备战中考数学 二次函数专题

中考数学二次函数专题命题点1二次函数的性质1.抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是()A.B.C.D.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的对称轴是()A.直线x＝－3B.直线x＝－2C.直线x＝－1D.直线x＝03.二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是()A.y＝(x－1)2＋2B.y＝(x－1)2＋3C.y＝(x－2)2＋2D.y＝(x－2)2＋44.抛物线y＝eq\f(1,2)x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知函数y＝－x2－2x，当________时，函数值y随x的增大而增大．命题点2二次函数图象的平移6.如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是()A.y＝(x－1)2＋2B.y＝(x＋1)2＋2C.y＝x2＋1D.y＝x2＋37.要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是()A.向左平移1个单位，再向上平移2个单位B.向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.向右平移1个单位，再向上平移2个单位D.向右平移1个单位，再向下平移2个单位8.若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为()A.y＝(x－2)2＋3B.y＝(x－2)2＋5C.y＝x2－1D.y＝x2＋49.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的解析式是()A.y＝－(x－eq\f(5,2))2－eq\f(11,4)B.y＝－(x＋eq\f(5,2))2－eq\f(11,4)C.y＝－(x－eq\f(5,2))2－eq\f(1,4)D.y＝－(x＋eq\f(5,2))2＋eq\f(1,4)命题点3二次函数图象与系数的关系10.某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：x…－2－1012…y…－11－21－2－5…由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是()A.－11B.－2C.1D.－511.以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是()A.b≥eq\f(5,4)B.b≥1或b≤－1C.b≥2D.1≤b≤212.已知直线y＝bx－c与抛物线y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象可能是()13.抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是()A.4B.6C.8D.1014.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a＋c<b；④b2－4ac>0，其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4第14题图第15题图15.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．命题点4二次函数图象与方程、不等式16.若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A.x1＝－3，x2＝－1B.x1＝1，x2＝3C.x1＝－1，x2＝3D.x1＝－3，x2＝117.若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，则eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)的值为________．第18题图18.如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为____________．命题点5二次函数的实际应用19.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．20.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为________．21.如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为eq\f(3,4)m，到墙边OA的距离分别为eq\f(1,2)m，eq\f(3,2)m.(1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？第21题图22.某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树．(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式；(2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少个？23.一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg.经销一段时间后得到如下数据：销售单价x(元/kg)120130…180每天销量y(kg)10095…70设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？命题点6二次函数综合题24.如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．第24题图25.正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线L的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．第25题图26.已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝eq\f(5,4)，求这个二次函数的关系式．第26题图参考答案1.A【解析】∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是(3，1)．2.B【解析】由表格的数据可以看出，x＝－3和x＝－1时y的值相同，都是－3，所以可以判断出，点(－3，－3)和点(－1，－3)关于二次函数图象的对称轴对称，利用公式x＝eq\f(x1＋x2,2)，可求出对称轴为直线x＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－3－1,2)＝eq\f(－4,2)＝－2.3.B【解析】将二次函数的一般式经过配方转化成顶点式，可以加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式．y＝x2－2x＋4＝x2－2x＋1＋3＝(x－1)2＋3.4.B【解析】抛物线y＝eq\f(1,2)x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：序号逐项分析正误①抛物线y＝eq\f(1,2)x2，y＝x2都是开口向上，但抛物线y＝－x2的开口向下，错误②三条抛物线都是以(0，0)为顶点，正确√③三条抛物线都是以y轴为对称轴，正确√④三条抛物线都关于y轴对称，错误5.x≤－1【解析】∵函数y＝－x2－2x，其图象的对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝－1，且a＝－1<0，∴在对称轴的左边y随x的增大而增大，∴x≤－1.6.C【解析】根据图象平移变换口诀“左加右减，上加下减”进行解答．把抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位得y＝x2＋2－1＝x2＋1.7.D【解析】y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，该抛物线的顶点坐标是(－1，2)，抛物线y＝x2的顶点坐标是(0，0)，则平移的方法可以是：将抛物线y＝x2＋2x＋3向右移1个单位，再向下平移2个单位得抛物线y＝x2.8.C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.9.A【解析】∵抛物线的解析式为：y＝x2＋5x＋6，∴绕原点旋转180°变为y＝－x2＋5x－6，即y＝－(x－eq\f(5,2))2＋eq\f(1,4)，∴再向下平移3个单位长度得到的抛物线解析式为y＝－(x－eq\f(5,2))2＋eq\f(1,4)－3＝－(x－eq\f(5,2))2－eq\f(11,4).10.D【解析】由函数图象关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图象上，把点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入函数解析式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝－2,c＝1,a＋b＋c＝－2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝0,c＝1))，∴函数解析式为y＝－3x2＋1，x＝2时y＝－11.11.A【解析】∵二次函数图象不经过第三象限，∴分两种情况讨论：(1)当对称轴在x≥0范围内，即b－2≥0时，需满足在x＝0时，函数值大于等于0，即y＝b2－1≥0，解得b≥2；(2)当对称轴在x＜0范围内，即b－2＜0时，需满足函数图象顶点的纵坐标大于等于0，即eq\f(4（b2－1）－[－2（b－2）]2,4)＝4b－5≥0，解得eq\f(5,4)≤b＜2；综上所述，b的取值范围为b≥eq\f(5,4).12.C【解析】在A中，抛物线的对称轴在y轴右边，∴－eq\f(b,2a)＞0，∵a＞0，∴b＜0；而从一次函数图象知b＞0，∴选项A错误；在B中，抛物线对称轴－eq\f(b,2a)＞0，∵a＜0，∴b＞0；而从一次函数图象知b＜0，∴选项B错误；在C中，抛物线的对称轴在y轴左边，∴－eq\f(b,2a)＜0，∵a＞0，∴b＞0；抛物线与y轴负半轴相交，∴c＜0；而从一次函数图象知b＞0，－c＞0，∴c＜0，∴选项C正确；在D中，抛物线与y轴的正半轴相交，c＞0，由一次函数图象知－c＞0，即c＜0，∴选项D错误．13.A【解析】由题知，对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则有1≤－eq\f(b,2)≤3，可得到：－6≤b≤－2，由抛物线经过点A(2，6)，代入可得4＋2b＋c＝6，∴b＝eq\f(2－c,2)，∴－6≤eq\f(2－c,2)≤－2,解得6≤c≤14，∴c的值不可能是4.14.C【解析】∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＞0，故①错误；∵图象与y轴交于x轴上方，∴c＞0，故②正确；当x＝－1时，a－b＋c<0，则a＋c<b，故③正确；图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故④正确．15.0【解析】设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x轴的一个交点是P(4，0)，∴与x轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a－2b＋c，∴4a－2b＋c＝0.16.C【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0.当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，当x＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.17.－4【解析】由题意可知，x1，x2为方程2x2－4x－1＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－eq\f(1,2)，则eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(2,－\f(1,2))＝－4.18.x<1或x>3【解析】∵直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，∴根据图象可知，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x＜1或x＞3.19.1.6秒【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同.故该距离为0.5秒，所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．20.0<a≤5【解析】设未来30天每天获得的利润为y，y＝(110－40－t)(20＋4t)－(20＋4t)a化简，得y＝－4t2＋(260－4a)t＋1400－20a，每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为整数)的增大而增大，则eq\f(－（260－4a）,2×（－4）)≥30，解得a≤5，又∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a≤5.21.解：(1)由题意知，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点B(eq\f(1,2)，eq\f(3,4))，C(eq\f(3,2)，eq\f(3,4))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋\f(1,2)b＝\f(3,4),\f(9,4)a＋\f(3,2)b＝\f(3,4))))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝2)))，∴抛物线的解析式是y＝－x2＋2x.(3分)根据对称性知，抛物线的对称轴是x＝－eq\f(b,2a)＝1，当x＝1时，y＝1，∴顶点坐标是(1，1)．答：图案最高点到地面的距离是1m．(5分)(2)∵抛物线的对称轴是x＝1，∴一个图案与地面两交点间的距离是2m，10÷2＝5.答：最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案．(8分)22.解：(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为：y＝600－5x(0≤x≤120)．(3分)(2)设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，(4分)则w＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60000＝－5(x－10)2＋60500.(7分)答：果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．(8分)23.解：(1)y＝－eq\f(1,2)x＋160，120≤x≤180.(3分)(2)设销售利润为W元，则W＝y(x－80)＝(－eq\f(1,2)x＋160)(x－80)，(4分)即W＝－eq\f(1,2)x2＋200x－12800＝－eq\f(1,2)(x－200)2＋7200.(5分)∵－eq\f(1,2)＜0，∴当x＜200时，W随x的增大而增大，又120≤x≤180，∴当x＝180时，W取最大值，此时，W＝－eq\f(1,2)(180－200)2＋7200＝7000.答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．(8分)24.解：(1)把B(3，0)代入抛物线解析式，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，(2分)∴y＝－x2＋2x＋3，∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)．(4分)第24题解图(2)如解图，连接BC交抛物线对称轴l于点P，连接AP，此时PA＋PC的值最小．(6分)由抛物线y＝－x2＋2x＋3得点C的坐标为(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把点B(3，0)，C(0，3)的坐标代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝3k＋b,3＝b))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝3))，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.(8分)当x＝1时，y＝－1＋3＝2.∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．(10分)25.【思路分析】①建立坐标系时应使正方形内抛物线上点的坐标是正数，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，即可表示出O、P、A三点的坐标；②用待定系数法即可求得抛物线的解析式．解：如解图，以OA所在的直线为横轴，水平向右为正方向，以OC所在直线为纵轴，垂直向上为正方向，建立平面直角坐标系．第25题解图①O(0，0)，P(2，2)，A(4，0)；(3分)②设抛物线L的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将点O，P，A的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(c＝0,4a＋2b＋c＝2,16a＋4b＋c＝0)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2),b＝2,c＝0)))，∴抛物线L的解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋2x.(6分)(2