基于dfff谱分析及互关法检测正弦信号相位差的方法

基于dfff谱分析及互关法检测正弦信号相位差的方法

相位差测量对旋转机械的故障诊断和其他领域非常重要。以往的电子模拟式相位测量采用了占其自身利益的骑法器法和波形截击法的原理，这些原理是由硬件电路完成的。在硬件电路中，电路的温漂、噪声和干扰消息的影响会导致测量结果的误差。随着计算机技术和仪器技术的发展,在检测仪器中硬件电路实现的信号处理功能正逐步被软件替代.本文利用虚拟仪器技术,基于LabVIEW平台研究两正弦信号相位差数字化测量,在实验过程中利用A/D板对两被测正弦波进行采样,得到正弦波的离散数字信号,通过所设计的LabVIEW程序,实现信号相位差的测量.1谱分析方法及检测误差分析1.1采样序列中傅里叶变换DFT/FFT谱分析法实际上是对满足狄里赫利条件的信号进行傅立叶级数分析,获得输入信号的基波参数.对于输入信号x(t),设其频率为f0,若在0—T区间内按Δt=T/N对该信号进行采样,得到长度为N的采样序列x(n),x(n)的离散傅里叶变换为:X(k)=DFΤ[x(n)]=Ν-1∑n=0x(n)⋅exp(-j2πΝn)=Ν-1∑n=0x(n)⋅[cos(2πkΝn)-jsin(2πkΝn)]=Re[X(k)]+Ιm[X(k)]k=0,1,2,⋯‚Ν-1(1)若X(k)最大谱线对应的k记作m,则m=int(f0T),一般认为信号的基频为m·Δf,其中Δf=1/T为DFT的频率分辨率.基频信号的初相位为:tanθm=Ιm[X(m)]Re[X(m)](2)通过傅里叶变换可以只提取出基波参数,因此谐波的存在并不影响基波成分.1.2采样序列dft的检测实际上,由于计算机只能对有限多个样本进行采样、运算,DFT谱分析也只能在有限区间内进行,这就不可避免地存在由于时域截断产生的能量泄漏,使谱峰值变小、精度降低.设正弦信号x(t)=acos(2πf0t+φ0),其中a、f0、θ0分别为正弦信号的幅值、频率及初相位.在0—T区间内按Δt=T/N对正弦信号进行采样,得到长度为N的采样序列:x(n)=acos(2πf0Τn/Ν+θ0)则,x(n)的N点DFT可以表示为:Xk=a⋅sin[π(k-f0Τ)]2⋅sin[πΝ(k-f0Τ)]×exp{j[θ0-Ν-1Ν(k-f0Τ)π]}(3)k=0,1,2,⋯,Ν/2-1Xk的幅度记作Ak:Ak=a⋅sin[π(k-f0Τ)]2⋅sin[πΝ(k-f0Τ)](4)对于N较大,在Xk的主瓣附近Ak可近似为:Ak=Ν⋅a⋅sin[π(k-f0Τ)]2⋅π(k-f0Τ)Ak峰值谱线对应的k记作m,则m=int(f0T).Ak在峰值谱线的幅值记作ˆAm:ˆAm=Ν⋅a⋅sin[π(m-f0Τ)]2⋅π(m-f0Τ)(5)令δ=m-f0T,表示信号的实际频率与峰值谱线对应的频率(m·Δf)的相对偏差,其变化范围为(-0.5,0.5),其中Δf=1/T为DFT的频率分辨率.Ak在峰值谱线处的相位记作φm:φm=θ0-(1-1/Ν)δπ(6)可见,利用DFT得到的相位,其误差为(1-1/N)δπ,有可能达到90°.因此,必须对频谱进行校正以提高检测精度.1.3频率校正量的检测为解决离散频谱误差较大的问题,近年来有关学者致力于频谱校正理论的研究,取得了很多成果,其中,相位差校正法对时域信号分前后两段作傅立叶变换,利用其对应离散谱线的相位差校正出谱峰处的准确频率和相位,算法简单、实用.相位差校正法基本思想是:对原始单频率成分信号采连续两段样本,每段取相同的采样点数,则两段信号具有相同的频率、幅值、不同的初相位,即两段信号存在相位差.分别对其两段信号作傅立叶变换,求出其谱峰及峰值处的相位,两段信号具有相同的谱峰位置,不同的相位角.由于对两段信号都是加相同的窗函数后再进行离散傅里叶变换,变换后的相频函数在窗函数主瓣内都具有线性关系,而且斜率相同,因此可利用峰值处相位角的差求出频率校正量,用于实现频率、相位的校正,当窗谱函数表达式为已知时,可进行幅值校正.设第1段信号的初相位为θ0,第两段信号的初相位为θ1,两段信号加同样的窗函数且进行离散DFT可得:θ0+2πf0Τ=θ1(7)其中,f0=fs(m+δ)/N,m为峰值谱线对应的k.δ(在-0.5—0.5之间)为频率校正量,T=N/fs,fs为采样频率.将f0代入式(7)得:θ0+2π(m+δ)=θ1(8)由于m为整数,故式(8)可简化为:θ0-θ1=2πδ(9)由此可得归一化的频率校正量表达式为:δ=θ0-θ12π(10)峰值谱线m处的相位角可通过式(2)求得.由于对两段信号都是加相同的窗函数后再进行离散傅里叶变换,变换后的相频函数在窗函数主瓣内都具有线性关系,而且斜率相同,所以:{θ0=θm0-δπθ1=θm1-δπ(11)将式(11)代入式(10)得:δ=θm0-θm12π(12)θm0、θm1的相位应在(-π,π)之间,而θm0-θm1的变化范围为(-2π,2π),所以需对δ进行调整,调整后的频率校正量记作ˉδ,则:ˉδ={θm0-θm12π+1(θm0-θm1＜-π)θm0-θm12π-1(θm0-θm1＞π)(13)校正后的信号初相位:θ=θm0-ˉδπ(14)利用上述方法同时求得两同频信号x(t),y(t)的初相位θx,θy,就不难得到两者的相位差为:φ=θx-θy(15)在实验过程中,采用12位A/D采集系统和虚拟仪器技术,组建了DFT相位差检测仪.对50Hz混有噪声的正弦信号进行检测,每周期采样点数设为1024,实验结果表明:当信噪比S/N=40dB时,相位差检测精度为0.08°;当信噪比S/N=20dB时,相位差检测精度为0.24°.虽然采用相位差校正后相位的检测精度大大提高,但由于采用有限长度的样本代替了高斯白噪声和均匀分布的A/D量化误差,使得被检信号与噪声信号并非完全不相关.在实验过程中可发现,初相位的估计与信号的信噪比、DFT的长度有关,所以,测量误差不仅与采样点数有关,也与信号的信噪比和A/D的位数有关.当DFT的长度大于等于1024、A/D的位数大于等于12时,检测精度主要受信号信噪比的影响.2相关方法的检测原理和检测误差的分析2.1a、c.[2rx-t+3.2.2.2设两被测信号:x(t)=Asin2πft+Νx(t)y(t)=Bsin(2πft+φ)+Νy(t)其中:A、B分别为x(t),y(t)信号的幅值,Nx(t)、Ny(t)分别为x(t),y(t)信号上的噪声.对x(t),y(t)进行相关运算,有:Rxy(τ)=1Τ∫Τ0x(t)y(t+τ)dt=1Τ∫Τ0[Asin2πft+Νx(t)]⋅[Bsin(2πft(t+τ)+φ)+Νy(t+τ)]dt当τ=0时Rxy(0)=1Τ∫Τ0[Asin2πf(t)+Νx(t)]⋅[Bsin(2πft+φ)+Νy(t)]dt由于噪声和信号不相关,且噪声之间也不相关,积分后得:Rxy(0)=AB2cosφ所以,相位差φ可通过下式求得:φ=arccos(2Rxy(0)AB)两信号的幅值A、B,可以通过自相关函数来确定.一般地,正弦信号可以表示为x(t)=Asin(ωt+φ),其自相关函数为:ˆRx(τ)=1ΤΤ2∫-Τ2x(t)x(t+τ)dt=1ΤΤ2∫-Τ2Asin(ωt+φ)Asin[ω(t+τ)+φ]dt令a=ωt+φ,则dt=da/ω,上式可以写为ˆRx(τ)=A2ωΤ[π∫-πsinasin(a+ωτ)da]=A22cosωτ当τ=0时,由上式可以得到ˆRx(0)=A22,因此有A-√2ˆRx(0)实际处理的信号为采样后的离散点序列,相应的离散计算公式为:Rxy(0)=1nn-1∑i=0x(i)y(i)Rx(0)=1nn-1∑i=0x2(i)Ry(0)=1nn-1∑i=0y2(i)φ=arccos(Rxy(0)√Rx(0)Ry(0))式中:k为采样点数,i为第i个采样点,x(i),y(i)分别为信号在第i个采样点的值.2.2信噪比s/n的影响实验依然采用12位A/D采集系统和虚拟仪器技术,组建相关法相位差检测仪.对50Hz混有噪声的正弦信号测试,周期采样点数设为1024,实验结果表明:当信噪比S/N=40dB时,相位差检测精度为0.02°;当信噪比S/N=20时,相位差检测精度为0.4°.相关分析对于采样转换信号中的直流偏移和噪声等干扰具有很强的抑制能力,它的误差主要是因为采用有限长度的样本代替了高斯白噪声和均匀分布的A/D量化误差,使得被检正弦信号与噪声信号并非完全不相关.所以,测量误差不仅与采样点数有关,也与信号的信噪比和A/D的位数有关.3dft/fft谱分析法相位差校正利用DFT/FFT谱分析法、相关分析法进行相位差的检测,适合应用于以计算机为核心构成的检测系统中,特别是适合利用虚拟仪器技术组建的检测系统.未经校正的DFT/FFT谱分析法相位检测误差很大,必须进行校正,才能得到理想的检测精度,简单实用的方法是利用相位差法进行校正.经校正后,相位检测精度可以很高.无论是DFT谱分析法还是相关分析法,都克服了传统电子器件受硬件电路零漂、噪声干扰等影响的缺