2023-2024学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．已知⊙O的半径为5cm，若OP＝3cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定3．关于x的一元二次方程x2+ax＝5的一个根是1，则a的值是（）A．0 B．1 C．4 D．﹣44．方程x2＝x的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个互为相反数的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根5．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（）A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+36．如图，在△ABC中，以点C为中心，将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC，边DE，AC相交于点F，若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．120°7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，且点C、O在弦AB的同侧，若∠ABO＝50°，则∠ACB的度数为（）A．50° B．45° C．30° D．40°8．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π9．某市从2020年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2020年“竹文化”旅游收入约为4亿元．预计2022年“竹文化“旅游收入达到5.76亿元，据此估计该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ABC＝125°，则∠ADC＝度．12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转78°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数是°．13．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为15．已知关于x的方程x2﹣3x＝8x+4的根为x1，x2，则x1+x2﹣2x1x2的值为．16．如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE＝2，DF＝3，则AF的长为．三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解方程：（1）x（x﹣3）+x﹣3＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．18．如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，4），B（3，1），C（1，2）．（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，点A的对应的为A1，点B的对应的为B1，点C的对应的为C1，画出旋转后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1平移使点A1与点A2（﹣1，2）重合，点B1的对应的为B2，点C1的对应的为C2，画出平移后的△A2B2C2并写出B2点坐标；（3）求出线段A1B1平移经过的图形面积．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的开口方向，m的值；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1y2（填＜、＞、＝）；（3）当y＜0时，x的取值范围是；（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为．20．如图，在⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD于点F．BE平分∠ABC交CD于点E，连接AD，BD，AB＝20，DF＝4．（1）求⊙O的半径．（2）A，B，E三点是否在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上？请说明理由．21．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽AB为xm，面积为ym2．（1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？22．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；（2）若OB＝BG＝2，求CD的长．23．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：．（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．24．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．25．如图，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），求此时抛物线的表达式；（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．已知⊙O的半径为5cm，若OP＝3cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．解：∵点到圆心的距离d＝3＜5＝r，∴该点P在⊙O内．故选：C．【点评】考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内．3．关于x的一元二次方程x2+ax＝5的一个根是1，则a的值是（）A．0 B．1 C．4 D．﹣4【分析】把x＝1代入方程x2+ax＝5得1+a＝5，然后解关于a的方程即可．解：把x＝1代入方程x2+ax＝5得1+a＝5，解得a＝4．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．方程x2＝x的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个互为相反数的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】先把方程化为一般式，再计算出判别式的值为1，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解：x2﹣x＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．5．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（）A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．6．如图，在△ABC中，以点C为中心，将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC，边DE，AC相交于点F，若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．120°【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，由三角形外角的性质可求解．解：∵将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC，∴∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，∴∠EFC＝∠D+∠ACD＝60°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，且点C、O在弦AB的同侧，若∠ABO＝50°，则∠ACB的度数为（）A．50° B．45° C．30° D．40°【分析】利用等边对等角求得∠BAO的度数，然后根据三角形内角和定理求得∠AOB的度数，最后根据圆周角定理即可求解．解：∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°．∴∠ACB＝∠AOB＝40°．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理，正确理解定理，求得∠AOB的度数是关键．8．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD＝90°是解题的关键．9．某市从2020年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2020年“竹文化”旅游收入约为4亿元．预计2022年“竹文化“旅游收入达到5.76亿元，据此估计该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%【分析】设该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为x，利用该市2022年“竹文化”旅游收入＝该市2020年“竹文化”旅游收入×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为x，依题意得：4（1+x）2＝5.76，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），∴该市2020年到2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2【分析】由点M是BC中点，想到构造中位线，取OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．【解答】解：取OB中点N，连接MN，AN．在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，∴OC＝4，∵M、N分别是BC、OB的中点，∴MN＝OC＝2，在△ABN中，AB＝4，BN＝3，∴AN＝5，在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当M运动到AN上时，AM＝AN﹣MN，∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，∴线段AM的最小值是3，故选：A．【点评】此题方法较多，可以用三角形两边之差的最值模型，也可用瓜豆模型．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ABC＝125°，则∠ADC＝55度．【分析】直接根据圆内接四边形的性质解答即可．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，∴∠ADC＝180°﹣125°＝55°．故答案为：55．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转78°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数是51°．【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝78°，由等腰三角形的性质可求解．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转78°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝78°，∴∠B＝∠ADB＝51°，故答案为：51．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．13．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为120°．【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π（cm），设圆心角的度数是n度．则＝2π，解得：n＝120．故答案为：120°【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为0【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），由此求出a﹣b+c的值．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0）是解题的关键．15．已知关于x的方程x2﹣3x＝8x+4的根为x1，x2，则x1+x2﹣2x1x2的值为19．【分析】化成一般式，确定x1+x2，x1x2，直接代入计算即可．解：∵x2﹣3x＝8x+4，∴x2﹣11x﹣4＝0，∵方程x2﹣11x﹣4＝0的根为x1，x2，∴x1+x2＝11，x1x2＝﹣4，∴x1+x2﹣2x1x2＝11﹣2×（﹣4）＝19．故答案为：19．【点评】本题考查了根与系数关系定理，正确理解定理，并活用定理是解题的关键．16．如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE＝2，DF＝3，则AF的长为3．【分析】延长CB到点G，使BG＝DF，根据正方形的性质利用SAS证明△ABG≌△ADF，△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质推出GE＝FE，设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理求出a＝6，再根据勾股定理求解即可．解：如图，延长CB到点G，使BG＝DF，正方形ABCD中，AB＝AD，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，又AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAG＝∠EAF，又AG＝AF，AE＝AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝FE，∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴FE＝DF+BE＝2+3＝5，设正方形ABCD的边长为a，∴CE＝BC﹣CE＝a﹣2，CF＝CD﹣DF＝a﹣3，∵FE2＝CE2+CF2，∴52＝（a﹣2）2+（a﹣3）2，∴a＝﹣1（舍去）或a＝6，∴AF＝＝＝3，故答案为：3．【点评】此题考查了正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解方程：（1）x（x﹣3）+x﹣3＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．解：（1）x（x﹣3）+x﹣3＝0，分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，可得x﹣3＝0或x+1＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（2）x2﹣4x﹣1＝0，移项得：x2﹣4x＝1，配方法得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，4），B（3，1），C（1，2）．（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，点A的对应的为A1，点B的对应的为B1，点C的对应的为C1，画出旋转后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1平移使点A1与点A2（﹣1，2）重合，点B1的对应的为B2，点C1的对应的为C2，画出平移后的△A2B2C2并写出B2点坐标；（3）求出线段A1B1平移经过的图形面积．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用平移变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；（3）利用平行四边形的面积公式求解．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．B2点坐标（﹣4，2）；（3）线段A1B1经过的图形面积＝3×5＝15．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的开口方向向上，m的值5；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1＞y2（填＜、＞、＝）；（3）当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为x＝﹣2或4．【分析】根据表格数据确定函数的对称轴，根据函数图象对称性即可求解．解：（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；故答案为：向上；5；（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；故答案为：＞；（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，故答案为：x＝﹣2或4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．20．如图，在⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD于点F．BE平分∠ABC交CD于点E，连接AD，BD，AB＝20，DF＝4．（1）求⊙O的半径．（2）A，B，E三点是否在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上？请说明理由．【分析】（1）连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OF＝r﹣4，先根据垂径定理得到AF＝BF＝10，再利用勾股定理得到102+（r﹣4）2＝r2，然后解方程即可；（2）先根据垂径定理得到＝，∠A＝∠DBA，再证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，所以DB＝DE＝DA，于是可判断A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．解：（1）连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OF＝r﹣4，∵AB⊥CD，∴AF＝BF＝AB＝10，在Rt△OBF中，102+（r﹣4）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为；（2）A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．理由如下：∵AB⊥CD，∴＝，∴BD＝AD，∠A＝∠DBA，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠C＝∠A，∴∠C＝∠DBA，∴∠DBA+∠ABE＝∠C+∠CBE，∵∠DEB＝∠C+∠CBE，∴∠DEB＝∠DBE，∴DB＝DE，∴DB＝DE＝DA，∴A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和垂径定理．21．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽AB为xm，面积为ym2．（1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？【分析】（1）由题意得：BC+3AB＝24，即BC+3x＝24，则BC＝24﹣3x，即0＜24﹣3x≤10，解得≤x＜8，而y＝AB•BC＝x（24﹣3x）＝﹣3x（x﹣8），即可求解；（2）y＝﹣3x（x﹣8）（≤x＜8），该抛物线的对称轴为x＝4，当x＞4时，y随x的增大而减小，进而求解．解：（1）由题意得：BC+3AB＝24，即BC+3x＝24，则BC＝24﹣3x，而0＜BC≤10，即0＜24﹣3x≤10，解得≤x＜8，而y＝AB•BC＝x（24﹣3x）＝﹣3x（x﹣8），即y＝﹣3x（x﹣8）（≤x＜8）；（2）由（1）知，y＝﹣3x（x﹣8）（≤x＜8），该抛物线的对称轴为x＝4，∵﹣3＜0，故当x＞4时，y随x的增大而减小，故当x＝时，y取得最大值为，即长方形的长为10m、宽为m时，养鸡场的面积最大，最大面积是m2．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．计算最大值问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．22．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；（2）若OB＝BG＝2，求CD的长．【分析】（1）相切．连接OC，证OC⊥FG即可．根据题意AF⊥FG，证∠FAC＝∠ACO可得OC∥AF，从而OC⊥FG，得证；（2）根据垂径定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根据三角函数可得∠COG＝60°．结合OC＝2求CE，从而得解．解：（1）直线FC与⊙O相切．理由如下：连接OC．∵OA＝OC，∴∠1＝∠2．由翻折得，∠1＝∠3，∠F＝∠AEC＝90°．∴∠2＝∠3，∴OC∥AF．∴∠OCG＝∠F＝90°．∴直线FC与⊙O相切．（2）在Rt△OCG中，，∴∠COG＝60°．在Rt△OCE中，．∵直径AB垂直于弦CD，∴．【点评】此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．23．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240．（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可．（2）利用（1）中所列方程求出答案．解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；（2）方法1：设每千克特产应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，解得x1＝4，x2＝6．要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，60﹣6＝54元，答：每千克特产应定价54元．方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240解得x1＝54，x2＝56．要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，答：每千克特产应定价54元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．24．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．【分析】（1）由题意得MB＝NB，∠ABN＝15°，所以∠EBN＝45°，容易证出△AMB≌△ENB；（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；（3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF＝30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为．【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE