湖南省衡阳市衡阳县2024届高一上数学期末综合测试模拟试题含解析

湖南省衡阳市衡阳县2024届高一上数学期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（）A.2800 B.1800C.1400 D.12002．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A. B.2C.22 D.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈048）A.1033 B.1053C.1073 D.10934．已知四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=6，CD=8，EF=5，则AB与CD所成角的度数为A.30° B.45°C.60° D.90°5．如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（）A. B.C.或 D.或6．已知，求的值（）A. B.C. D.7．设，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件8．已知集合，或，则（）A.或 B.C. D.或9．某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为），则该几何体的体积是A. B.C. D.10．直线l：与圆C：的位置关系是A.相切 B.相离C.相交 D.不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，正实数，满足，且，若在区间上的最大值为2，则________.12．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对，，使得，则实数m的取值范围为______13．已知函数，则函数的值域为______14．已知函数，（1）______（2）若方程有4个实数根，则实数的取值范围是______15．已知，，，则有最大值为__________16．若函数满足：对任意实数，有且，当[0,1]时，,则[2017,2018]时,______________________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数f（x）＝2sin（2x＋）（x∈R）（1）求f（x）的最小正周期：（2）求不等式成立的x的取值集合.（3）求x∈的最大值和最小值.18．已知直线与的交点为.（1）求交点的坐标；（2）求过交点且平行于直线的直线方程.19．已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标20．已知角的终边经过点，，，求的值.21．如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.【题目详解】设估计该池塘内鱼的总条数为，由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，所有池塘中有标记的鱼的概率为：，又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，所以，解得，即估计该池塘内共有条鱼故选：C2、C【解题分析】转化为一元二次方程两根问题，用韦达定理求出，进而求出答案.【题目详解】由题意得：2与3是方程的两个根，故，，所以.故选：C3、D【解题分析】设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.4、D【解题分析】取BC的中点P，连接PE，PF，则∠FPE（或补角）是AB与CD所成的角，利用勾股定理可求该角为直角.【题目详解】如图，取BC的中点P，连接PE，PF，则PF//CD，∠FPE（或补角）是AB与CD所成的角，∵AB=6，CD=8，∴PF=4，PE=3，而EF=5，所以PF2+P故选：D.【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，此类问题一般需要通过平移构建平面角，再利用解三角形的方法求解.5、B【解题分析】解不等式，得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间的包含关系的对应关系，可得不等式组，则有，（注：等号不同时成立），解可得答案【题目详解】解不等式，得其解集，，由于不等式成立的充分不必要条件是则有，（注：等号不同时成立）；解得故选B.【题目点拨】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，属于简单题6、A【解题分析】利用同角三角函数的基本关系，即可得到答案；【题目详解】，故选：A7、C【解题分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【题目详解】由，由不一定能推出，但是由一定能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C8、A【解题分析】应用集合的并运算求即可.【题目详解】由题设，或或.故选：A9、A【解题分析】利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【题目详解】由题意可知几何体的直观图如图：是直四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2，几何体的体积为：V6故选A【题目点拨】本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力10、C【解题分析】利用点到直线的距离公式求出直线和圆的距离，即可作出判断.【题目详解】圆C：的圆心坐标为：，则圆心到直线的距离，所以圆心在直线l上，故直线与圆相交故选C【题目点拨】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】先画出函数图像并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案.【题目详解】如图所示：根据函数的图象得，所以．结合函数图象，易知当时在上取得最大值，所以又，所以，再结合，可得，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.12、【解题分析】先求出时，，，然后解不等式，即可求解，得到答案【题目详解】由题意，可知时，为增函数，所以，又是上的奇函数，所以时，，又由在上的最大值为，所以，，使得，所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题.13、【解题分析】先求的的单调性和值域，然后代入中求得函数的值域.【题目详解】由于为上的增函数，而，，即，对，由于为增函数，故，即函数的值域为，也即.【题目点拨】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的值域的求法，考查复合函数值域的求法.属于中档题.14、①-2②.【解题分析】先计算出f(1)，再根据给定的分段函数即可计算得解；令f(x)=t，结合二次函数f(x)性质，的图象，利用数形结合思想即可求解作答.【题目详解】(1)依题意，，则，所以；(2)函数的值域是，令，则方程在有两个不等实根，方程化为，因此，方程有4个实数根，等价于方程在有两个不等实根，即函数的图象与直线有两个不同的公共点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，而，如图，观察图象得，当时，函数与直线有两个不同公共点，所以实数的取值范围是.故答案为：-2；15、4【解题分析】分析：直接利用基本不等式求xy的最大值.详解：因为x+y=4,所以4≥，所以故答案为4.点睛：（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.16、【解题分析】由题意可得：，则，据此有，即函数的周期为，设，则，据此可得：，若，则，此时.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）最大值为2，最小值-1【解题分析】（1）利用正弦函数的周期即可求得；（2）先求出的解析式，再根据正弦函数的图像性质求解不等式；（3）根据x∈，求得，再根据正弦函数的图像性质可得函数f（x）在的最大值和最小值.【小问1详解】，∴f（x）的最小正周期为；【小问2详解】∵∴∴∴不等式成立的的取值集合为【小问3详解】∵，∴，∴，-∴﹣1≤≤2∴当，即时，f（x）的最小值为﹣1；当，即时，f（x）的最大值为2.18、(1)点的坐标是;(2)直线方程为.【解题分析】（1）联立两条直线的方程得到交点坐标；（2）根据条件可设所求直线方程为，将P点坐标代入得到参数值解析：（1）由解得所以点的坐标是.（2）因为所求直线与平行，所以设所求直线方程为把点坐标代入得，得故所求的直线方程为.19、（1）x2+y2＝1；（2）证明见解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【解题分析】(1)由可得,列出等式即可求动点的轨迹方程;(2)设出点M的坐标,我们可以得到直线AM、直线BM的方程,与直线方程联立求得点E、点F的坐标,进而得到以为直径的圆的方程,最后求出定点坐标.【题目详解】（1）设G（x，y）（x≠±1），因为GA⊥GB，所以，整理得C的方程为x2+y2＝1（x≠±1）；（2）设点M（x0，y0）（x0≠±1），且有x02+y02＝1，则直线AM的方程为y，令x＝3，得E（3，），直线BM的方程为y，令x＝3，得F（3，），从而以EF为直径的圆方程为（x﹣3）2+（y）（y）＝0，令y＝0，则（x﹣3）2•0，即（x﹣3）20，又因为x02+y02＝1，所以，代入可得x2﹣6x+1＝0，解得x＝3±2，所以定点T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【题目点拨】本题考查动点的轨迹方程,考查直线与圆的方程的应用问题,属于中档题,涉及到的知识点有直线的点斜式方程,由圆上两点的坐标列出圆的方程,认真分析题意求得结果.20、.【解题分析】利用三角函数的定义可得，进而可求，利用同角关系式可求，再利用两角和的正切公式即得.【题目详解】∵角的终边经过点，∴，，∵，，∴，，∴21、(1)同解析（2）异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.（3）点A到平面PCD的距离d＝【解题分析】解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝,cos∠PBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，在Rt△POC中，PC＝，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.又S△=设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，即×1×1＝××h，解得h＝.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角