2022-2023学年广东省广州市新元中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年广东省广州市新元中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则a，b，c的大小关系是(

)A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：A【考点】对数值大小的比较；不等式比较大小．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc的范围即可得到答案．【解答】解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．2.已知二次函数的导数为，，与轴恰有一个交点，则的最小值为（

）A．3

B．

C．2

D．参考答案：A略3.设函数的定义域为R，且，若则函数的最小值是（

）A．1

B．3

C．

D．参考答案：B略4.复数对应的点在复平面位于(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

参考答案：A略5.设的最大值为A

2

B

C

1

D参考答案：C解析：因为，6..已知x，y满足约束条件，则的最大值与最小值之和为（

）A.4 B.6 C.8 D.10参考答案：C【分析】首先画出可行域，然后求得最大值和最小值，最后求解两者之和即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，据此可知目标函数的最大值为：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.综上可得：的最大值与最小值之和为8.故选：C.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.7.设集合A=，B=，则满足的集合M的个数是()高考资源网首发A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C略8.已知集合，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D9.在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=(

)A．5

B．8

C．10

D．14参考答案：B10.已知全集，集合，，那么集合(

)A．B．

C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义是向量和的“向量积”，它的长度，其中为向量和的夹角，若，，则

.参考答案：12.在长为10的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率为．参考答案：∵以线段AC为边的正方形的面积介于25cm2与49cm2之间∴线段AC的长介于5cm与7cm之间满足条件的C点对应的线段长2cm而线段AB总长为10cm

故正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率P==13.如图所示，墙上挂有一边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是__

▲

___．参考答案：答案：14.如图所示,满足的点(x,y)围成的区域记为A,区城A内的两条曲线分别为函数,图象的部分曲线,若向区域A内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为________.参考答案：【分析】利用定积分可求解区域中非阴影部分面积为，利用割补法即得，再利用面积比即得解.【详解】不妨设与交点为A，则，与x轴交点为B，则；曲线在与x轴所围的曲边梯形面积：故在与y轴所围的曲边梯形面积：由于，互为反函数，图像关于y=x对称，因此图象中两块非阴影部分面积相等，因此故：若向区域A内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为：故答案为：【点睛】本题考查了定积分与几何概型综合，考查了学生数形集合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15.已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M的坐标为(2,0)，若AM为的角平分线，则___________.参考答案：【分析】由题意可知：A在y轴左侧，3，根据椭圆的性质可知：|AF1|+|AF2|＝2a＝10，即可求得|AF2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设A在y轴左侧，∴3，由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，A在y轴右侧时，|AF2|，故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．16.定义在R上的运算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是

．参考答案：17.已知集合A={}，，则

▲

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x＞0，都有f′（x）＞．（Ⅰ）判断函数F（x）=在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出导数F'（x），根据条件判断导数在（0，+∞）内的符号，从而说明函数F（x）的单调性；（Ⅱ）运用（Ⅰ）的结论证明，注意应用累加法；（Ⅲ）先写出推广的结论，然后运用（Ⅰ）的结论证明，并注意累加．【解答】解：（Ⅰ）对F（x）求导数，得F′（x）=，∵f′（x）＞，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，∴F′（x）＞0，故F（x）=在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1+x2．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2），即＜，∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2），同理可得f（x2）＜f（x1+x2），以上两式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，xn∈（0，+∞），其中n≥2，则f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）．∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1+x2+…+xn．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2+…+xn），即＜．∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2+…+xn）．同理可得f（x2）＜f（x1+x2+…+xn），f（x3）＜f（x1+x2+…+xn），…f（xn）＜f（x1+x2+…+xn），以上n个不等式相加，得f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）．19.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）当时，数列满足，，求数列的通项公式．参考答案：（Ⅰ）证明：因为,则， 所以当时，，整理得．-------------4分由，令，得，解得．所以是首项为，公比为的等比数列．

-----------------6分（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，则， 由，得，

-----------------8分当时，可得＝，

-----------------10分 当时，上式也成立．

∴数列的通项公式为．

-----------------12分20.1,3,5

（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求证：是等比数列并求通项公式；

（Ⅲ）令，，求数列的前n项和.参考答案：解:（Ⅰ）由

①

得

②

---------1分

由②—①，得

即：

---------2分

由于数列各项均为正数，

------------3分

即

数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是

----------4分（Ⅱ）由知，所以，

------------5分有，即，---------6分而，故是以为首项，公比为2的等比数列。

---------7分所以

---------8分（Ⅲ），

-------9分所以数列的前n项和

错位相减可得

----------12分略21.某中学为丰富教职工生活，在元旦期间举办趣味投篮比赛，设置A，B两个投篮位置，在A点投中一球得1分，在B点投中一球得2分，规则是：每人按先A后B的顺序各投篮一次（计为投篮两次），教师甲在A点和B点投中的概率分别为和，且在A，B两点投中与否相互独立（1）若教师甲投篮两次，求教师甲投篮得分0分的概率（2）若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则投篮两次，求甲得分比乙高的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设“教师甲投篮得分0分”为事件A，利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出教师甲投篮得分0分的概率．（2）设“甲得分比乙高”为