是H函数，证明如下：显然，不妨设，可得，即，恒有成立，满足，总存在满足是H函数.④是H函数，证明如下：显然，不妨设，可得，即，恒有成立，满足，总存在满足H函数.故答案为：③④14、##【解题分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.【题目详解】由得，解得，所以函数的定义域为.设内层函数，对称轴方程为，抛物线开口向下，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，外层函数为减函数，所以函数的单调递增区间为.故答案为：.15、【解题分析】作出函数的图象，结合图象即可得的最小值.【题目详解】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象，因为对，，故函数的图象如图所示：由图可知，当时，函数取得最小值.故答案为：.16、“，”【解题分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【题目详解】因为全称命题的否定为特称命题，故命题“，”的否定为：“，”故答案为：“，”三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）根据三角函数的定义结合二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值；（2）利用辅助角公式可得，结合角的取值范围可求得的取值范围.【小问1详解】解：由三角函数的定义，可得，当时，，即，，【小问2详解】解：，，，所以，，，则，则，即的取值范围为.18、【解题分析】将3和4分别代入方程得，解得，进而可得.试题解析：将3和4分别代入方程－x＋12＝0得解得所以已知零点求函数解析式的一般步骤为：

将零点代入函数得到方程；

求出方程中的未知参数；

将参数代入即可得其解析式.19、（1），；（2）【解题分析】（1）根据偶函数的定义，求出，得，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2），由条件可得，在上是减函数，且在上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数的不等式，即可求解.【题目详解】解：（1）因为是定义在R上的偶函数，所以，所以，故，此时，，定义域为R，符合题意.令，则，所以，故的值域为.（2）设.因为在上是减函数，所以在上是减函数，且在上恒成立，故解得，即.【题目点拨】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.20、（1）证明见解析（2）（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”【解题分析】（1）利用来证得结论成立.（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.【小问1详解】由已知当时，，得，所以当时，.【小问2详解】（i）时，假设存在，则由知，注意到，故，所以在单调递增，于是，即是方程的两个不等实根，易知不是方程的根，由已知，当时，，令，则有时，，即，故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.（ii）时，假设存在，则由知若，则由，知，与值域是矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，时，也不存在，下面讨论，若，则，故最小值为，于是，所以，所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.若，当时，同理可得，舍去，当时，在上单调递减，所以，于是，若即，则，故，与矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知当时，，因为，所以，从而，，从而，矛盾，综上所述，有唯一的“和谐区间”.【题目点拨】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现