吉林省长春九台市师范高级中学2024届高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析

吉林省长春九台市师范高级中学2024届高一数学第一学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的定义域是（）A. B.C. D.2．已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为A. B.C. D.3．下列函数满足在定义域上为减函数且为奇函数的是（）A. B.C. D.4．在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（）A.2 B.3C.4 D.55．已知关于的方程的两个实根为满足则实数的取值范围为A. B.C. D.6．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数A. B.2C.3 D.2或7．若存在正数x使成立，则a的取值范围是A. B.C. D.8．已知，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.9．已知函数，则函数的最小正周期为A. B.C. D.10．如图，水平放置的直观图为，，分别与轴、轴平行，是边中点，则关于中的三条线段命题是真命题的是A.最长的是，最短的是 B.最长的是，最短的是C.最长的是，最短的是 D.最长的是，最短的是二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在空间直角坐标系中，点和之间的距离为____________.12．函数的零点为______13．函数最大值为__________14．已知偶函数是区间上单调递增，则满足的取值集合是__________15．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______16．已知函数若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的．现有函数.（1）当时，判断函数在上是否“友好”；（2）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围18．已知函数（1）求的单调递增区间；（2）画出在上的图象19．计算题20．如图，某地一天从5～13时的温度变化近似满足（1）求这一天5～13时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式21．已知函数.（1）求的值；（2）设，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】由函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可求得原函数的定义域.【题目详解】函数有意义，只需且，解得且因此，函数的定义域为.故选：D.2、C【解题分析】设球的半径为,根据题意知球心到平面的距离,截球所得截面圆的半径为1,由,截面圆半径,球半径构成直角三角形,利用勾股定理,即可求出球半径,进而求出球的表面积.【题目详解】如图所示,设球的半径为,因为,所以,又因为截球所得截面的面积为,所以,在中,有,即,所以,故球的表面积,故选:C.【题目点拨】本题主要考查球的基本应用,答题关键点在于明确球心到截面的距离,截面圆半径,球半径三者可构成直角三角形,进而满足勾股定理.3、C【解题分析】根据各个基本初等函数的性质，结合函数变换的性质判断即可【题目详解】对A，为偶函数，故A错误；对B，为偶函数，故B错误；对C，在定义域上为减函数且为奇函数，故C正确；对D，在和上分别单调递减，故D错误；故选：C【题目点拨】本题主要考查了常见基本初等函数的性质，属于基础题4、D【解题分析】作出几何体的直观图观察即可.【题目详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，故选：D.5、D【解题分析】利用二次方程实根分布列式可解得.【题目详解】设,根据二次方程实根分布可列式:,即,即,解得:.故选D.【题目点拨】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.6、A【解题分析】根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可【题目详解】函数是幂函数，，解得：或，时，，其图象与两坐标轴有交点不合题意，时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故，故选A【题目点拨】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题7、D【解题分析】根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案【题目详解】根据题意，，设，由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，则在上，恒成立；若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；即a的取值范围为；故选D【题目点拨】本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题8、D【解题分析】对A，C利用特殊值即可判断；对B，由对数函数的定义域即可判断，对D，由指数函数的单调性即可判断.【题目详解】解：对A，令，，则满足，但，故A错误；对B，若使，则需满足，但题中，故B错误；对C，同样令，，则满足，但，故C错误；对D，在上单调递增，当时，，故D正确.故选：D.9、C【解题分析】去绝对值符号，写出函数的解析式，再判断函数的周期性【题目详解】，其中，所以函数的最小正周期，选择C【题目点拨】本题考查三角函数最小正周期的判断方法，需要对三角函数的解析式整理后，根据函数性质求得10、B【解题分析】由直观图可知轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有，又为边上的中线，为直角三角形，为边上的中线，为斜边最长，最短故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】利用空间两点间的距离公式求解.【题目详解】由空间直角坐标系中两点间距离公式可得.故答案为：12、1和【解题分析】由，解得的值，即可得结果【题目详解】因为，若，则，即，整理得：可解得：或，即函数的零点为1和，故答案为1和.【题目点拨】本题主要考查函数零点的计算，意在考查对基础知识的理解与应用，属于基础题13、3【解题分析】分析:利用复合函数的性质求已知函数的最大值.详解：由题得当=1时，函数取最大值2×1+1=3.故答案为3.点睛：本题主要考查正弦型函数的最大值，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.14、【解题分析】因为为偶函数，所以等价于，又是区间上单调递增，所以.解得.答案为：.点睛：本题属于对函数单调性应用的考查，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.15、【解题分析】计算得出，利用海伦—秦九韶公式可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【题目详解】，所以，.当且仅当时，等号成立，且此时三边可以构成三角形.因此，该三角形面积的最大值为.故答案为：.16、【解题分析】令f（t）＝2，解出t，则f（x）＝t，讨论k的符号，根据f（x）的函数图象得出t的范围即可【题目详解】解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t（k≠0）∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）（1）当k＝0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）＝﹣1无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）＝﹣1无解，f（x）无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；（3）当k＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）＝﹣1有1解，∵f（f（x））﹣2＝0有3解，∴f（x）有2解，∴1，解得﹣1＜k综上，k的取值范围是（﹣1，]故答案为（﹣1，]【题目点拨】本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，数形结合思想，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，函数在，上是“友好”的（2）【解题分析】（1）当时，利用函数的单调性求出和，由即可求得结论；（2）化简原方程，然后讨论的范围和方程的解即可得答案【小问1详解】解：当时，，因为单调递增，在单调递减，所以在上单调递减，所以，，因为，所以由题意可得，当时，函数在上是“友好”的；【小问2详解】解：因为，即，且，①所以，即，②当时，方程②的解为，代入①成立；当时，方程②的解为，代入①不成立；当且时，方程②的解为或将代入①，则且，解得且，将代入①，则，且，解得且所以要使方程的解集中有且只有一个元素，则，综上，的取值范围为18、(1),(2)见解析【解题分析】（1）计算,得到答案.（2）计算函数值得到列表，再画出函数图像得到答案.【题目详解】（1）令,，得,即，.故的单调递增区间为，.（2）因为所以列表如下：0024002【题目点拨】本题考查了三角函数的单调性和图像，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.19、2【解题分析】直接利用指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.【题目详解】化简.【题目点拨】本题主要考查指数幂的运算，属于中档题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）20、（1）6摄氏度（2），【解题分析】（1）根据图形即可得出