2022-2023学年山东省威海市第十五中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年山东省威海市第十五中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．问它的体积是多少?”这个问题的答案是（

）A.立方丈

B.立方丈

C.立方丈

D.立方丈参考答案：A将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，即，故答案选A．2.已知x2+y2＝10,则3x+4y的最大值为（

）

A

5

B

4

C

3

D

2参考答案：A3.已知等比数列前n项和为，若,,则A.

B.

C.

D.参考答案：A4.设函数，则（

）A.f(x)有极大值 B.f(x)有极小值C.f(x)有极大值e D.f(x)有极小值－e参考答案：B【分析】利用导数求出函数的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.【详解】，定义域为，，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.5.已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（）A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2参考答案：B【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意，，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，，∴m=2．故选B．【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵，考查方程思想，比较基础．6.已知X～N（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，则dx=（）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.4772参考答案：B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意可得μ=0，σ=1，求出P（3＜X≤4）=×[P（﹣2＜X≤4）﹣P（﹣1＜X≤3）]，即可得出结论．【解答】解：由题意，μ=1，σ=1，P（3＜X≤4）=×[P（﹣2＜X≤4）﹣P（﹣1＜X≤3）]=×（0.9974﹣0.9544）=0.0215，故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7.下列命题错误的是（

）A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”

B．若命题：，则：C．中，是的充要条件D．若为假命题，则、均为假命题参考答案：D8.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为

，则；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C因为，，所以类比，故选择C。直接法简答如下：如图（1），，所以；如图（2），，所以。9.设函数，其中常数满足.若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A由题意得，∵函数为偶函数，∴．又，∴．选A．

10.已知椭圆x2+(0＜b＜1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】分别求出线段FA与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＞0，与离心率计算公式即可得出．【详解】如图所示，线段的垂直平分线为：，线段的中点．∵，∴线段的垂直平分线的斜率．∴线段的垂直平分线方程为：，把代入上述方程可得：．∵，∴．化为：，又，解得．∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，设，若，则的取值范围是____________.参考答案：略12.当和取遍所有实数时，恒成立，则的最小值为

.参考答案：13.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.参考答案：∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.①又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，a＝b，c＝b.∴cosC＝＝＝－.∴C＝π.14.已知，则=

。参考答案：-315.已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为

．参考答案：2

【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A，B和C点坐标，利用中点坐标公式求得M点坐标，由又BM∥y轴，则b=，由|BM|=2，即可求得a﹣c=2，由三角形的面积公式可知S△ABC=2S△ABM，代入即可求得△ABC的面积．【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，∵M为边AC的中点，∴M（，），又BM∥y轴，则b=，故丨BM丨=丨﹣丨==2，∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，作AH⊥BM交BM的延长线于H．∴S△ABC=2S△ABM=2××丨BM丨丨AH丨=2丨a﹣b丨=2丨a﹣丨=a﹣c=2，△ABC的面积2．故答案为：2．16.设函数若不存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是

.参考答案：[-3,6]17.函数y＝2sin(x∈[0，π])为增函数的区间是

..参考答案：【知识点】正弦函数的单调性．C3菁【答案解析】[，]解析：∵y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，∵y=sinx的减区间为[2kπ+，2kπ+]，∴2x﹣∈[2kπ+，2k]，∴x，∵x∈[0，π]，∴，故答案为：[]．【思路点拨】在三角函数式中先把X的系数用诱导公式变为正，表现出来是负号提前，这样要求函数的增区间变成了去掉负号后的函数的减区间，据正弦函数的减区间求出结果，写出在规定的范围的区间．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求函数的导数。参考答案：解析：。19.设函数．（1）求的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最小值．参考答案：解:（1）定义域为，令，则，所以或因为定义域为，所以．

令，则，所以．因为定义域为，所以．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）（），．

因为0<a<2，所以，．令可得．所以函数在上为减函数，在上为增函数．①当，即时，在区间上，在上为减函数，在上为增函数．所以．②当，即时，在区间上为减函数．所以．综上所述，当时，；当时，

20.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：当时，.参考答案：（Ⅰ），由已知得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则又因为，因此欲证，只需证.令，则，令，解得.当时，，此时单调递增.因此，即.从而.所以，当时，成立．21.（本小题满分12分）设。（1）求的最大值及最小值周期；（2）在中，角的对边分别为，锐角A满足，求的值。参考答案：22.已知函数,.（Ⅰ）若在上为单调函数,求m的取值范围；（Ⅱ）设,若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）f(x)-g(x)=mx-,由于f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数，则在上恒