2022-2023学年广东省阳江市同心中学高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年广东省阳江市同心中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于（

）A．1

B．

C．或1

D．参考答案：B2.甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有(

) A．，s1＜s2 B．，s1＞s2 C．，s1＞s2 D．，s1=s2参考答案：B考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论．解答： 解：根据茎叶图中的数据，得；甲同学测试成绩的平均数是=（76+76+82+88+88）=82，乙同学测试成绩的平均数是=（76+78+83+86+87）=82；甲同学测试成绩的方差是：=[（76﹣82）2+（76﹣82）2+（82﹣82）2+（88﹣82）2+（88﹣82）2]=，标准差是s1=，乙同学测试成绩的方差是=[（﹣6）2+（﹣4）2+12+（4）2+52]=，标准差是s2=．∴=，s1＞s2．故选：B．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题．3.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设P（m，n），由得到n2=2c2﹣m2

①．把P（m，n）代入椭圆得到b2m2+a2n2=a2b2

②，把①代入②得到m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．解答：解：设P（m，n），=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2

①．把P（m，n）代入椭圆得

b2m2+a2n2=a2b2

②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又

m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选C．点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用．4.在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在CD，若，则的值（）A. B.2 C.0 D.1参考答案：A【分析】以为原点建立直角坐标系，可以得到各点的坐标，然后表示出相应向量的坐标，再对向量进行坐标运算，得到结果.【详解】建立如图所示的坐标系，可得，，，，，，解得，，，.故选A项．【点睛】本题考查通过建立直角坐标系，将向量问题坐标化后解决，考查了向量坐标的线性运算和数量积，属于中档题.5.已知点，，若直线：与线段AB没有交点，则的取值范围是（）A.

B.

C.或

D.参考答案：C6.如图，平面四边形ABCD中，，，点E在对角线AC上，AC=4，AE=1，则的值为A．17 B．13C．5 D．1参考答案：D7.三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A． B． C．3π D．12π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R==．球的表面积为：4πR2=4=3π．故选：C．8.设的值是（

）A． B． C． D．参考答案：C略9.若的三个内角A,B,C满足,则()

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形参考答案：C略10.已知平面向量，，且，则的值为（

）

A.－3

B.-1

C.1

D.3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，且满足，则实数_______．参考答案：略12.函数的最小正周期为＿＿＿＿＿＿＿.参考答案：13.已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点，,，则圆的面积为____________．参考答案：略14.从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．参考答案：74【知识点】系统抽样方法I2

解析：样本间隔为80÷10=8，设第一个号码为x，∵编号为58的产品在样本中，则58=8×7+2，则第一个号码为2，则最大的编号2+8×9=74，故答案为：74.【思路点拨】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．15.已知O为坐标原点，点A（2，0），动点P与两点O、A的距离之比为1：，则P点轨迹方程是．参考答案：（x+1）2+y2=3考点：轨迹方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设P（x，y），由已知条件利用两点间距离公式得（x﹣2）2+y2=3（x2+y2），由此能求出P点的轨迹方程．解答：解：设P（x，y），∵动点P到两点O、A的距离之比为1：，∴|PA|=|PO|，∴（x﹣2）2+y2=3（x2+y2），化简得（x+1）2+y2=3，故答案为：（x+1）2+y2=3．点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查学生的计算能力，比较基础．16.已知向量满足的夹角为，则参考答案：

17.校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有

种．参考答案：144三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））．（1）试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率；（2）若该群中成员甲、乙两人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率．参考答案：【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出不小于3的频率是多少即可；（2）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率是多少．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；该群中抢到红包的钱数不小于3元的频率是1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35，∴估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率是0.35；（2）该群中抢到钱数不小于4元的频率为0.10，对应的人数是60×0.10=6，记为1、2、3、4、甲、乙；现从这6人中随机抽取2人，基本事件数是12，13，14，1甲，1乙，23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15种；其中甲乙两人至少有一人被选中的基本事件为1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9种；∴对应的概率为P==．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19.（满分１５分）动圆过定点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过作曲线两条互相垂直的弦，设的中点分别为、.（1）求曲线的方程；（2）求证：直线必过定点.Ks5u参考答案：解：（1）设，则有，化简得……………6分（2）设，代入得，，,故………………10分因为，所以将点坐标中的换成，即得。则

，整理得,故不论为何值，直线必过定点.………………15分略20.已知函数f（x）=x（x﹣a）2，g（x）=﹣x2+（a﹣1）x（其中a为常数）（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并写出函数y=f（x）的单调区间；（2）求方程f（x）﹣g（x）=0在区间上实数解的个数．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数y=f（x）的导数，求出极值点，通过与y=g（x）有相同的极值点相同，求a的值，利用导数值的符号直接写出函数y=f（x）的单调区间；（2）化简方程f（x）﹣g（x）=0，构造函数，通过a的讨论，利用判别式是否为0，即可求解在区间上实数解的个数．解答： （本小题满分13分）解：（1）f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2x，则f'（x）=3x2﹣4ax+a2=（3x﹣a）（x﹣a），…令f'（x）=0，得x=a或，而二次函数g（x）在处有极大值，∴或；综上：a=3或a=﹣1．…当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，1]，，满足题意，即原方程有一解，x=a∈；

…2°当a=3时，△=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3；3°当a=﹣1时，△=0，h（x）=0的解为x=﹣1，故原方程有一解，x=﹣1；4°当a＞3时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13﹣3a若时，h（x）=0在上有一解，故原方程有一解；若，h（x）=0在上有两解，故原方程有两解若时，h（x）=0在上两解，故原方程有两解；5°当a＜﹣1时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13﹣3a＞0，h（x）=0在上有一解，故原方程有一解；

…综上可得：当时，原方程在上两解；当a＜3或时，原方程在上有一解…．点评：本题考查函数与导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间，函数的零点的判断，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力．21.设f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求f（x）≤x+2的解集； 参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集； （2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围． 【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得： 或或， 即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?， 解得0≤x≤2， 所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；

（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3， 当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号． 由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立， 可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或， 解得x≤﹣或x≥， 故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键． 22.设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1），设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），又切线为y=x﹣1，可得，消a，再利用函数的单调性即可得出x0，a．（2）令，所以，可得其单调性．g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论．【解答】（1）解：，设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），即，又切线为y=x﹣1，所以，消a，得，设，易得g（x）为减函数，且g（1）=0，所以x0=1，a=1（2）证明：令，所以，当x＞1时，g'（