2024届一轮复习人教A版 第1章预备知识第2节充分条件与必要条件 学案

第二节充分条件与必要条件考试要求：1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会判断和证明简单的充分条件、必要条件、充要条件．一、教材概念·结论·性质重现1．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件P⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏pA是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者不同，在解题时要弄清它们的区别，以免出现错误．2．充要关系与集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件． (√)(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (√)(3)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件． (√)(4)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的真子集． (×)2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A解析：当θ＝0时，sinθ＝0成立；而当sinθ＝0时，得θ＝kπ(k∈Z)．3．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件C解析：由A∩B＝A可得A⊆B；由A⊆B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．4．a∈(0，＋∞)，b∈(0，＋∞)，则“a＜b”是“a－1＜b－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C解析：若a＜b成立，则根据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以，a＜b成立，则a－1＜b－1成立，充分性成立；若a－1＜b－1成立，根据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，a－1＜b－1成立，则a＜b成立，必要性成立．所以“a＜b”是“a－1＜b－1”的充要条件．5．已知“p：x>a”是“q：2<x<3”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_________．(－∞，2]解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.考点1充分条件与必要条件的判断——基础性1．(2022·浙江卷)设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为sin2x＋cos2x＝1，所以当sinx＝1时，cosx＝0，充分性成立；当cosx＝0时，sinx＝±1，必要性不成立．所以当x∈R时，“sinx＝1”是“cosx＝0”的充分不必要条件．故选A.2．已知a，b，c∈R，则“ab>0，bc>A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为b-ca<b+ca⇔b+ca-而ab>0，bc>0⇒所以“ab>0，bc>3．已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和，那么“a1>0”是“数列{Sn}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B解析：设等比数列{an}的公比为q，充分性：当a1>0，q<0时，Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn，无法判断其正负，显然数列{Sn}不一定是递增数列，充分性不成立；必要性：当数列{Sn}为递增数列时，Sn－Sn－1＝an>0，可得a1>0，必要性成立．故“a1>0”是“数列{Sn}为递增数列”的必要不充分条件．解决这类问题一是看前面的条件能否推出后面的结论，二是看后面的条件能否推出前面的结论，最后得出答案．考点2充分条件与必要条件的探究与证明——综合性(1)使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是()A．1b>1a>0 B．eaC．a2>b2 D．lna>lnb>0D解析：A选项，若1b>1a>0，则可以得到a>b>0；反之，当a>b>0时也可以得到1b>1a>0，所以“1b>1a>0”是“a>b>0”的充要条件，故排除A；B选项，若ea>eb，则a>b，但不一定得出a>b>0，所以“ea>eb”不是“a>b>0”的充分不必要条件，故B错；C选项，当a＝3，b＝－1时，a2＝9>b2＝1，故a2>b2推不出a>b>0，故排除C；D选项，由lna>lnb>0可得lna>lnb>ln1，则a>b>1，能推出a>b>0，反之不能推出，所以“lna>ln(2)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p⇒q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|.所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”均为真．(2)证明前必须分清楚充分性和必要性，即清楚由哪个条件推证到哪个结论．1．“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”为真命题的充要条件是()A．a≤－1B．a≤14C．a≤－2D．aA解析：因为“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”为真命题，所以a≤－1x2对任意的x∈[1，2]恒成立．由于函数y＝－1x2在区间[1，2]上单调递增，故y2．设a，b，c∈R.证明：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c.证明：(1)必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，所以12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.(2)充分性：若a＝b＝c，则(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝0，所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca.综上可知，a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c.考点3充分条件与必要条件的应用——应用性已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为_________．[0，3]解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．因为“x∈P”是“x∈S”的必要条件，所以S⊆P.所以1-m≥故0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件．若本例条件不变，是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？请说明理由．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，所以1-m=这样的m不存在．充分必要条件的应用问题的求解方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．1．(2022·武汉模拟)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[－3，3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．[－1，1]D解析：因为“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，所以(－1，4)(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.2．若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是___________．[1，2]解析：由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，因为“1<x<2”是“不等式(x－a)2<1成立”的充分不必要条件，所以满足a-1≤1，已知p：x>1或x<－3，q：5x－6>x2，则¬p是¬q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[四字程序]读想算思判断充分条件、必要条件1．充分条件、必要条件的概念．2．判断充分条件、必要条件的方法解不等式转化与化归不等式5x－6>x21．定义法．2．集合法．3．等价转化法1．一元二次不等式的解法．2．集合间的包含关系充分条件、必要条件与集合的包含关系思路参考：解不等式＋求¬p，¬q.A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.¬p：－3≤x≤1，¬q：x≥3或x≤2.显然¬p⇒¬q，¬q⇏¬p，所以¬p是¬q的充分不必要条件．故选A.思路参考：解不等式＋判断集合间的包含关系．A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即¬q：A＝{x|x≤2或x≥3}，¬p：B＝{x|－3≤x≤1}．显然BA，故¬p是¬q的充分不必要条件．故选A.思路参考：原命题与逆否命题(若¬q，则¬p)等价性＋转化．A解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为判断q是p的什么条件．由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.显然q是p的充分不必要条件．故选A.判断充分条件、必要条件、充要条件关系的三种方法：(1)定义法是最基本、最常用的方法．(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的问题．(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此方法．若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)·(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：A＝{x|0<x<1}．若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅；反之，若A∩B≠∅，则m>0.课时质量评价(二)A组全考点巩固练1．已知函数f(x)，x∈R，则“f(x)的最大值为1”是“f(x)≤1恒成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：由f(x)max＝1知f(x)≤1且存在实数x0∈R，使f(x0)＝1；而f(x)≤1，不能得到fx2．已知i是虚数单位，p：复数a－1＋bi(a，b∈R)是纯虚数，q：a＝1，则p是q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“m>1”是“方程y2m-1+A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2022·济南模拟)△ABC中，“sinA＝12”是“A＝πA．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C解析：在△ABC中，若sinA＝12，则A＝π6或5π6，因为π6，5π65．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是()A．b＝c＝0 B．b＝0且c≠0C．b＝0 D．b≥0C解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称⇔－b2a＝0⇔b6．(2023·哈尔滨模拟)已知非零向量a，b，c，则“b＝c”是“b·a＝c·a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件A解析：因为向量a，b，c是非零向量，则b＝c一定可以推出b·a＝c·a，但是若a·b＝a·c成立，不能推出b＝c，故“b＝c”是“b·a＝c·a”的充分不必要条件．故选A.7．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝_________．3或4解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔-42－4n≥0⇔n≤4.又n∈N*，则n＝4时，方程x2－4x＋4＝0有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0无整数根．所以n＝3或8．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．必要不充分解析：因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲⇒乙，乙⇏甲；因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙⇒丁，丁⇏丙．故甲⇒丁，丁⇏甲，即丁是甲的必要不充分条件．9．(2022·济宁三模)设a，b是非零向量，“a·b＝0”是“a⊥b”的________条件．充要解析：设非零向量a，b的夹角为θ，若a·b＝0，则cosθ＝0，又0≤θ≤π，所以θ＝π2，所以a⊥b；反之，a⊥b⇒a·b＝0.因此，“a·b＝0”是“a⊥b10．若不等式x-m<1成立的充分不必要条件是xx-1≤0，求实数m解：x-m<1⇔－1<x－m<1⇔－1＋m<x<1＋m，xx-1≤0⇔xx-1≤0，x-1≠0.因为不等式x-m<1成立的充分不必要条件是xx-1≤0，则[0，1)(－1＋m，1＋m所以-1+m<0，1+m≥1，B组新高考培优练11．已知函数f(x)＝sinωx(ω＞0)，则“函数f(x)在π6，2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为x∈π6，2π3，所以π6ω由于函数f(x)在π6所以π6ω≥-π2+2k解得ω≥-3+12k，ω≤34+3k，ω>0(所以“函数f(x)在π6，212．王安石在《游褒禅山记》中写道：“而世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．则“有志”是“到达奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件D解析：非有志者不能至，是必要条件，但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．13．(多选题)下列函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是()A．f(x)＝tanxB．f(x)＝3x－3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝log3|x|BC解析：因为f(x)＝tanx是奇函数，所以x1＋x2＝0⇒f(x1)＋f(x2)＝0，但fπ4＋f3π4＝0时，π4+3π4≠0，不符合要求，所以选项A不符合题意；因为f(x)＝3x－3－x和f(x)＝x3均为单调递增的奇函数，所以满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件，所以选项BC符合题意；对于选项D，由14．(多选题)直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1有两个交点的必要不充分条件是()A．m2≤1B．m≥－3C．m2＋m－12＜0D．3mBC解析：若直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1有两个交点，则2×1-2+m22+-12＜1，解得－5＜m＜5.A项中，由m2≤1，得－1≤m≤1，因为{m|－1≤m≤1}⊆{m|－5＜m＜5}，所以“m2≤1”不是“－5＜m＜5”的必要不充分条件；B项中，因为{m|m≥－3}⊇{m|－5＜m＜5}，所以“m≥－3”是“－5＜m＜5”的必要不充分条件；C项中，由m2＋m－12＜