2022年广东省梅州市梅县高级中学高三数学理期末试题含解析

2022年广东省梅州市梅县高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}参考答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算求得答案．解答：解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．点评：本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2.设A，B是有限集合，定义：，其中card（A）表示有限集合A中的元素个数，则下列不一定正确的是（）A．d（A，B）≥card（A∩B）B．C．d(A，B)≤D．d(A，B)≤[card(A)+card(B)+|card(A)﹣card(B)|]参考答案：C【考点】集合中元素个数的最值．【分析】根据定义：，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵card（A∪B）≥card（A∩B），d（A，B）=≥=card（A∩B）故A一定正确；∵card（A∪B）+card（A∩B）=card（A）+card（B）∴=故B，D一定正确；由基本不等式可得：=≥，故C不一定正确；故选：C3.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（

）A.0 B. C.0或 D.以上都不对参考答案：B【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，则∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB?平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE，不满足AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ综上所述，得所求余弦值为故选B.【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题．4.已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为(

) A．（﹣∞，3） B．（0，3] C．[0，3] D．（0，3）参考答案：D考点：分段函数的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．解答： 解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：令z=b+c，则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0）处z=0，所以b+c的取值范围为（0，3），故选：D．点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．5.过点（0，1）且与曲线在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A6.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项 B．12项 C．11项 D．10项参考答案：B【考点】等比数列的性质．【分析】先设数列的通项公式为a1qn﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12qn﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．【解答】解析：设数列的通项公式为a1qn﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn﹣3，a1qn﹣2，a1qn﹣1．∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12qn﹣1=2又a1?a1q?a1q2…a1qn﹣1=64，∴=64，即（a12qn﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7.如果对任意实数t都有f(3+t)=f(3-t)，那么（

）A．f(3)<f(1)<f(6)

B．f(1)<f(3)<f(6)

C．f(3)<f(6)<f(1)

D．f(6)<f(3)<f(1)参考答案：A8.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是

（

）

A．α、β都垂直于平面r.

B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.

C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.

D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β.参考答案：答案：D9.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，则ab的最大值为（）A．1 B． C． D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作差可行域，由可行域得到使目标函数取得最小值的点，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到关于a，b的等式，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：由约束条件作差可行域如图，联立，解得A（2，3）．由图可知，目标函数z=ax+by在点（2，3）上取到最小值2，即2a+3b=2．∴ab=．当且仅当2a=3b=1，即时等号成立．故选：C．10.若（+2x）6展开式的常数项为（）A．120 B．160 C．200 D．240参考答案：B【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解（+2x）6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r2rx2r﹣6．令2r﹣6=0，解得r=3，∴（+2x）6展开式的常数项为C6323=160，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为

．参考答案：8【考点】：系统抽样方法．概率与统计．【分析】：从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，可知：按3+12k（k∈N*）抽取．可得：在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，即可得出．解：∵从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，则以后按3+12k（k∈N*）抽取．∵3×12×41=495，∴在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，因此编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8．故答案为：8．【点评】：本题考查了系统抽样的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.在中，，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________.参考答案：13.设表示离最近的整数，即若，则=.下列关于函数的四个命题中正确的是

。①函数的定义域是R，值域是；②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数是偶函数。参考答案：①②③14.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.参考答案：略15.

如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记，梯形面积为．则关于的函数解析式及定义域为

．参考答案：，16.若幂函数的图象经过点,则的值是

．参考答案：17.设实数满足不等式组，则的最小值为

；

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若P为曲线C上一点，Q为l上一点，求|PQ|的最小值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的方程转化为+=﹣4，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）点P（8tan2θ，8tanθ）到直线l的距离d==4（tan）2+3，由此能求出当tanθ=﹣时，|PQ|取得最小值．【解答】解：（1）∵直线l的方程为．即+=﹣4，∴直线l的直角坐标方程为，即x+y+8=0．（2）∵曲线C的参数方程为（θ为参数，）．P为曲线C上一点，Q为l上一点，∴点P（8tan2θ，8tanθ）到直线l的距离：d==4|（tanθ+）2+|=4（tan）2+3，∴当tanθ=﹣时，|PQ|取得最小值3．19.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．参考答案：可利用椭圆参数方程或三角表示揭示为定值.试题分析：（1）,（2）,（3）.试题解析：（1）由已知，得

解得

…2分

所以椭圆的标准方程为．

…3分20.已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根据实际问题选择函数类型．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（Ⅱ）证明当m≤2时，f（x）＞0，转化为证明当m=2时f（x）＞0．求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在（﹣2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（﹣1，0）上有唯一零点x0，则当x=x0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）＞0，从而结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．所以函数f（x）=ex﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）=ex（x+1）﹣1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．当m=2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题．21.(13分)某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试.假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为,数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m,n(m>n),且该同学3门课程都获得优秀成绩的概率为,该同学3门课程都未