2024届一轮复习北师大版 21 直线与圆、圆与圆的位置关系 学案

目录直线与圆、圆与圆的位置关系 1【课前诊断】 1【知识点一：直线与圆位置关系】 3【典型例题】 5考点一：直线与圆位置关系的判定 5考点二：圆的切线方程 6考点三：直线与圆相交弦 7【知识点二：圆与圆的位置关系】 8【典型例题】 9考点一：圆与圆的位置关系 9考点二：圆与圆的公共弦 9考点三：圆与圆的公切线问题 10【小试牛刀】 11【巩固练习——基础篇】 12【巩固练习——提高篇】 14

直线与圆、圆与圆的位置关系【课前诊断】成绩（满分10）：完成情况：优/中/差1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为() A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116【答案】B2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是() A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0【答案】B3．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．【答案】(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)4．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．【答案】(0，－1)5.圆的方程是，则圆心的坐标是（）A. B.C. D.【答案】D6.圆上的点到原点的最大距离是()A. B.C. D.10【答案】B7.过点与且圆心在直线上的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B8.两圆和的连心线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【知识点一：直线与圆位置关系】1：直线与圆的位置关系由平面几何知，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断一览表位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离代数法：由消元得到一元二次方程的判别式图形2.圆的切线方程的问题（1）过圆上一点的切线方程：与圆相切于点的切线方程是；与圆相切于点的切线方程是：；与圆相切于点的切线方程是；（2）过圆外一点的切线方程：设是圆外一点，求过点的圆的切线方程.当两条切线斜率都存在时，设切线方程是，即，再由求出待定系数，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时，斜率不存在的切线方程为，切线斜率存在的切线方程的求法同上.直线与圆相交的弦长的求法（1）几何法如图所示，直线l与圆C相交于A，B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长.设弦心距为，半径为，弦为AB，则有.（2）代数法直线l与圆交于，直线l的斜率存在，设为k，则联立直线方程和圆的方程得方程组.方法一：解方程组得点A、B的坐标，再由两点间的距离公式求弦长.方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长，其中k为直线的斜率且k≠0.特别地，当k=0时，可直接利用计算；当k不存在时，可直接利用计算.温馨提示①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长.②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何问题.

【典型例题】考点一：直线与圆位置关系的判定例1.直线与圆的位置关系为A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离【答案】B例2.已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．【答案】当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d>2时，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．例3.已知在圆外，则直线与圆O的位置关系是A.相切 B.相交C.相离 D.不确定【答案】B练习1. 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？【答案】或，，

考点二：圆的切线方程例1.求经过点（1，-7）且与圆相切的直线方程.【答案】切线方程为或.例2.圆，在点处的切线方程为A. B.C. D.【答案】D练习1.过点作圆的切线，求此切线的方程．【答案】15x＋8y－36＝0或x＝4练习2. 已知圆的方程为x2+y2=25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为.【答案】练习3.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．【答案】(1)切线方程为x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)切线方程为2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)切线方程为y＋1＝－3(x－4)，

考点三：直线与圆相交弦例1.直线l经过点P（5，5）并且与圆相交截得的弦长为，求l的方程.【答案】直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.例2. 求直线被圆截得的弦长．【答案】例3. 圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为.【答案】例4. 过点的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为A. B.C. D.【答案】B练习1 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为A. B.2 C. D.【答案】D练习2. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为.【答案】练习3. 过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程A. B.C. D.【答案】A

【知识点二：圆与圆的位置关系】由平面几何知，圆与圆有五种位置关系（由远及近）：外离，外切，相交，内切，内含.设两圆与的圆心距为，我们可以得到：，则位置关系表示如下（设）：位置关系关系式图示外离外切相交内切内含

【典型例题】考点一：圆与圆的位置关系例1圆与的位置关系是A.相离 B.外切 C.内切 D.相交【答案】D例2若圆与圆相交，则的取值范围是A. B.C. D.或【答案】D练习1.圆与圆的位置关系是A.外离 B.相交 C.内切 D.外切【答案】D练习2.如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．【答案】(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))考点二：圆与圆的公共弦例1两圆和的公共弦所在直线的方程是____________．【答案】例2.若圆与圆的公共弦长为，.【答案】练习1.求经过两圆和的交点且圆心在直线上的圆的方程．【答案】x2＋y2－x＋7y－32＝0.考点三：圆与圆的公切线问题例1.两相交圆的公切线有且仅有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】B练习1.到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．【答案】4

【小试牛刀】1．两圆和的位置关系是()（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）外离【答案】B2．圆截直线所得弦长是()（A） （B） （C） （D）【答案】A3.圆与直线相切，正实数b的值为()（A） （B）1 （C） （D）3【答案】B4.过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是()（A） （B）（C） （D）【答案】A5.★★已知圆，直线，则直线与的位置关系是（）（A）一定相离 （B）一定相切（C）相交且一定不过圆心 （D）相交且可能过圆心【答案】D6.★过点的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为________．【答案】或17.★上的点到直线的距离的最大值为________．【答案】

【巩固练习——基础篇】1.若直线与圆相切，则的值为（A） （B） （C） （D）【答案】B2.圆：和：的位置关系是（A）外切 （B）内切 （C）相交 （D）相离【答案】B3.直线和圆的关系是 （A）相离 （B）相切或相交 （C）相交 （D）相切【答案】C4．过点(2,1)的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为（A） （B）（C） （D）【答案】B5．两圆和的公切线有且仅有（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条【答案】B6.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.【答案】27.设是圆上的点，则M点到直线的最短距离是.【答案】28.过点与圆相切的切线方程为.【答案】或9.圆与圆的公共弦所在的直线方程为.【答案】10．★★当m为何值时，直线与圆相交、相切、相离？【答案】当d＝2，即m＝0或－eq\f(4,3)时，直线与圆相切；当d>2，即－eq\f(4,3)<m<0时，直线与圆相离；当d<2，即m>0或m<－eq\f(4,3)时，直线与圆相交．

【巩固练习——提高篇】1．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区内的时间为()A．0.5h B．1hC．1.5h D．2h【答案】：选B2．若圆和外离，则满足的条件是________．【答案】：a2＋b2>3＋2eq\r(2)3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】：14．已知点，圆O：x2＋y2＝4.(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为