2024届一轮复习人教A版 第2章函数第7节函数的图象 学案

第七节函数的图象考试要求：1．会画一些函数的图象，理解图象的作用．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．一、教材概念·结论·性质重现1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)．最后：描点，连线．2．函数图象的变换(1)函数图象平移变换八字方针①“左加右减”，要注意加减指的是自变量．②“上加下减”，要注意加减指的是函数值．(2)对称变换①f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称．②f(x)与－f(x)的图象关于x轴对称．(3)翻折变换①|f(x)|的图象是将f(x)的图象中x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，x轴上方的图象不变．②f(|x|)的图象是将f(x)的图象中x轴右侧的图象不变，再对称翻折到y轴的左侧．(4)关于两个函数图象对称的三个重要结论①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．③若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(5)函数图象自身的轴对称①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a+(6)函数图象自身的中心对称①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．②函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同． (×)(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同． (×)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称． (×)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称． (√)2．函数f(x)＝x＋1xA．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称C解析：因为f(x)是奇函数，所以该函数的图象关于原点对称．3．函数y＝－ex的图象()A．与y＝ex的图象关于y轴对称B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称C．与y＝e－x的图象关于y轴对称D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称D解析：由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．4．若图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是()B解析：由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小的越来越慢，结合选项可知选B.5．若函数f(x)＝ax+b，x＜A．－12 B．－C．－1 D．－2C解析：由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x+5，x＜考点1作函数的图象——基础性分别作出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x+2；(3)y＝x2－2|x|－1.解：(1)y＝lgx(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位长度．图象如图(2)所示．(3)y＝x2解决这类问题要优先考虑直接法，以及由函数解析式直接得出函数图象(一般都是我们熟悉的基本初等函数)，或者利用图象变换(如平移、翻折、对称)得出函数图象的方法．考点2判断函数的图象——综合性考向1由函数的解析式判断图象(1)函数f(x)＝2cosxA解析：因为f(－x)＝2cos-x--x2所以f(x)为偶函数，排除C.又因为fπ2＝－π24eπ2<0，所以排除BD.故选A.(2)设函数f(x)＝xcosx－sinx的图象上的点(x0，y0)处的切线的斜率为k.若k＝g(x0)，则函数g(x)的大致图象为()B解析：由f(x)＝xcosx－sinx求导得f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，于是得g(x)＝－xsinx，显然g(－x)＝－(－x)sin(－x)＝g(x)，即函数k＝g(x)是偶函数，A，D选项不满足；当x0＝π6时，k＝－π由函数的解析式判断函数图象的技巧(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象.考向2由动点探究函数图象在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()B解析：依题意，在2h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合．借助动点探究函数图象的两种方法(1)根据已知条件求出函数解析式，然后判断函数的图象．(2)采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置考查图象的变化特征，从而作出选择．1．已知图(1)中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)C解析：对于选项A，x＞0时，图象应与图①中x＞0时的图象一致，所以选项A错误；因为图(2)是一个偶函数的图象，因此排除选项B；对于选项C，x＞0时，图象应与图①中x＜0时的图象一致，又因为y＝f(－|x|)是偶函数，所以该选项正确；对于选项D，由y＝－f(－|x|)可知，该函数的图象应将选项C中的函数图象沿x轴旋转180°得到，所以选项D错误．2．(2021·天津卷)函数y＝lnxABCDB解析：设y＝f(x)＝lnxx2+2，则函数f(x)的定义域为{又f(－x)＝ln-x-x2+2＝f(当x∈(0，1)时，ln|x|<0，x2＋2>0，所以f(x)<0，排除D.故选B.3．(2022·河北高三模拟)为了得到函数y＝log2x-1的图象，可将函数y＝log2A．纵坐标缩短到原来的12B．横坐标缩短到原来的12C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度A解析：y＝log2x-1＝log2x－112＝12log2(x－1)，由y＝log2x图象的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y＝12log2x的图象，再向右平移1个单位长度，可得y＝12考点3函数图象的应用——应用性考向1研究函数的性质已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B．f(x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减C．f(x)是奇函数，在区间(－1，1)上单调递减D．f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增C解析：f(x)＝x2-2x，x利用函数的图象研究函数的性质(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值．(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性．(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考向2解不等式已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示．若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为_________．1解析：由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4即为f(3)<f(x＋t)<f(0)，故x＋t∈(0，3)，即不等式的解集为(－t，3－t)．依题意可得t＝1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．考向3求参数的取值范围设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_________．[－1，＋∞)解析：作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．在本例中，若将“g(x)＝x－1”改为“g(x)＝x＋1”，结果如何？[1，＋∞)解析：作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x＋1的图象，如图，观察图象可知，当且仅当－a≤－1，即a≥1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[1，＋∞)．与函数相关的不等式问题的求解方法当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图象的上下位置关系问题，从而利用数形结合法求解．1．下列函数y＝f(x)的图象中，满足f14＞f(3)＞fABCDD解析：因为f14＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除AB.在C中，f(3)＞f(2)＝f(0)＞f14，即f142．已知函数f(x)＝|x2－1|.若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(1，2) D．(1，2)C解析：作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象，如图所示．作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B.由x2－1＝1可得xB＝2，结合函数图象可得b的取值范围是(1,2)．3．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是_________．(－1，0)解析：在同一直角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)．4．对a，b∈R，记max{a，b}＝a，a≥b，b，a<b，则函数f(x32解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示．由图象可得，其最小值为3课时质量评价(十二)A组全考点巩固练1．(2023·威海月考)已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为()A．f(x)＝sinB．f(x)＝eC．f(x)＝|sinx|cosxD．f(x)＝ln(x2+1－xA解析：函数的定义域为{x|x≠0}，故排除选项CD；又当x＞0时，ex＞e－x，则ex2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cosx在区间-πABCDA解析：令f(x)＝(3x－3－x)cosx，x∈-π则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x∈0，π2时，3x－3－x>0，cosx>0，所以f3．已知f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点中心对称()A．(1，0) B．(－1，0)C．12，C解析：因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(2x＋1)的图象关于原点成中心对称．而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移12个单位长度得到的，故y＝f(2x)的图象关于点14．(多选题)几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换．在平面中作图形变换，易知平移变换是一种刚体变换．以下两个函数f(x)与g(x)，其中g(x)能由f(x)通过平移刚体变换得到的是()A．f(x)＝sinx，g(x)＝cosxB．f(x)＝x2，g(x)＝x2＋2xC．f(x)＝2x，g(x)＝2x＋1D．f(x)＝log2x，g(x)＝log4xABC解析：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx＝sinx+π2，即g(x)＝fx+π2，g(x)可以由对于B，f(x)＝x2，g(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，即g(x)＝f(x＋1)－1，g(x)可以由f(x)通过平移刚体变换得到；对于C，f(x)＝2x，g(x)＝2x＋1，即g(x)＝f(x)＋1，g(x)可以由f(x)通过平移刚体变换得到；对于D，f(x)＝log2x，g(x)＝log4x＝12log2x，g(x)不能由f(x5．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f((2，8]解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0的x6．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，则h(x)＝_________．－log2(x－1)解析：与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位长度得到h(x)＝－log2(x－1)的图象．7．设函数f(x)＝lnx，x≥1，1-x，x0(－∞，0)∪(e，＋∞)解析：f(f(0))＝f(1)＝ln1＝0.如图所示，可得f(x)＝lnx，x≥1，1-x，x8．(2022·许昌模拟)已知函数f(x)＝3(1)在如图所示的直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．解：(1)函数f(x)的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5].(3)由图象知当x＝2时，fxmin当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.B组新高考培优练9．(2021·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋14，g(x)＝sinx，则图象为如图的函数可能是A．y＝f(x)＋g(x)－14 B．y＝f(x)－g(x)－C．y＝f(x)g(x) D．y＝gD解析：对于A，y＝f(x)＋g(x)－14＝x2＋sinx对于B，y＝f(x)－g(x)－14＝x2－sinx对于C，y＝f(x)g(x)＝x2+14sinx，则y′＝2xsinx＋当x＝π4时，y′＝π10．将函数f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f(x)能满足条件的是(B)A．f(x)＝1x+1 B．f(x)＝ex-1－e1-C．f(x)＝x＋2x D．f(x)＝log2(x11．(多选题)函数f(x)＝ax+bx+cA．a>0 B．c