2022年广东省深圳市外国语学校国际部高三数学文期末试题含解析

2022年广东省深圳市外国语学校国际部高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，从而得到答案A．解答：解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）=，==f（x），∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，∴f（x）→+∞．故可排除B；而A均满足以上分析．故选A．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．2.已知集合A，B均为全集U={1,2,3,4,5}的子集，且，B={1,2}，则集合A可以有（

）种情况A.2 B.3 C.4 D.6参考答案：C【分析】根据得到，故得到答案.【详解】∵，，∴∵，于是∴集合可以是、、、四种情况.故选：【点睛】本题考查了集合的运算和子集问题，意在考查学生的计算能力.3.一定是（

）A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.钝角三角形参考答案：B略4.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，为坐标原点，若，则双曲线的实轴长为(

)A． B．

C．

D．参考答案：D

【知识点】双曲线的简单性质．H6解析：抛物线与双曲线有相同的焦点，点的坐标为（1，0），，⊥轴.设点在第一象限，则点坐标为（1，2）设左焦点为，则=2,由勾股定理得，由双曲线的定义可知.故选D.【思路点拨】求出抛物线的焦点（1，0），即有双曲线的两个焦点，运用向量的数量积的定义可得点坐标，再由双曲线的定义可得结论。5.函数为增函数的区间是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间为，选C.6.将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是(

)A．x= B．x= C．x= D．x=﹣参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题7.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝A.－4 B.－3 C.－2 D.－1

参考答案：B本题考查平面向量的数量积。由题意得：，即，解得；选B。

8.参考答案：C9.的展开式中x2的系数为（）A．﹣240B．240C．﹣60D．60参考答案：B考点：二项式定理．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．解答：解：的展开式的通项公式为Tr+1=（﹣1）rx﹣r=（﹣1）r??x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，故展开式中x2的系数为=240，故选B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10.幂函数的图象经过点，则的值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．参考答案：从7个球中取2个有种，颜色不同的有，所以取出的2个球颜色不同的概率等于。12.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线为参数与圆为参数相切，切点在第一象限，则实数的值为

.参考答案：13.若，，且，则的最小值为______.参考答案：试题分析：由可得，即，所以（当且仅当时取等号），即的最小值为.考点：基本不等式及灵活运用.【易错点晴】本题重在考查基本不等式的灵活运用.解答时先将条件进行合理变形得到，再依据该等式中变量的关系，解出用来表示，从而将欲求代数式中的两个变量消去一个，得到只含的代数式，然后运用基本不等式使其获解.这里要强调的是“一正、二定、三相等”是基本不等式的运用情境，也是学会运用基本不等式的精髓，这是运用好基本不等式的关键之所在.14.

已知等差数列的前项和为，若，且，则=______________参考答案：答案：1015.函数f（x）=且对于方程f（x）2﹣af（x）+a2﹣3=0有7个实数根，则实数a的取值范围是．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】若方程f（x）2﹣af（x）+a2﹣3=0有7个实数根，则方程t2﹣at+a2﹣3=0有两个实数根，一个在区间（0，1]上，一个在区间（1，2）上，解得答案．【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：由图可得：当t∈（﹣∞，0）时，方程f（x）=t有一个根，当t=0时，方程f（x）=t有两个根，当t∈（0，1]时，方程f（x）=t有三个根，当t∈（1，2）时，方程f（x）=t有四个根，当t∈（2，+∞）时，方程f（x）=t有两个根，若方程f（x）2﹣af（x）+a2﹣3=0有7个实数根，则方程t2﹣at+a2﹣3=0有两个实数根，一个在区间（0，1]上，一个在区间（1，2）上，令g（t）=t2﹣at+a2﹣3，解得：．故答案为：．16.函数(，),有下列命题：①的图象关于y轴对称；②的最小值是2；③在上是减函数，在上是增函数；④没有最大值．其中正确命题的序号是

.（请填上所

有正确命题的序号）参考答案：①④

17.设的内角的对边长分别为，且

，则的值是___________．参考答案：4由得，即，所以，即。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）在中，角，，所对的边分别为为，，，且（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求，的值.参考答案：又，———10分由解得———13分19.已知函数，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导函数，对k讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）分离参数，构造新函数，g（x）=（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）max，由此可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得f′（x）=当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调减区间为（0，2）；当k＞0时，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2∴函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；（2）当k=1时，，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等价于a＜设g（x）=（x＞0）存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）max，，当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（e）=∴a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查存在性问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.（本小题12分）已知x＝1是函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，其中m、n∈R，m<0.(1)求m与n的关系表达式；(2)求f(x)的单调区间；(3)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

参考答案：综上可知：的取值范围是.(3)由已知，得f′(x)>3m，即mx2－2(m＋1)x＋2>0.∵m<0，∴x2－(m＋1)x＋<0，即x2－2x＋<0，x∈[－1,1]．①设g(x)＝x2－2x＋，其函数图象开口向上．由题意①式恒成立．∴???m>－.又m<0，∴－<m<0.∴m的取值范围是.

略21.已知圆F1：（x+1）2+y2=9，圆F2：（x﹣1）2+y2=1，动圆P与圆F1内切，与圆F2外．O为坐标原点．（Ⅰ）求圆心P的轨迹C的方程．（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程．参考答案：【分析】（Ⅰ）设动圆P的半径为r，由圆与圆的位置关系分析可得|PF2|+|PF1|=4＞|F1F2|，由椭圆的定义分析可得轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹C的方程，即可得答案；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆C的方程可得（3+4k2）x2﹣16kx+4=0，利用根与系数的关系可以表示|AB|的值，进而可以表示△OAB面积，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，依题意有|PF1|=3﹣r，|PF2|=1+r，|PF2|+|PF1|=4＞|F1F2|．所以轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，且c=1，a=2，所以，当P点坐标为椭圆右顶点时，r=0不符合题意，舍去．所以轨迹C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆C的方程，可得（3+4k2）x2﹣16kx+4=0，，△=16（12k2﹣3）＞0，得，设原点到直线AB的距离为，，，令，则4k2=1+t2，，当且仅当t=2时，等号成立，即当时，△OAB面积取得最大值，此时直线方程为．22.（2015?上海模拟）（文）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC与AD所成角；（2）求点B到平面SCD的距离．参考答案：【考点】：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【专题】：计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知BC∥AD，∠SCB就是异面直线SC与AD所成角，由此能求出直线SC与AD所成角．（2）利用等体