2022-2023学年湖北省荆州市石首小河口镇河口中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年湖北省荆州市石首小河口镇河口中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从1,2,3,。。。，10，这10个号码中任取3个号码，其中至少有两个号码是连续整数的概率是A

B

C

D

参考答案：B2.．已知函数有两个零点，则有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.已知的定义域为，则函数的定义域为A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知且|x1-x2|的最小值

是，则正数的值为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.集合，则

（

）

参考答案：B6.关于复数Z=的四个命题：p1：|Z|=2p2：Z2=2ip3：Z的共轭复数为1+ip4：Z的虚部为﹣1．其中的真命题为（）A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4参考答案：C【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数Z==﹣1﹣i，再利用复数的有关概念及其运算即可判断出结论．【解答】解：复数Z===﹣1﹣i．p1：|Z|==≠2，因此不正确；p2：Z2=2i，正确；p3：Z的共轭复数为﹣1+i，因此不正确；p4：Z的虚部为﹣1．正确．其中的真命题个数为2．故选：C．7.已知等差数列的前13项之和为，则等于A.B. C.D.1参考答案：C8.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且。若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.已知函数f（x）=，若f（8﹣m2）＜f（2m），则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，2） B．（﹣4，1） C．（﹣2，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）参考答案：A【考点】分段函数的应用．【分析】先求出函数的单调性，根据函数单调性的性质得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（x）在R上单调递减，由f（8﹣m2）＜f（2m），得：8﹣m2＞2m，解得：﹣4＜m＜2，故选：A．10.已知函数，

则

(

)

A、32

B、16

C、

D、

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线，直线，直线与抛物线E相交于A，B两点，且AB的延长线交抛物线E的准线于C点，（其中O为坐标原点）,则k=

．参考答案：由得B为AC中点，所以由得

12.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“”。按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则对于任意；④对于任意向量，若，则。其中真命题的序号为__________参考答案：①②③略13.设f（x）与g（x）是定义在同一区间D上的两个函数，若，使得|f（x0）﹣g（x0）|≤1，则称f（x）和g（x）是D上的“接近函数”，D称为“接近区间”；若x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|＞1，则称f（x）和g（x）是D上的“远离函数”，D称为“远离区间”．给出以下命题：①f（x）=x2+1与g（x）=x2+是（﹣∞，+∞）上的“接近函数”；②f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3的一个“远离区间”可以是[2，3]；③f（x）=和g（x）=﹣x+b（b＞）是（﹣1，1）上的“接近函数”，则＜b≤+1；④若f（x）=+2ex与g（x）=x2+a+e2（e是自然对数的底数）是[1，+∞）上的“远离函数”，则a＞1+．其中的真命题有

．（写出所有真命题的序号）参考答案：①③【知识点】命题的真假判断与应用．解析：对于①，若f（x）=x2+1与g（x）=x2+，则|f（x0）﹣g（x0）|=1恒成立，故f（x）=x2+1与g（x）=x2+是（﹣∞，+∞）上的“接近函数”；故①正确；对于②，若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3，则|f（x0）﹣g（x0）|=|x02﹣5x0+7|=|（x0﹣）2+|，当x0∈[2，3]时，|f（x0）﹣g（x0）|≤1恒成立，故[2，3]是f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3的一个“接近区间”，故②错误；对于③，若f（x）=和g（x）=﹣x+b（b＞）是（﹣1，1）上的“接近函数”，则x0∈（﹣1，1）使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，即x0∈（﹣1，1）使﹣x0+b﹣≤1，即x0∈（﹣1，1）使b≤+1+x0，令h（x）=+1+x，则h′（x）=1﹣，则当x∈（﹣，）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；当x∈（，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；故当x=时，h（x）取最大值+1，则＜b≤+1；故③正确；④若f（x）=+2ex与g（x）=x2+a+e2（e是自然对数的底数）是[1，+∞）上的“远离函数”，即?x∈[1，+∞），|+2ex﹣x2﹣a﹣e2|=|a﹣﹣2ex+x2+e2|=|（x﹣e）2+a﹣|＞1，令p（x）=（x﹣e）2+a，则p（x）在（﹣∞，e）上递减，在（e，+∞）上递增，∴当x=e时，p（x）取最小值a；令q（x）=，则q′（x）=，易得q（x）在（﹣∞，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当x=e时，p（x）取最大值；∴|a﹣|＞1，即a＞1+或a＜﹣1+．故④错误；故真命题有：①③，故答案为：①③【思路点拨】根据已知中“接近函数”和“远离函数”的定义，逐一分析题目中给定的四组函数是否符号定义，最后综合讨论结果，可得答案．

14.计算

．参考答案：,故答案为.

15.若复数满足（是虚数单位），则其共轭复数=-----

．参考答案：-i略16.平面向量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|＝

参考答案：2【知识点】平面向量的数量积及应用F3由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12∴|a+2b|=2.【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．17.设是有穷数列{}的前n项和，定义：

为数列{}的“Kisen”和．如果有99项的数列：…的“Kisen”和1000，则有100项的数列：1，…的“Kisen”和=

.参考答案：991解：记99项数列前n项和为，由已知…1000×99,设100项

数列的前n项和为,则…,,所以

.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知中,A,B,C的对边分别是，，，且，（1）分别求角和的值；（2）若，求的面积．参考答案：（1）;（2）.试题分析：（1）先根据二倍角公式、配角公式化简条件求出角B，再根据正弦定理及三角形内角关系将条件转化为关于角C的条件，进而得到的值；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形面积公式求的面积．试题解析：（1），

即：所以或（舍），即，根据正弦定理可得：,经化简得：19.已知椭圆C的方程是=（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，左焦点坐标为（﹣4，0），且过点p()．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为，（a＞b＞0），∴a2=b2+16，即椭圆的方程为，∵点在椭圆上，∴，解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），又，则得，所以，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，而，所以PQ的斜率为，因此，过P点引圆M的切线方程为：，即令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0），所以，因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF=．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由题设知a2=b2+16，即椭圆的方程为，由点在椭圆上，知，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）由A（﹣6，0），F（4，0），，知，，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积．解答：解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为，（a＞b＞0），∴a2=b2+16，即椭圆的方程为，∵点在椭圆上，∴，解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），又，则得，所以，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，而，所以PQ的斜率为，因此，过P点引圆M的切线方程为：，即令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0），所以，因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF=．点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化20.（本小题满分14分）在长方体中，，点在棱上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长．参考答案：证明：（Ⅰ）在长方体中，因为面，所以．

……2分在矩形中，因为，所以．所以面．………………4分（Ⅱ）如图，在长方体

中，以为原点建立空间直角坐标系．依题意可知，，，设的长为，则，．假设在棱上存在点，使得∥平面．设点，则，．易知．设平面的一个法向量为，则，即．………………7分令得，，所以．因为∥平面，等价于且平面．得，所以．所以，，所以的长为．………………9分（Ⅲ）因为∥，且点，所以平面、平面与面是同一个平面．由（Ⅰ）可知，面，所以是平面的一个法向量．

………………11分由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为．因为二面角的余弦值为，所以，解得．故的长为．

…………14分21.（本小题12分）已知在等比数列中，，且是和的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．参考答案：（Ⅰ）设公比为q，则，，∵是和的等差中项，∴，∴（Ⅱ）则22.某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案． 1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，2，…，5），且pi=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为； （1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率； （2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望． 参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）记事件“选手正确回答第i扇门歌曲”为Ai记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为B，记事件“回答正确后选择继续挑战”为C，第三扇门选手答不出才求助，由此能求出选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率． （2）X可能的取值有：0，3000，6000，8000，12000，24000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望． 【解答】解：设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件Ai，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B， 事件“每一扇门回答正确