湖南省湘潭市名校2024届数学高一上期末学业质量监测试题含解析

湖南省湘潭市名校2024届数学高一上期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，，，若，，则（）A. B.C. D.2．在正内有一点，满足等式，，则（）A. B.C. D.3．对于任意实数，给定下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4．函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）A.16 B.8C.4 D.25．已知偶函数在区间内单调递增，若，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.6．的值是（）A. B.C. D.7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位8．已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于A. B.C. D.9．已知函数，，的零点分别，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.10．函数在上的图象为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，，且，则的最小值为________12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.13．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度至少需要计算的次数是______________14．已知，，则ab＝_____________.15．正方体中，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是_______.16．函数的零点个数是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求值18．已知函数，，其中a为常数当时，设函数，判断函数在上是增函数还是减函数，并说明理由；设函数，若函数有且仅有一个零点，求实数a的取值范围19．已知且是上的奇函数，且（1）求的解析式；（2）若不等式对恒成立，求取值范围；（3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.20．在四面体B-ACD中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）证明:;（2）若E是BD的中点，求二面角的大小.21．已知函数f(x)=（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x∈[-π6,

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】计算出向量的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数的等式，解出即可.【题目详解】向量，，，又且，，解得.故选：C.【题目点拨】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.2、A【解题分析】过作交于，作交于，则，可得，在中由正弦定理可得答案.【题目详解】过作交于，作交于，则，，在中，，，由正弦定理得.故选：A.3、C【解题分析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；【题目详解】解：对于A：当时，若则，故A错误；对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；对于C：若，则，所以，故C正确；对于D：若，满足，但是，故D错误；故选：C4、A【解题分析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.【题目详解】当时，，所以函数的图像恒过定点记，则有，解得所以.故选：A5、D【解题分析】先利用偶函数的对称性判断函数在区间内单调递减，结合偶函数定义得，再判断，和的大小关系，根据单调性比较函数值的大小，即得结果.【题目详解】偶函数的图象关于y轴对称，由在区间内单调递增可知，在区间内单调递减.，故，而，，即，故，由单调性知，即.故选：D.6、C【解题分析】根据诱导公式即可求出【题目详解】故选：C7、A【解题分析】，设，，令，把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.选A.8、A【解题分析】根据题意画出图形，结合图形求出半径r，再计算弧长【题目详解】如图所示，，，过点O作，C垂足，延长OC交于D，则，；中，，从而弧长为，故选A【题目点拨】本题考查了弧长公式的应用问题，求出扇形的半径是解题的关键，属于基础题9、A【解题分析】判断出三个函数的单调性，可求出，，并判断，进而可得到答案【题目详解】因为在上递增，当时，，所以；因为在上递增，当时，恒成立，故的零点小于0，即；因为在上递增，当时，，故，故．故选：A．10、B【解题分析】直接利用函数的性质奇偶性求出结果【题目详解】函数的解析式满足，则函数为奇函数，排除CD选项，由可知：，排除A选项.故选B.【题目点拨】本题考查的知识要点：函数的性质的应用．属中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解题分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.【题目详解】由题设，知：当且仅当时等号成立.故答案为：4.12、【解题分析】正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为考点：正四棱柱外接球表面积13、7【解题分析】设至少需要计算n次，则n满足，即，由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次14、1【解题分析】将化成对数形式，再根据对数换底公式可求ab的值.【题目详解】，.故答案为：1.15、【解题分析】结合异面直线所成角的找法，找出角，构造三角形，计算余弦值，即可【题目详解】连接，而，所以直线与所成角即为，设正方体边长为1，则，所以余弦值为【题目点拨】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线与所成角即为，难度中等16、3【解题分析】令f(x)＝0求解即可.【题目详解】，方程有三个解，故f(x)有三个零点.故答案为：3.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解题分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，求得函数在上的单调递增区间，与取交集可得出结果；（Ⅱ）由可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用两角和的正弦公式可求得的值【题目详解】（Ⅰ）令，，得，令，得；令，得.因此，函数在区间上的单调递增区间为，；（Ⅱ）由，得，，又，，因此，【题目点拨】本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.18、（1）见解析；（2），【解题分析】代入a的值，求出的解析式，判断函数的单调性即可；由题意把函数有且仅有一个零点转化为有且只有1个实数根，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可【题目详解】（1）由题意，当时，，则，因为，又由在递减，所以递增，所以根据复合函数的单调性，可得函数在单调递增函数；由，得，即，若函数有且只有1个零点，则方程有且只有1个实数根，化简得，即有且只有1个实数根，时，可化为，即，此时，满足题意，当时，由得：，解得：或，当即时，方程有且只有1个实数根，此时，满足题意，当即时，若是的零点，则，解得：，若是的零点，则，解得：，函数有且只有1个零点，所以或，，综上，a的范围是，【题目点拨】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.19、（1）；（2）；（3）存在，正整数或2.【解题分析】（1）根据，，即可求出的值，从而可求函数的解析式；（2）根据函数的奇偶性和单调性由题意可得到恒成立，然后通过分类讨论，根据二次不等式恒成立问题的解决方法即可求出答案；（3）设等分点的横坐标为，.首先根据，可得到函数的图象关于点对称，从而可得到，；进而可求出；再根据，从而只需求即可.【小问1详解】∵是上的奇函数，∴，由，可得，，∵，∴，，所以.又，所以为奇函数.所以.【小问2详解】因为，所以在上单调递增，又为上的奇函数，所以由，得，所以，即恒成立，当时，不等式为不能恒成立，故不满足题意；当时，要满足题意，需，解得，所以实数的取值范围为.【小问3详解】把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，又，为奇函数，所以的图象关于点对称，所以，，所以，因为，所以，即.故存在正整数或2，使不等式有解.20、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）取AC的中点F,连接DF,BF,由等腰三角形的性质,先证平面BFD,再证；（2）连接FE,由（1）可得,,则即为二面角的平面角,进而求解即可【题目详解】（1）取AC的中点F,连接DF,BF,是正三角形,,又是直角三角形,且,,又,平面BFD,平面BFD,平面BFD,又平面BFD,.（2）连接FE,由（1）平面BFD,平面BFD,平面BFD,,,即为二面角的平面角,设